Matematyka.pl

I tu trzeba pogłówkować. Zastanawiałem się czy zachodzi:

Jeżeli ciąg funkcji ciągłych (wspólnie ograniczonych przez stałą K, \(\displaystyle{ f_n(x) \le K,x\in [a,b],n\in N}\)) jest zbieżny punktowo do funkcji ciągłej (\(\displaystyle{ f(x) \le K,x\in [a,b]}\)) na [a,b], to czy zbieżność musi być jednostajna. Oczywiście funkcje ciągłe będą jednostajnie ciągłe.

Intuicyjnie wydaje się rozsądne ale nie mam pojęcia czy to jest prawda.

Tak na szybko przeczytałem Waszą dyskusję, teraz nie mam głowy żeby to wszystko ogarnąć, dlatego tylko zaznaczam moją obecność w temacie .

Odnośnie tego ostatniego twierdzenia- wydaję mi się, że jest ok, bo funkcje są ciągłe na [a,b] czyli nic tu nam nie 'ucieknie do nieskończoności', a żeby uzyskać niezależność od x, wystarczy zmajoryzować go przez owe K, ale to tylko takie moje przypuszczenia, może to być nieprawda .

Można sobie poradzić bez ostatniego twierdzenia (właściwie przypuszczenia).

Inny sposób:

Ciąg \(\displaystyle{ \int_0^{\infty} \frac{n}{2} e^{-nt} f(x-t)dt}\) jest jednostajnie zbieżny. Istotnie dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in R,\ \lim_{A\to \infty} \int_0^{A} \frac{n}{2} e^{-nt} f(x-t)dt =}\) (twierdzenie o wartości średniej) \(\displaystyle{ = \lim_{A\to \infty} \Big( F(x,A) \int_0^{A} \frac{n}{2} e^{-nt}dt \Big) =\lim_{A\to \infty} F(x,A) \int_0^{\infty} \frac{n}{2} e^{-nt}dt}\). Czyli mamy ciąg zbieżny jednostajnie \(\displaystyle{ \int_0^{\infty} \frac{n}{2} e^{-nt}dt}\) pomnożony przez jakąś funkcję \(\displaystyle{ \lim_{A\to \infty} F(x,A)}\) niezależną od \(\displaystyle{ n}\), stąd wyjściowy ciąg jest jednostajnie zbieżny.

Właściwie wyszło trochę więcej, zbieżność jednostajna na całym \(\displaystyle{ R}\).

nic nie wyszło, ustalasz na początku x, co od razu przekreśla rozwiązanie. Masz potem "funkcję niezależną od n", no ale co z tego skoro zależy ona wyraźnie od x.

Poza tym, przypuszczam, że w ogóle nie ma tu miejsca zbieżność jednostajna na całej prostej. Więc ciężko będzie to udowodnić.

Nie rozumiem, jak pokazuje równość dwóch funkcji to nie mogę ustalić na początku x?

Chyba zgodzisz się z równością \(\displaystyle{ \int_0^{\infty} \frac{n}{2} e^{-nt} f(x-t)dt=\lim_{A\to \infty} F(x,A) \int_0^{\infty} \frac{n}{2} e^{-nt}dt,\ x\in R}\). Jeżeli tak to oznaczając \(\displaystyle{ g(x)=\lim_{A\to \infty} F(x,A),\ x\in R}\) oraz \(\displaystyle{ a_n=\int_0^{\infty} \frac{n}{2} e^{-nt}dt, n\in N}\) mamy

\(\displaystyle{ \bigwedge_{\varepsilon>0} \bigvee_{\N>0} \bigwedge_{n,k>N} \bigwedge_{x\in R} |g(x)a_n - g(x)a_k|<|g(x)||a_n-a_k|<M\varepsilon}\)

skorzystaliśmy ze zbieżności \(\displaystyle{ (a_n)}\) i ograniczoności \(\displaystyle{ |g(x)| \le M,\ x\in R}\).

------------------------------------------------------------------------------------------
edit: 28.07.09r

Zordon pisze:2. Z tw. o wartości średniej i \(\displaystyle{ (1)}\) mamy:
\(\displaystyle{ n(f(x)-\epsilon)\int_{0}^{ \delta }e^{-nt}dt\le n\int_{0}^{ \delta }e^{-nt}f(x-t)dt \le n(f(x)+\epsilon)\int_{0}^{ \delta }e^{-nt}dt}\)

Jak pokazać tą np prawą nierówność? Możesz bardziej rozpisać?

fon_nojman pisze:Nie rozumiem, jak pokazuje równość dwóch funkcji to nie mogę ustalić na początku x?

