Zbieżność ciągu funkcyjnego

[fon_nojman]

I tu trzeba pogłówkować. Zastanawiałem się czy zachodzi:

Jeżeli ciąg funkcji ciągłych (wspólnie ograniczonych przez stałą K, \(\displaystyle{ f_n(x) \le K,x\in [a,b],n\in N}\)) jest zbieżny punktowo do funkcji ciągłej (\(\displaystyle{ f(x) \le K,x\in [a,b]}\)) na [a,b], to czy zbieżność musi być jednostajna. Oczywiście funkcje ciągłe będą jednostajnie ciągłe.

Intuicyjnie wydaje się rozsądne ale nie mam pojęcia czy to jest prawda.

[puryt]

Tak na szybko przeczytałem Waszą dyskusję, teraz nie mam głowy żeby to wszystko ogarnąć, dlatego tylko zaznaczam moją obecność w temacie .

Odnośnie tego ostatniego twierdzenia- wydaję mi się, że jest ok, bo funkcje są ciągłe na [a,b] czyli nic tu nam nie 'ucieknie do nieskończoności', a żeby uzyskać niezależność od x, wystarczy zmajoryzować go przez owe K, ale to tylko takie moje przypuszczenia, może to być nieprawda .

[fon_nojman]

Można sobie poradzić bez ostatniego twierdzenia (właściwie przypuszczenia).

Inny sposób:

Ciąg \(\displaystyle{ \int_0^{\infty} \frac{n}{2} e^{-nt} f(x-t)dt}\) jest jednostajnie zbieżny. Istotnie dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in R,\ \lim_{A\to \infty} \int_0^{A} \frac{n}{2} e^{-nt} f(x-t)dt =}\) (twierdzenie o wartości średniej) \(\displaystyle{ = \lim_{A\to \infty} \Big( F(x,A) \int_0^{A} \frac{n}{2} e^{-nt}dt \Big) =\lim_{A\to \infty} F(x,A) \int_0^{\infty} \frac{n}{2} e^{-nt}dt}\). Czyli mamy ciąg zbieżny jednostajnie \(\displaystyle{ \int_0^{\infty} \frac{n}{2} e^{-nt}dt}\) pomnożony przez jakąś funkcję \(\displaystyle{ \lim_{A\to \infty} F(x,A)}\) niezależną od \(\displaystyle{ n}\), stąd wyjściowy ciąg jest jednostajnie zbieżny.

Właściwie wyszło trochę więcej, zbieżność jednostajna na całym \(\displaystyle{ R}\).

[Zordon]

nic nie wyszło, ustalasz na początku x, co od razu przekreśla rozwiązanie. Masz potem "funkcję niezależną od n", no ale co z tego skoro zależy ona wyraźnie od x.

Poza tym, przypuszczam, że w ogóle nie ma tu miejsca zbieżność jednostajna na całej prostej. Więc ciężko będzie to udowodnić.

[fon_nojman]

Nie rozumiem, jak pokazuje równość dwóch funkcji to nie mogę ustalić na początku x?

Chyba zgodzisz się z równością \(\displaystyle{ \int_0^{\infty} \frac{n}{2} e^{-nt} f(x-t)dt=\lim_{A\to \infty} F(x,A) \int_0^{\infty} \frac{n}{2} e^{-nt}dt,\ x\in R}\). Jeżeli tak to oznaczając \(\displaystyle{ g(x)=\lim_{A\to \infty} F(x,A),\ x\in R}\) oraz \(\displaystyle{ a_n=\int_0^{\infty} \frac{n}{2} e^{-nt}dt, n\in N}\) mamy

\(\displaystyle{ \bigwedge_{\varepsilon>0} \bigvee_{\N>0} \bigwedge_{n,k>N} \bigwedge_{x\in R} |g(x)a_n - g(x)a_k|<|g(x)||a_n-a_k|<M\varepsilon}\)

skorzystaliśmy ze zbieżności \(\displaystyle{ (a_n)}\) i ograniczoności \(\displaystyle{ |g(x)| \le M,\ x\in R}\).

------------------------------------------------------------------------------------------
edit: 28.07.09r

2. Z tw. o wartości średniej i \(\displaystyle{ (1)}\) mamy:
\(\displaystyle{ n(f(x)-\epsilon)\int_{0}^{ \delta }e^{-nt}dt\le n\int_{0}^{ \delta }e^{-nt}f(x-t)dt \le n(f(x)+\epsilon)\int_{0}^{ \delta }e^{-nt}dt}\)

Jak pokazać tą np prawą nierówność? Możesz bardziej rozpisać?

[Zordon]

Nie rozumiem, jak pokazuje równość dwóch funkcji to nie mogę ustalić na początku x?

