LXIV (64) OM - I etap

[Marcinek665]

Nie.

[porfirion]

Czy każdą liczbę całkowitą dodatnią mniejszą od \(\displaystyle{ 7}\) można zapisać jako \(\displaystyle{ 3k+1}\)?
Zapowiada się nowy problem milenijny.

[czekoladowy]

Czy każdą liczbę całkowitą dodatnią mniejszą od \(\displaystyle{ 7}\) można zapisać jako \(\displaystyle{ 3k+1}\)?
Zapowiada się nowy problem milenijny.

Dziecko w podstawówce wie, że można.

[Ponewor]

Marcinek665 przyjął ciche założenie, że \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\) Choć bardziej optymistyczna jest wersja bez tego założenia. Szczególnie jak Komisja będzie miała poczucie humoru i jako zadanie 1. pójdze plani, a 4. stereo.

[Emce1]

Kiedy mogłem jeszcze startować zawsze przed drugimi trzecimi etapami liczyłem na to, że geometrie będą najtrudniejsze, bo i tak bym ich nie zrobił

[porfirion]

Imo na drugich etapach geometrie są tymi prostszymi zadaniami, więc droga komisjo zadaniowa, prosimy bez hardcorów.

-- 13 gru 2012, o 17:43 --

Czy w historii OM'a zdarzyła się dyskwalifikacja na podstawie plagiatu I etapu? Względnie, czy zdarzyła się taka sytuacja w ostatniej dekadzie? Pytam odnośnie informacji, która pojawiła się czerwonym druczkiem na stronie OMG.

[HuBson]

a co... masz coś na sumieniu?

[porfirion]

Nie.

[Ponewor]

Pojawiły się wzorcówki!
Ode mnie słów kilka, czyli Ponewora o poszczególnych zadaniach subiektywne opinie.

Definicje:    

Zadanie łatwe - czyli zadanie które można rozwiązać szybko, bez długich rozmyślań, bez korzystania z ambitnych rzeczy.
Zadanie proste - czyli zadanie z krótkim rozwiązaniem, ale nie zawsze łatwe.

1.:    

Zadanie łatwe, proste, niezwykle bezmyślne i schematyczne. Jak już widzisz zadanie to od razu wiesz co masz robić. Nie widzisz dokładnie jak to się skończy, ale wiesz, że wyjdzie i już. Nic ambitnego i szczególnego. Olimpijskość zadania zamyka się w słowach

Wykazać, że obie liczby x i y są kwadratami liczb
wymiernych.

Nie mówię, że nie sposób o głupie błędy przy tym zadaniu, ale powinny być one łatwe do skontrolowania. Gdzieś tam bardzo nieśmiale marzyła mi się jakaś nieziemsko sprytna i piękna wzorcówka, ale rozsądna część mnie miała rację, że nic takiego nie istnieje. I jeszcze jedno: to drugie olimpijskie zadanie w moim życiu przy którym gdy pojawia się zwrot liczba wymierna nie trzeba pisać ułamka \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\).

2.:    

Jak to z geometrią w moim wydaniu bywa męczyłem się z nią znacznie dłużej niż powinienem. Zadanie jednak okazało się bardzo łatwe. Bez mrugnięcia okiem wrzuciłbym je do licealnego zbiorku zadań na rozszerzeniu, czasem zdarzają się trudniejsze. Ale podczas moich licznych prób dowiedziałem się wielu ciekawych rzeczy o równoległoboku więc mam jakieś miłe wspomnienia związane z tym zadaniem.

3.:    

Zadanie które lubię ze względu na "ładną implikację" oraz fakt istnienia dwóch wzorcowych tak różnych rozwiązań. Jak ktoś nie słyszał o magicznych wzorach, a jest dobry to sobie na jakoś poradzi z tym zadaniem. Jak ktoś słyszał o wzorze to z niego skorzysta. Jak ktoś jest marny i nie zna wzoru, to wystarczy, że w akcie desperacji wklepie w google "suma dzielników" i już ma na nią wzór. Dalej to już naprawdę bardzo łatwe rozwiązanie, wystarczy nie bać się tylu literek we wzorze i to już się robi samo jak się pamięta co ma wyjść.

