Wzorcóweczka::
Najpierw dowód, że n+1 ostatnich cyfr liczby \(\displaystyle{ b_{n}={2^{5}}^{n}}\) pokrywa się z n+1 ostatnimi cyframi liczby \(\displaystyle{ b_{n+1}}\) (jak trzeba będzie przedstawić dowód to napisz )
Załóżmy, że ciąg dany w zadaniu jest okresowy, a jego okresem jest k. Rozpatrzmy liczbę:
\(\displaystyle{ r+10^{q}s(1+10^k+10^{2k}+\ldots 10^{pk})}\),w której r to liczba zapisana q cyframi, tworzącymi początkowy, nieokresowy fragment ciągu, s - liczba zapisana cyframi, które powtarzają się okresowo, p -pewna, odpowiednio duża liczba naturalna (może być np. p=n)
Zauważmy, że dla odpowiednio dużych n powyższa liczba i liczba \(\displaystyle{ b_{n}}\) mają taki sam ukłąd n ostatnich cyfr. To oznacza, że liczba: \(\displaystyle{ \frac{10^{k(p+1)}-1}{10^{k}-1} \cdot 10^{q}s+r}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2^n}\), czyli przez \(\displaystyle{ 2^n}\) jest podzielna liczba
\(\displaystyle{ (10^{k(p+1)}-1) \cdot 10^q+r(10^{k}-1)}\)
Z tego wynika, że przez \(\displaystyle{ 2^n}\) dzieli się także liczba \(\displaystyle{ r(10^{k}-1)}\), ale jest to stała, która dla dowolnego naturalnego n dzieli się przez \(\displaystyle{ 2^n}\) wtedy i tylko wtedy, gdy jest równa 0. To by znaczyło, że \(\displaystyle{ r(10^k-1)=10^qs}\), co jest możliwe tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ r=0}\), stąd mielibyśmy \(\displaystyle{ s=0}\), a to jest sprzeczne z założeniem o okresowości ciągu. Otrzymana sprzeczność pokazuje, że ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})}\) nie jest okresowy.
Załóżmy, że ciąg dany w zadaniu jest okresowy, a jego okresem jest k. Rozpatrzmy liczbę:
\(\displaystyle{ r+10^{q}s(1+10^k+10^{2k}+\ldots 10^{pk})}\),w której r to liczba zapisana q cyframi, tworzącymi początkowy, nieokresowy fragment ciągu, s - liczba zapisana cyframi, które powtarzają się okresowo, p -pewna, odpowiednio duża liczba naturalna (może być np. p=n)
Zauważmy, że dla odpowiednio dużych n powyższa liczba i liczba \(\displaystyle{ b_{n}}\) mają taki sam ukłąd n ostatnich cyfr. To oznacza, że liczba: \(\displaystyle{ \frac{10^{k(p+1)}-1}{10^{k}-1} \cdot 10^{q}s+r}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2^n}\), czyli przez \(\displaystyle{ 2^n}\) jest podzielna liczba
\(\displaystyle{ (10^{k(p+1)}-1) \cdot 10^q+r(10^{k}-1)}\)
Z tego wynika, że przez \(\displaystyle{ 2^n}\) dzieli się także liczba \(\displaystyle{ r(10^{k}-1)}\), ale jest to stała, która dla dowolnego naturalnego n dzieli się przez \(\displaystyle{ 2^n}\) wtedy i tylko wtedy, gdy jest równa 0. To by znaczyło, że \(\displaystyle{ r(10^k-1)=10^qs}\), co jest możliwe tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ r=0}\), stąd mielibyśmy \(\displaystyle{ s=0}\), a to jest sprzeczne z założeniem o okresowości ciągu. Otrzymana sprzeczność pokazuje, że ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})}\) nie jest okresowy.