Chyba zgodzisz się z równością \(\displaystyle{ \int_0^{\infty} \frac{n}{2} e^{-nt} f(x-t)dt=\lim_{A\to \infty} F(x,A) \int_0^{\infty} \frac{n}{2} e^{-nt}dt,\ x\in R}\). Jeżeli tak to oznaczając \(\displaystyle{ g(x)=\lim_{A\to \infty} F(x,A),\ x\in R}\) oraz \(\displaystyle{ a_n=\int_0^{\infty} \frac{n}{2} e^{-nt}dt, n\in N}\) mamy

\(\displaystyle{ \bigwedge_{\varepsilon>0} \bigvee_{\N>0} \bigwedge_{n,k>N} \bigwedge_{x\in R} |g(x)a_n - g(x)a_k|<|g(x)||a_n-a_k|<M\varepsilon}\)

skorzystaliśmy ze zbieżności \(\displaystyle{ (a_n)}\) i ograniczoności \(\displaystyle{ |g(x)| \le M,\ x\in R}\).

po głębszym namyśle, chyba muszę przyznać, że to jest dobrze tylko trzeba jeszcze wykazać, że granica \(\displaystyle{ \lim_{A\to \infty} F(x,A)}\) istnieje.

2. Z tw. o wartości średniej i \(\displaystyle{ (1)}\) mamy:
\(\displaystyle{ n(f(x)-\epsilon)\int_{0}^{ \delta }e^{-nt}dt\le n\int_{0}^{ \delta }e^{-nt}f(x-t)dt \le n(f(x)+\epsilon)\int_{0}^{ \delta }e^{-nt}dt}\)

Jak pokazać tą np prawą nierówność? Możesz bardziej rozpisać?

tw. o wartości średniej mówi, że:
\(\displaystyle{ n\int_{0}^{ \delta }e^{-nt}f(x-t)dt=nf(x-\xi)\int_{0}^{ \delta }e^{-nt}dt}\)
gdzie \(\displaystyle{ \xi \in [0,\delta]}\)
stąd \(\displaystyle{ |x-(x-\xi)|=|\xi| \le \delta}\)
więc \(\displaystyle{ |f(x)-f(x-\xi)| \le \epsilon}\)
co prawda wychodzą nieostre nierówności, ale to szczegół

[fon_nojman]

po głębszym namyśle, chyba muszę przyznać, że to jest dobrze tylko trzeba jeszcze wykazać, że granica \(\displaystyle{ \lim_{A\to \infty} F(x,A)}\) istnieje.

Wiadomo, że istnieje granica \(\displaystyle{ \lim_{A\to \infty} \Big( F(x,A) \int_0^{A} \frac{n}{2} e^{-nt}dt\Big)}\) oraz \(\displaystyle{ \int_0^{\infty} \frac{n}{2} e^{-nt}dt=1}\) teraz korzystając z 135406.htm (można zamienić n na A) dostajemy istnienie \(\displaystyle{ \lim_{A\to \infty} F(x,A)}\).

[puryt]

Szczerze mówiącnie do końca rozumiem, po co jest ta funkacja 'duże f', jakbyś mógł wytłumaczyć będę wdzięczny . Przyznam też, że wcześniej nie do końca dokładnie przejrzałem rozwiązanie Zordona, ale już po przestudiowaniu, zgadzam się z nim całkowicie, bardzo mi się podoba . Więc wyszło, że obaj rozwiązaliście zadanako- tylko rozwiązanie fon Nojmana nie do końca rozumiem..
Także dziękuję za pomoc .

[fon_nojman]

F jest konsekwencją tw o wartości średniej dla całek. Przy odp założeniach istnieje \(\displaystyle{ c\in [a,b]}\), że \(\displaystyle{ c\int_a^b g(x)dx=\int_a^b f(x)g(x)dx}\). Czyli c będzie zależne właściwie od funkcji f,g oraz przedziału [a,b]. U nas c zależy od x (pierwsza funkcja), n (druga), a (przedział) ustalając dla każdego x, n, c konkretne c otrzymujemy funkcję, oznaczam ją przez F.

Zordon może bezpośrednio działać na f zamiast używać tw o wart śr.

PS: Funkcja F powinna być jeszcze zależna od n - ale i tak nic nie psuje.

[liu]

Tak swoja droga to mozna chyba na to popatrzec jako na jakis splot i to jest tak serio regularyzacja tego czegos, znaczy przyblizanie funkcjami gladkimi.

Tak, dokladnie, ciag funkcji \(\displaystyle{ f_n(x) = \frac{n}{2} e^{-n|t|}}\) dazy (w sensie dystrybucyjnym) do delty Diraca (moze przeskalowanej), wiec jak go spleciemy z \(\displaystyle{ f}\) to dostajemy granice w D' (z ciaglosci splotu) \(\displaystyle{ \delta_0 \star f = f}\) A to jest bardzo ostra zbieznosc, w szczegolnosci jednostajna.