4.:    

To jest ładne i o tym pamiętajmy. Tylko... nosz kurde każdy kiedyś widział to zadanie. Nawet gorzej utalentowani i wyćwiczeni znajomi robili to zadanie. Powtarzam to jest ładna sprawa to kopiowanie ruchów, ale... I jak pisze timon92 można znaleźć to zadanko w książce "Liga zadaniowa".

I seria:    

Ogólnie cała seria to prezent od strony Komisji tak żeby licealny przeciętniak mógł otworzyć wzorcówki i rozumieć o co tam chodzi. 1 zadanie bezmyślne, 2 na poziomie liceum, 3 do zgooglowania, 4 najbardziej znane na świecie.

5.:    

Schematycznie, łatwo i znów bezmyślnie. Już w podstawówce takie rzeczy się rozwalało ostatnią cyfrą, a tutaj to sprowadza zadanie do dwóch nietrudnych przypadków. Na domiar złego "Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Teoria liczb, algebra i elementy analizy matematycznej. Wademecum olimpijczyka" Henryka Pawłowskiego czyli słynny niebieski Pawłowski i zadanie Wielka Brytania '81, które było na forum i jeszcze bezczelnie odświeżyło się na forum kilka dni przed terminem - https://www.matematyka.pl/136067.htm. Więc nietrudno było rozwiązać to zadanko i poszczególne przypadki można rozsupływać zapewne na dziesięć tysięcy sposobów.

6.:    

Zadanie proste, ale niełatwe, choć znowu nie jakieś harde. Oczywiście ponieważ to geometria bardzo długo męczyłem, doliczyłem się różnych dziwnych, czasem ładnych rzeczy. Intuicja mi mówiła, że to zadanie na Menelaosa, ale ja nie umiałem go "przyłożyć". W końcu coś tam skleiłem: Tales+Snellius. Do rzeczy jednak: przypadki PQ równoległe do AB się nieco narzucały. Jak nierównoległe to narzuca się jakieś zaznaczenie tej nierównoległości. Albo rysując równoległą tak jak w moim dowodzie, albo rysując punt przecięcia i tu idzie jeden z prostych dowodów z Menelaosa.

7.:    

Nie zrobiłem, a nawet z wielką wiarą nie próbowałem, ale to nie zmienia faktu, że to była łatwa stereo.

8.:    

Ładne zadanie. Naprawdę ładne. Nie będę pierwszym który to powie, ale najładniejsze zadanie pierwszego etapu. Zadanie pod tytułem: "po co ci kartka i długopis? usiądź w fotelu i kmiń!". Długie godziny bardzo miłego kminienia. Bardzo to lubię. Naprawdę fajne. Moje rozwiązanie opiera się na bardzo prostych spotrzeżeniach, które tak dużo wnoszą. Chociaż fakt podany przez Swistaka czyli LI OM etap III zadanie 5 rzeczywiście nieco kompromituje to zadanie. Ale tylko nieco. I oczywiście KPR zmiażdżył to. Eeeeh a próbowałem robić to w podonym stylu.. Jednak pękłem

II seria:    

Ta seria już była trudniejsza nieco. No bo w końcu rzadko w jednej serii zdarzają się przeliczeniowa plani, stereo i nietrywialna kombi. Jednak jakby nie patrzeć zadanie 5. do spisania z Pawłowskiego, w 6 parę punktów wyciągnąć można było, bo niektóre rzeczy się narzucały, i w 8 też pilnie przygotowująca się na zadaniach ze starych olimpiad osoba wyciągnąć te choć 2 punkty mogła.

9.:    

Zadanie, które gdzieś kiedyś na pewno widziałem. Kojarzy mi się z Musztarim, ale wierzę, że Komisja aż tak nie przesadziła. Co by nie mówić od razu się narzuca sprawdzenie parzystości współrzędnych, zauważenie że jest ona zachowana i równanie prostej. Nie ma tu nic ambitnego.

