AiDi pisze:Czyli nie rozumiesz czym jest dowód w matematyce.
Powtarzasz się jak zdarta płyta...
AiDi pisze:Ale to już nie będzie ten problem którego ten temat dotyczy...
Jakoś nie widzę w temacie ani w początkowych postach nic o wymaganiach problemu. Nie było ani słowa o tym, że ta trysekcja ma być w geometrii Euklidesa i jedynie z użyciem nieoznaczonej linijki i zapadającego się cyrkla. Dopiero porfirion zwrócił na to uwagę. Jeśli od innych wymagacie precyzji, najpierw sami zaświećcie przykładem ;P
AiDi pisze:SasQ pisze:a teraz odpowiedz mi na pytanie: jaką liczbą jest -1 w moim wzorze, jeśli nie rzeczywistą?
Rzeczywista
Brawo. Właśnie zaprzeczyłeś sam sobie. A konkretnie temu:
AiDi pisze:dziś też twierdzi się, że z ujemnych liczb rzeczywistych nie da się wyciągnąć pierwiastka.
bo jak widać, legalnie wyciągnąłem pierwiastek (kwadratowy, żeby nie było) z liczby rzeczywistej ujemnej. A to, że wynik tego pierwiastkowania jest już spoza zbioru liczb rzeczywistych, to już zupełnie inna para kaloszy.
AiDi pisze:przy traktowaniu liczb rzeczywistych jako podzbiór liczb zespolonych, bo inaczej się nie da.
Jak już mówiłem, nie chodzi mi o wynik, tylko liczbę pod pierwiastkiem, bo do niej się odwoływałeś w swojej wypowiedzi. A ona, jak sam przyznałeś, jest rzeczywista. Bez względu na to, jaką operację na niej wykonam i do jakiego zbioru będzie należeć jej wynik. Ja twierdziłem właśnie to: że choć liczba jest rzeczywista i ujemna, to zupełnienie zmieniając praw dotyczących liczb rzeczywistych ujemnych mogę sobie z niej wyciągnąć pierwiastek kwadratowy (ba, nawet dwa! ;> i mam to zagwarantowane), bo jest to możliwe. Zawsze było. Tylko nie zawsze o tym wiedzieliśmy.
I nie muszę do tego wcale zmieniać liczby
\(\displaystyle{ -1}\) w zespoloną, bo ona już nią jest. Trzeba było tylko sobie to uświadomić. To jest właśnie ta "luka w prawie". Równanie w stylu
\(\displaystyle{ x^2 = -1}\) samo w sobie nie jest sprzeczne, bo nie zawiera żadnych informacji o tym, czym jest
\(\displaystyle{ x}\) (na ten problem właśnie zwracał uwagę Alonzo Church). Jeśli niejawnie zakładasz (nie zdając sobie z tego sprawy), że
\(\displaystyle{ x}\) musi być rzeczywisty, to
dopiero wtedy otrzymasz sprzeczność. Ale ta sprzeczność nie oznacza, że (jak twierdzisz) nie da się wyciągnąć pierwiastka kwadratowego z
\(\displaystyle{ -1}\), tylko że
przy takich założeniach nie będzie on już liczbą rzeczywistą (a przecież nie musi, jeśli już wiesz, że nie musi, i świadomie zrezygnujesz z tego ograniczenia).
Dlaczego po prostu nie przyznasz się, że się walnąłeś w tym zdaniu? Tylko teraz się wijesz jak piskorz, pogrążając się jeszcze bardziej? Ego nie puszcza, co?
AiDi pisze:Przykład który podałeś jako "rzecz której nie można zrobić i jest to udowodnione, która jednak dziś jest możliwa" nie traktował tak liczb rzeczywistych.
Zgodzę się co do jednego: Jeśli ktośwymaga, by wynik był rzeczywisty (bo tylko taki zna), to logika słusznie mu odpowie, że to, co chce osiągnąć, jest niemożliwe. Nigdy temu nie przeczyłem.
Ale dalej podtrzymuję, że taka odpowiedź nie oznacza, że jest to niemożliwe
w ogóle. I właśnie o to mi się cały czas rozchodzi. Ludzie robią często wiele nadmiernych założeń niejawnie, z czego nie zdają sobie sprawy, ponieważ nie znają jeszcze innych możliwości. To jest normalne, bo
nie możesz brać pod uwagę tego, czego jeszcze nie wiesz. Oni z początku nie wiedzieli, że mogą istnieć jakieś inne liczby, i że wynik tego równania jest taką właśnie nową liczbą. Dlatego wydawało im się, że to równanie jest sprzeczne i niemożliwe do rozwiązania, i że ich dowód jest poprawny i wystarczający. Ale to dlatego, że jeszcze nie znali całej prawdy.