Chyba zgodzisz się z równością \(\displaystyle{ \int_0^{\infty} \frac{n}{2} e^{-nt} f(x-t)dt=\lim_{A\to \infty} F(x,A) \int_0^{\infty} \frac{n}{2} e^{-nt}dt,\ x\in R}\). Jeżeli tak to oznaczając \(\displaystyle{ g(x)=\lim_{A\to \infty} F(x,A),\ x\in R}\) oraz \(\displaystyle{ a_n=\int_0^{\infty} \frac{n}{2} e^{-nt}dt, n\in N}\) mamy

\(\displaystyle{ \bigwedge_{\varepsilon>0} \bigvee_{\N>0} \bigwedge_{n,k>N} \bigwedge_{x\in R} |g(x)a_n - g(x)a_k|<|g(x)||a_n-a_k|<M\varepsilon}\)

skorzystaliśmy ze zbieżności \(\displaystyle{ (a_n)}\) i ograniczoności \(\displaystyle{ |g(x)| \le M,\ x\in R}\).

po głębszym namyśle, chyba muszę przyznać, że to jest dobrze tylko trzeba jeszcze wykazać, że granica \(\displaystyle{ \lim_{A\to \infty} F(x,A)}\) istnieje.

fon_nojman pisze:

Zordon pisze:2. Z tw. o wartości średniej i \(\displaystyle{ (1)}\) mamy:
\(\displaystyle{ n(f(x)-\epsilon)\int_{0}^{ \delta }e^{-nt}dt\le n\int_{0}^{ \delta }e^{-nt}f(x-t)dt \le n(f(x)+\epsilon)\int_{0}^{ \delta }e^{-nt}dt}\)

Jak pokazać tą np prawą nierówność? Możesz bardziej rozpisać?

tw. o wartości średniej mówi, że:
\(\displaystyle{ n\int_{0}^{ \delta }e^{-nt}f(x-t)dt=nf(x-\xi)\int_{0}^{ \delta }e^{-nt}dt}\)
gdzie \(\displaystyle{ \xi \in [0,\delta]}\)
stąd \(\displaystyle{ |x-(x-\xi)|=|\xi| \le \delta}\)
więc \(\displaystyle{ |f(x)-f(x-\xi)| \le \epsilon}\)
co prawda wychodzą nieostre nierówności, ale to szczegół

Zordon pisze:po głębszym namyśle, chyba muszę przyznać, że to jest dobrze tylko trzeba jeszcze wykazać, że granica \(\displaystyle{ \lim_{A\to \infty} F(x,A)}\) istnieje.

Wiadomo, że istnieje granica \(\displaystyle{ \lim_{A\to \infty} \Big( F(x,A) \int_0^{A} \frac{n}{2} e^{-nt}dt\Big)}\) oraz \(\displaystyle{ \int_0^{\infty} \frac{n}{2} e^{-nt}dt=1}\) teraz korzystając z 135406.htm (można zamienić n na A) dostajemy istnienie \(\displaystyle{ \lim_{A\to \infty} F(x,A)}\).

Szczerze mówiącnie do końca rozumiem, po co jest ta funkacja 'duże f', jakbyś mógł wytłumaczyć będę wdzięczny . Przyznam też, że wcześniej nie do końca dokładnie przejrzałem rozwiązanie Zordona, ale już po przestudiowaniu, zgadzam się z nim całkowicie, bardzo mi się podoba . Więc wyszło, że obaj rozwiązaliście zadanako- tylko rozwiązanie fon Nojmana nie do końca rozumiem..
Także dziękuję za pomoc .

F jest konsekwencją tw o wartości średniej dla całek. Przy odp założeniach istnieje \(\displaystyle{ c\in [a,b]}\), że \(\displaystyle{ c\int_a^b g(x)dx=\int_a^b f(x)g(x)dx}\). Czyli c będzie zależne właściwie od funkcji f,g oraz przedziału [a,b]. U nas c zależy od x (pierwsza funkcja), n (druga), a (przedział) ustalając dla każdego x, n, c konkretne c otrzymujemy funkcję, oznaczam ją przez F.

Zordon może bezpośrednio działać na f zamiast używać tw o wart śr.

PS: Funkcja F powinna być jeszcze zależna od n - ale i tak nic nie psuje.

Tak swoja droga to mozna chyba na to popatrzec jako na jakis splot i to jest tak serio regularyzacja tego czegos, znaczy przyblizanie funkcjami gladkimi.

Tak, dokladnie, ciag funkcji \(\displaystyle{ f_n(x) = \frac{n}{2} e^{-n|t|}}\) dazy (w sensie dystrybucyjnym) do delty Diraca (moze przeskalowanej), wiec jak go spleciemy z \(\displaystyle{ f}\) to dostajemy granice w D' (z ciaglosci splotu) \(\displaystyle{ \delta_0 \star f = f}\) A to jest bardzo ostra zbieznosc, w szczegolnosci jednostajna.