10.:    

Miodzio. Nierówność z opowiadaniem stereometrycznym <3 I nic, że rozebranie nierówności z tego opowiadania jest potwornie łatwe i że sama nierówność do ambitnych nie należy. W domu dla sportu wymyśliłem może z dziesięć dowodów tej nierówności (nie mówię, że się bardzo różnią między sobą). Dowód Marcinka665 fajny. Zawsze zapominam, że można podzielić stronami przez syf z drugiej strony a miałbym jeszcze jedno rozwiązanie! Zaraz wrzucę zapewne najpopularniejszy z dowodów czyli CS, bo nikt jeszcze nie wrzucił. EDIT jednak ktoś wrzucił. Kto? ja. Rozwiązanie wzorcówkowe z praktycznie samą trygonometrią naprawdę niczego sobie, ale zbyt bardzo z kosmosu jak na mój gust.

11.:    

To zadanie można zrobić było całkiem prosto jak się skorzystało z "normalnej definicji dwusiecznej" czyli "Dwusieczna jest zbiorem punktów równo odległych od ramion kąta i zawarta jest w jego osi symetrii." I tu już szło bardzo łatwo z samej tylko własności dwusiecznej i chyba podobnie do tego co we wzorcówce, ale ponieważ nie chce mi się czytać to profilaktycznie wrzucę.

12.:    

Rozwiązanie proste, ale niełatwe. Tyle w tym temacie

III seria:    

Naprawdę niezłe zadania jeśli chodzi o poziom trudności. I propsy dla Komisji na zadanie 10.

Mój ranking trudności:    

11. zad. 4
10. zad. 1
9. zad. 3
8. zad. 5
7. zad. 9
6. zad. 2
5. zad. 10
4. zad. 6
3. zad. 11
2. zad. 12
1. zad. 8
A stereo nie lubię więc nie znalazłem dla niej miejsca w rankingu

I etap:    

trochę za łatwy ten pierwszy etap, boję się hardkorów z drugiego etapu.

[czekoladowy]

Wzorcówka zadania 12. bardzo mi się podoba. Pokażecie swoje rozwiązania (do ostatniego zadania)?? (tylko Brycho pokazał )

[bakala12]

Znowu przekombinowali we wzorcowkach

[Ponewor]

Oto jak moim nieskromnym zdaniem powinna wyglądać wzorcówka do 11:

11.:    

Przez \(\displaystyle{ \left(A, \ BC \right)}\) oznaczmy odległość punktu \(\displaystyle{ A}\) od prostej \(\displaystyle{ BC}\). Mamy ciąg równości:
\(\displaystyle{ \left(Q, \ BC \right)=\left(Q, \ AB \right)=\left(Q, \ AD \right)=\left(Q, \ CD \right)}\). Stąd punkt \(\displaystyle{ Q}\) leży na dwusiecznej albo kąta wewnętrznego \(\displaystyle{ \measuredangle BCD}\), albo zewnętrznego. Jak zewnętrznego to teza, jak wewnętrznego to już od biedy tak długachnie jak we wzorcówce.

[porfirion]

No przekombinowali, nie ma co... 10 - chyba nikt w całym kraju nie zrobił tego w ten sposób. I etap prostszy niż zazwyczaj, ale hardkorów na II bym się mimo to nie spodziewał. Coś mi mówi, że będzie robialnie! Ad Ponewor - zadanie 9 znałem już wcześniej (a przynajmniej b. podobne) pod nazwą "cztery żabki".

[Ponewor]

Każdy rozwiązując zadanie próbuje je sprowadzić do tego w czym się dobrze czuje i odnajduje, do czegoś co dobrze zna i rozumie. Nie uwierzę, że jest w tym kraju ktoś, kto lepiej się czuje w świecie kosinusów niż znanych i kochanych nierówności na prostych literkach.

[bakala12]

Ponewor, stereometrii można nie lubić ale grzechem było jej nie zrobić. Nawetktoś kto nie miał nigdy wiekszego doczynienia ze stereo (czyt. ja) po przemyśleniu dawał rade. Jak dla mnie najtrudniejsze były 8 i 12 bo tylko ich nie zrobiłem. A no i przed drugim etapem polecam coś porobić coś ze stereo bo znowu dadzą taką jak rok temu i bedzie płacz "ale to było łatwe, a ja nie zrobiłem" Moje odczucia:
Darmowe: 1,4,5,9
Proste: 2,3,7
Robialne: 6,10,11
Trudne: 8,12