LXII Olimpiada Matematyczna I etap

[justynian]

Ale dla czego nie wysłałeś ?? w prawdzie pisze do 4 ale jak dostaną z datą 5 to nie jestem pewien czy od razu do kosza wyrzucą twój list ...

[Marcinek665]

Ok, to jak tam z zadaniami z I i II serii?
Ja na razie mam komplecik, z czym mam pewne wątpliwości odnośnie 8 i 4, reszta na pewniaka . Jak oceniacie poziom zadań? Generalnie wydaje mi się, że pierwsza seria była taką jakby 'reklamą', która miała zachęcić osoby, do startu w OM. Druga z kolei, była już dużo bardziej ciekawa, w szczególności zadanie 6, które będzie jest dla mnie istotnym sygnałem, że nierówności na OM idą jednym sprawdzonym sposobem ( ) lub są polem do popisu dla pałowaczy, z których wyciągają siódme poty.

[Manolin]

MI się udało zrobić zad. 8 w ten sposób :

AU

d2a51668ebe4e859m.jpg (4.21 KiB) Przejrzano 141 razy

[/url]
Łatwo krótko i przyjemnie

[Vax]

@Dumel, tzn. ja w tym roku jeszcze nie startuję w OM, tylko jak zobaczyłem tą nierówność, to spróbowałem znaleźć jakiś sprytny sposób na nią Ale być może masz rację, jeszcze się jej dokładnie przyjrzę Będę musiał poczytać sobie o Jensenie, bo widzę, że dzięki niemu wiele nierówności da się szybko udowodnić

Pozdrawiam.

[Mruczek]

7.

Ukryta treść:    

Niech: \(\displaystyle{ x=a ^{2} +ab+4}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a ^{2}+ab+4 \equiv 0 \ (mod \ x)\\ b^{2}+ab+4 \equiv 0 \ (mod \ x)\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} ab+4 \equiv - a ^{2} \ (mod \ x)\\ ab+4 \equiv -b ^{2} \ (mod \ x)\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ (ab+4) ^{2} \equiv a ^{2} b ^{2} \ (mod \ x)}\)
\(\displaystyle{ 16+8ab \equiv 0 \ (mod \ x)}\)
\(\displaystyle{ 16+8ab=kx, \ k \in C_{+}}\)
\(\displaystyle{ 16+8ab=k(a ^{2}+ab+4)}\)
Dalej dowodzimy, że dla \(\displaystyle{ k \ge 8 \wedge k \le 4}\) powyższa równość nie jest spełniona.
\(\displaystyle{ k \in \left\{ 5, 6, 7\right\} }}\). Sprawdzamy dla tych trzech przypadków.

[mariolawiki1]

Ok, to jak tam z zadaniami z I i II serii?
Ja na razie mam komplecik, z czym mam pewne wątpliwości odnośnie 8 i 4, reszta na pewniaka . Jak oceniacie poziom zadań? Generalnie wydaje mi się, że pierwsza seria była taką jakby 'reklamą', która miała zachęcić osoby, do startu w OM. Druga z kolei, była już dużo bardziej ciekawa, w szczególności zadanie 6, które będzie jest dla mnie istotnym sygnałem, że nierówności na OM idą jednym sprawdzonym sposobem ( ) lub są polem do popisu dla pałowaczy, z których wyciągają siódme poty.

Mnie trudno oceniać zadania, za mało jeszcze umiem. Jedyny dział, w jakim dobrze się czuję to planimetria. Rozwiązywanie zadań zajmuje mi tyle czasu, że II etap musiałby trwać bez przerwy miesiąc, abym miała jakieś szanse
I seria (poza 4 zadaniem) poszła mi w miarę szybko, też i zadanie 8 II serii. Wtedy, gdy myślałam, że mam już 6 zadań (o czym pisałam na forum), okazało się, że jedno mam źle rozwiązane, potem miałam niemal trzytygodniowy zastój, gdzie nie mogłam ruszyć z miejsca. Jak ruszyłam, to rozwiązałam je jednego dnia.
Po prostu u mnie jest ruletka z formą, myśleniem, ze wszystkim. Może kiedyś się to zmieni i będę potrafiła rozwiązywać większość zadań. Na razie nie wiem, czego się mam uczyć, bo tego, czego nie umiem jest więcej, niż tego co umiem.
Pozdrawiam

[Marcinek665]

Przyzwyczaj się, że ucząc się matmy, paradoksalnie będziesz miała coraz większą świadomość tego, czego nie wiesz, a to jest dość przytłaczające na samym początku przygody z OM. Ja tam się tym nie przejmuję i lecę po materiale, który jest mi potrzebny. A satysfakcja ze zrobionych zadań jest naprawdę wielka

[justynian]

Co do poziomu to rzeczywiście 2 seria nieco trudniejsza jednak jedynie nieco, co do samej nierówności to jako moje ulubione zagadnienie rozwiązałem na kilka sposobów jeden panowie już podali, co do metody z Jensenem to także takowy miałem ale ostatecznie wysłałem jak już marcinek napomniał spałowane rozwiązanie gdyż zawsze doceniałem elementarne rozwiązania...

