LXII Olimpiada Matematyczna I etap

[Punkitititi]

Ma ktoś pomysł, jak dalej poprowadzić rozwiązanie nierówności z zad. 6, jeśli mam już taką postać:
a^3/(b^2-bc+c^2)+b^3/(a^2-ac+c^2)+c^3/(a^2-ab+b^2)>=3?

[Marcinek665]

Ma ktoś pomysł, jak dalej poprowadzić rozwiązanie nierówności z zad. 6, jeśli mam już taką postać:
\(\displaystyle{ \frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+ \frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+ \frac{c^3}{a^2-ab+b^2} \ge 3}\)

Skąd taka postać?

[Punkitititi]

Jakieś tam dziwne przekształcenia. Nawet nie pamiętam. Jak nie zachodzi, to chętnie przeczytam kontrprzykład

[Tadeo24h]

Zadanie 6 najłatwiej było rozwiązać przez szacowanie.
Najpierw uwalniamy mianowniki od niewymierności. Powstałe liczniki szacujemy z nierówności Cauchy'ego:

\(\displaystyle{ a^{4}+ a^{2} b^{2} + b^{4} \ge 3a ^{2}b ^{2}}\)

Analogicznie dla pozostałych wyrażeń pod pierwiastkiem.
Oszacowane wyrażenia wstawiamy do głównej nierówności otrzymując wyrażenie mniejsze. Jeżeli udowodnimy że nierówność zachodzi dla mniejszego wyrażenia automatycznie zachodzić będzie dla większego.

Dokonując odpowiednich przekształceń otrzymujemy dla każdego a,b,c >0 wyrażenie większe od 0.
c.n.d

[Marcinek665]

Czyli wg. Ciebie:

\(\displaystyle{ a^{4}+ a^{2} b^{2} + b^{4} \ge 3a ^{2}b ^{2} \Leftrightarrow \frac{1}{a^{4}+ a^{2} b^{2} + b^{4}} \ge \frac{1}{3a ^{2}b ^{2}}}\)

[Swistak]

Też chciałem takiego dissa napisać, ale tam kolega napisał, że szacuje liczniki xp. Nie za bardzo ogarniam o co chodzi xp. Przybliżysz nam bardziej swoje rozwiązanie?

[Tadeo24h]

Czyli wg. Ciebie:

\(\displaystyle{ a^{4}+ a^{2} b^{2} + b^{4} \ge 3a ^{2}b ^{2} \Leftrightarrow \frac{1}{a^{4}+ a^{2} b^{2} + b^{4}} \ge \frac{1}{3a ^{2}b ^{2}}}\)

Absolutnie nie. Szacowanie mianowników daje efekt odwrotny od oczekiwanego. Dostajemy wyrażenie większe które do niczego nie będzie nam potrzebne.

Podaję skan z rozwiązaniem.



Puste nawiasy ( ) oznaczają wyżej zapisane mianowniki których nie chciało mi się przepisywać :p

[Marcinek665]

Link niestety nie działa.

[Tadeo24h]

Magia darmowych serwerów. Już poprawiam.

Link naprawiony. Wszystko działa.

[timon92]

Niestety pomyliłeś się przy włączaniu minus jedynki do ułamka. Szacujesz w złą stronę.

Pozdrawiam

[Damianito]

[edit] Faktycznie, trzeba czytać dokładniej treść zadania.

[Tadeo24h]

Mała poprawka. Teraz już powinno być dobrze.

[Punkitititi]

Ma ktoś pomysł, jak dalej poprowadzić rozwiązanie nierówności z zad. 6, jeśli mam już taką postać:
\(\displaystyle{ a^3/(b^2-bc+c^2)+b^3/(a^2-ac+c^2)+c^3/(a^2-ab+b^2) \geq 3?}\)

To raczej wynika z tezy niż ją implikuje, gdyż \(\displaystyle{ a^3/(b^2-bc+c^2) \geq a^3/\sqrt{b^4+b^2c^2+c^4}}\) itd.

Ale już \(\displaystyle{ a^3/ \sqrt{3} (b^2-bc+c^2) \le a^3/\sqrt{b^4+b^2c^2+c^4}}\), chyba że jest na tyle późno, że czegoś nie widzę. W każdym razie dziękuję

[timon92]

Mała poprawka. Teraz już powinno być dobrze.

Dalej źle. Jak pod koniec zamieniasz ( )( )( ) na \(\displaystyle{ 27a^4b^4c^4}\), to szacujesz w złą stronę.

[Damianito]

Ale już \(\displaystyle{ a^3/ \sqrt{3} (b^2-bc+c^2) \le a^3/\sqrt{b^4+b^2c^2+c^4}}\), chyba że jest na tyle późno, że czegoś nie widzę. W każdym razie dziękuję

Masz rację, źle pamiętałem tezę:) Ta nierówność faktycznie jest prawdziwa, ale za bardzo zmniejsza lewą stronę - dla \(\displaystyle{ (a,b,c)=(2x,2x,x)}\) (\(\displaystyle{ x}\) jest takie, żeby \(\displaystyle{ a^4+b^4+c^4=a^3+b^3+c^3}\)) mamy chyba \(\displaystyle{ a^3/(b^2-bc+c^2)+b^3/(a^2-ac+c^2)+c^3/(a^2-ab+b^2) < 3}\).