Śląski Konkurs Matematyczny 2010

[qwass]

Jakby ktos mogl pokazac 3 i 4 bo z nimi mialem problem. 4 ostatecznie zrobilem ale nie jestem pewien a z 3 nie dalem sobie rady.

Z góry dzięki

[timon92]

3:    

trójkąty \(\displaystyle{ AOB}\) i \(\displaystyle{ COD}\) są podobne, więc \(\displaystyle{ \frac{p^2}{q^2} = \left( \frac{OA}{OC} \right) ^2}\) (stosunek pól = kwadrat skali podobieństwa), czyli \(\displaystyle{ OA = \frac{p}{q} OC}\)
czyli \(\displaystyle{ P_{OBC} = \frac{1}{2} OB \cdot OC \sin \angle COB = \frac{1}{2} \cdot \frac{p}{q} \cdot OD \cdot OC \cdot \sin \angle COD = \frac{p}{q} \cdot q^2 = pq}\)
analogicznie \(\displaystyle{ P_{OAD} = pq}\), czyli \(\displaystyle{ P_{ABCD}=p^2+ q^2+2pq}\)

4:    

zwykłe równanie kwadratowe: \(\displaystyle{ \Delta = a^2-4a}\) i dalej\(\displaystyle{ x= \frac{-a\pm\sqrt{\Delta}}{2} \Leftrightarrow 2x+a=\pm\sqrt{\Delta}}\), czyli \(\displaystyle{ \Delta}\) jest kwadratem liczby naturalnej, nazwijmy ją \(\displaystyle{ p}\)
wówczas \(\displaystyle{ a^2-4a = p^2 \Leftrightarrow (a-2+p)(a-2-p)=4}\), teraz kilka prostych układów równań, po odrzuceniu sprzeczności zostaje \(\displaystyle{ a=0 \vee a=4}\) i łatwo sprawdzić, że takie \(\displaystyle{ a}\) są ok

[patry93]

Da się zrobić 5. jakoś sprytnie/ponadprzeciętnie np. z tw. Eulera lub czegoś podobnego? Ja sobie na dostarczonym kalkulatorze mnożyłem kolejne potęgi - nic odkrywczego

[edit do postu niżej]
Tak, pisząc "mnożyłem kolejne potęgi" miałem na myśli mnożenie w mod 1000, ale to niezbyt ładne

[Marcinek665]

Ja bym masakrował kongruencją modulo 1000 xd Potem albo bym to zrobił w ten sposób, albo bym stwierdził, że nie tędy droga.

EDIT: No i idzie kongruencją. Rozwiązanie bardzo syfne, bo na całą stronę, ale dobre xD. Szczególnie, że ma się kalkulator i liczenie tego na piechotę nie jest koniecznością.

[Dumel]

Da się zrobić 5. jakoś sprytnie/ponadprzeciętnie np. z tw. Eulera lub czegoś podobnego?

owszem:
\(\displaystyle{ 2^{100} \equiv 1 (mod \ 125)}\)
więc
\(\displaystyle{ 2^{2010} \equiv 2^{10} \equiv 24 (mod \ 125)}\)
i \(\displaystyle{ 2^{2010} \equiv 0 (mod \ 8)}\)
więc z chińskiego o resztach
\(\displaystyle{ 2^{2010} \equiv 24 (mod \ 1000)}\)

[patry93]

No proszę, to jest piękne! Kiedyś się tego nauczę

[mmalgosiaa]

ja 5 robiłam na piechotę ..
w 1 miałam 6029 , a w drugim 1441 . Zgadza się ? ;>

[ordyh]

Zgadza się
1. 6029
2. 1441 (zastanawiałem się ile osób napisze, że 1003 jest liczbą pierwszą ;p)
3.

Ukryta treść:    

Trójkąty AOB i COD są podobne. Oznaczmy
h1 - wysokość z punktu O na AB
h2 - wysokość z punktu O na CD
\(\displaystyle{ a = |AB|}\) \(\displaystyle{ b= |CD|}\).
\(\displaystyle{ \frac{a}{h_1}=\frac{b}{h_2}}\)
\(\displaystyle{ ah_2=bh_1}\)

\(\displaystyle{ S = \frac{(a+b)(h_1+h_2)}{2} = p^2 + q^2 + \frac{ah_2 + bh_1}{2} = p^2 + q^2 + ah_2 = p^2 + q^2 + \sqrt{ah_2 \cdot ah_2} = p^2 + q^2 + \sqrt{ah_2 \cdot bh_1} = p^2 + q^2 + \sqrt{ah_1 \cdot bh_2} = p^2 + q^2 + 2pq}\)

4.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ a = -x+1-\frac{1}{x+1}}\)
\(\displaystyle{ x=-2 \vee x=0 \Rightarrow a=0 \vee a=4}\)

5.

Ukryta treść:    

modulo 1000:
\(\displaystyle{ 2^{2010} = (1024)^{201} \equiv 24^{201}\pmod {1000}}\)
po przeliczeniu wychodzi że \(\displaystyle{ 24^{11} \equiv 24}\) czyli \(\displaystyle{ 24^{10k+1}\equiv 24}\), czyli \(\displaystyle{ 24^{201} \equiv 24 \pmod {1000}}\)

[justynian]

2. 1441 (zastanawiałem się ile osób napisze, że 1003 jest liczbą pierwszą ;p)

więc zapewne ty tak napisałeś nie łam się ...

[ordyh]

2. 1441 (zastanawiałem się ile osób napisze, że 1003 jest liczbą pierwszą ;p)

więc zapewne ty tak napisałeś nie łam się ...

Pudło, Sherlocku
Jak potem się okazało były takie osoby, niewiele co prawda, ale były -- 14 kwi 2010, o 20:22 --

[timon92]

jakby ktoś nie wiedział, to wyniki są już od paru dni (posty ordyha się skleiły)