[Marcinek665]

Bynajmniej nie twierdzę, że rozwiązanie z zastosowaniem lematu:
\(\displaystyle{ \frac{a^3}{\sqrt{b^4+b^2c^2+c^4}} \ge \frac{\sqrt{3} a^4}{a^3+b^3+c^3}}\)
jest spałowaniem zadania. Powiedziałbym, że Jensen to laser na muchę, ale w tym przypadku ma już pewne uzasadnienie. Co nie zmienia jednak faktu, że bardziej eleganckie jest rozwiązanie z użyciem tej nierówności.

BTW. Sądzicie, że jeśli nie wspomniałem o czymś tak oczywistym jak to, że suma 3 liczb parzystych jest parzysta, a z tego skorzystałem, to będą cięte punkty?

[Tigro]

BTW. Sądzicie, że jeśli nie wspomniałem o czymś tak oczywistym jak to, że suma 3 liczb parzystych jest parzysta, a z tego skorzystałem, to będą cięte punkty?

Też miałem ten dylemat i postanowiłem jednak dopisać Wpadłem na opisanie tego dopiero jak już pisałem na czysto rozwiązanie ostatniego dnia (wczoraj). Niemniej, myślę, że nie będą się czepiać i nie powinni Ci uciąć - ale ja jestem beniaminkiem olimpiadowym, więc niech się może ktoś bardziej kompetentny wypowie

[justynian]

A to się nie zrozumielismy ja przez spałowanie rozumiem całkiem elementarny dowód ten z użyciem takiej nierównosci jest już w mojej kategorii zgrabnych ... Co do sumy 3 liczb parzystych ja także nie wspomniałem że jest ona parzysta bo także uznałem to za oczywistą oczywistosć cytując klasyka

[Swistak]

Wg mnie wpadnięcie na to, że wystarczy udowodnić że
\(\displaystyle{ \frac{a^3}{\sqrt{b^4+b^2c^2+c^4}} \ge \frac{\sqrt{3} a^4}{a^3+b^3+c^3}}\)
to 95% zadania xp. A w moim przypadku 99,8% czasu, który spędziłem nad tą nierównością . Myślałem nad nią naprawdę długo (przekminiłem to 3 listopada xp, ale i tak nie pobiję tkrassa ), ale gdy zauważyłem, że wystarczy coś takiego, to poszło od ręki ;p.

[silicium2002]

Ja mam takie pytanie. Wasze rozwiązania nierówności z tym pięknem lematem wymiatają, ale powiedzcie mi jak wymyślić że właśnie takiego lematu użyć trzeba?

[Marcinek665]

Mamy:
\(\displaystyle{ a ^{4} +b ^{4} +c ^{4} \ge a ^{3} +b ^{3} +c ^{3} \Leftrightarrow \frac{a ^{4} +b ^{4} +c ^{4}}{a ^{3} +b ^{3} +c ^{3}} \ge 1}\)

To teraz sobie sztucznie wyprodukujemy prawą stronę, mnożąc wszystko przez \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) więc:
\(\displaystyle{ \frac{a ^{4}\sqrt{3} +b ^{4}\sqrt{3} +c ^{4}\sqrt{3}}{a ^{3} +b ^{3} +c ^{3}} \ge \sqrt{3}}\)

Wystarczy więc udowodnić:

\(\displaystyle{ L \ge \frac{a ^{4}\sqrt{3}}{a ^{3} +b ^{3} +c ^{3}}+\frac{b ^{4}\sqrt{3}}{a ^{3} +b ^{3} +c ^{3}}+\frac{c ^{4}\sqrt{3}}{a ^{3} +b ^{3} +c ^{3}}}\)

A tu już lemat się dość mocno rzuca w oczy.

Niemniej, myślę, że nie będą się czepiać i nie powinni Ci uciąć

W sumie... Podałem na wszelki wypadek randumowy układ liczb, który spełnia założenie, więc jestem chyba zabezpieczony na cięcia. W końcu pytanie było o istnienie, a ja podałem przykład, co jest uzasadnieniem na to istnienie.

[Swistak]

Nie tak rzadko zdarzają się nierówności, w których jest jakaś suma ułamków i każdy trzeba oszacować przez jakieś \(\displaystyle{ \frac{a^{k}}{a^{k}+b^{k}+c^{k}}}\) (z dokładnością do przesunięcia), co się wysumuje do czegoś co znamy. Tutaj było dość podobnie. Kiedy wpadłem na to, aby zastosować ten trik zauważyłem, że aby było to jednorodne, to w liczniku muszę walnąć stopień o 1 większy niż w mianowniku, do czego bardzo pasuje założenie.