I podobnie może być z ową trysekcją kąta: według naszego obecnego stanu wiedzy jest to niemożliwe. Ale nie wiadomo, czy po drodze nie poczyniliśmy jakichś niejawnych założeń (z domysłu, nie znając innych możliwości do rozważenia), które uniemożliwiają nam dostrzeżenie rozwiązania. Rozwiązania, które oczywiście musi znajdować się poza aktualnym systemem (np. rozszerzać go). Jednym z takich rozwiązań (jak słusznie zauważył porfirion), jest konstrukcja "neusis" Archimedesa, która właśnie wykracza poza system, wprowadzając znaczoną linijkę. Z tą konstrukcją radzili sobie też Chińczycy za pomocą Origami. Więc niewykluczone, że mogą istnieć też inne rozwiązania. Być może nawet takie, które używają nieznaczonej linijki i zapadającego cyrkla, ale robią to w sposób, na który nikt dotąd nie wpadł. Dlatego zachowam jednak nieco pokory i nie będę prawił z ambony, żem jaśnie oświecony jedyny znawca prawdy ostatecznej i rozwiązanie nie istnieje. Bo nie jestem jasnowidzem.
AiDi pisze:bo dalej podchodząc do tego jak podchodzili tamci ludzie (czyli again, nie widzimy nic ponad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\))
Kiedy oni właśnie wiedzieli, że jest coś ponad
\(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), bo przecież Cardano i Bombelli z powodzeniem posługiwali się tymi liczbami i wiedzieli, że nie są to liczby rzeczywiste. Ba, otwarcie o tym pisali! Rzecz w tym, że nie wierzyli w ich prawdziwość i nie potrafili się pogodzić z tymi faktami, bo liczby te przeczyły wszystkiemu temu, co dotąd wiedzieli na temat liczb.
Mówi się, że do odkrycia liczb urojonych doszło przy rozwiązywaniu równania takiego, jak podałem powyżej. Ale to nieprawda. Takie równania były uważane za sprzeczne, a rozwiązania ignorowane. I nie dlatego, że tym ludziom brakowało rozumu, ale właśnie dlatego, że mieli ku temu silne powody: Tych rozwiązań nie ma na wykresie. Nie da się ich też otrzymać rysując kółka (jak robił to Descartes dla rozwiązań równań kwadratowych). Aby dostrzec, gdzie te rozwiązania są, potrzebne jest trochę sprytu i wyobraźni. Dopiero równania sześcienne postawiły ich w obliczu prawdy: równanie sześcienne zawsze ma przynajmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste, nawet jeśli dojście do niego wymaga używania liczb urojonych. Dopiero wtedy nie mogli już dłużej ignorować liczb urojonych. Ale mimo tego wszystkiego nadal niełatwo było im się z tym pogodzić. Nawet wielki Euler, który świetnie władał tymi liczbami (i zawdzięczamy mu słynną tożsamość
\(\displaystyle{ e^{i \pi} - 1 = 0}\)), pisał o tych liczbach niezbyt pochlebnie [Euler 1770, par.134,135):
"And since all numbers which it is possible to conceive are either greater or less than 0, or are 0 itself, it is evident that we cannot rank the square root of a negative number amongst possible numbers and we must therefore say that it is an impossible quantity. In this manner we are led to the idea of numbers which from their nature are impossible, and therefore they are usually called imaginary quantities, because they exist merely in the imagination..."
W podobnym tonie pisał Descartes, Leibniz, i wiele innych mądrych głów. Widać tak wymagała poprawność polityczna i w pupci mieli prawdę matematyczną Jak widzisz, też zasłaniali się logiką i ich rozumowanie i wnioskowanie było całkiem słuszne. Niestety założenia były błędne.
Lorek pisze:SasQ pisze:Popatrz tylko, jak wyglądają odpowiedzi w tym temacie: wszyscy tylko na to czekają i już sobie ostrzą zęby,
Wszyscy, czyli Ty też?
Żałosne... ;-o Jeszcze się przyczep interpunkcji, albo mojego avatara. Bo tej puli niskich chwytów jeszcze nikt nie wykorzystał...
Lorek pisze:Tego nie rozumiem, w jaki sposób te zdania się wykluczają?
No o tym cały czas mówię: że się
nie wykluczają. Też nie rozumiem, dlaczego by miały, i dlaczego cały czas usiłuje mi się to wmówić (jak i wiele innych rzeczy, byle tylko móc użyć ukochanego "mylisz się" lub "nie rozumiesz").
Lorek pisze:Nie myl pierwiastka arytmetycznego z zespolonym.
Nie mylę. Korzystam z faktu, że nikt nie określił jaki to ma być pierwiastek. Wziąłem więc taki, jaki mi pasuje. Ale nawet gdy użyjemy pierwiastka zespolonego, a
\(\displaystyle{ -1}\) pod pierwiastkiem uznamy za zespolone, to w tym konkretnym przypadku owo
\(\displaystyle{ -1}\) jest także rzeczywiste. Od tego nie da się uciec, choćby nie wiem jakie akrobacje wymyślać na obronę swego Ego.
Ale oczywiście, surprajs surprajs, znów to ja coś "mylę" ;-J Obym mylił się jak najczęściej, przynajmniej się czegoś uczę.
Ech, no nic... Skoro ktoś musi się poddać (bo inaczej jak widzę nie wybrniemy z tego impasu), to niech to będę ja, bo i tak nie mam nic do stracenia, a już mnie znudziło na dziś walenie głową w beton. Popatrzę sobie, jak z braku innego kozła ofiarnego zaczniecie zjadać swoje własne ogony. (
Edit:Co widzę już nastąpiło ) Żegnam się z państwem wiecznie nieomylnych. Przyjemnego pompowania życzę.