III Edycja Ogólnopolskiej Olimpiady "O Diamentowy Indeks AGH

[bzyk12]

prawdopodobieństwo z podpunktu C:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=2 ^{2n}}\)

\(\displaystyle{ \overline{\overline{C}}= \frac{ \sum_{k=0}^{n} C ^{k} _{n} \cdot 2 ^{n-k} }{2 ^{2n} }}\)
Rozpisując górę otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 2 ^{n} \cdot (1+ \frac{1}{2}) ^{n} =3 ^{n}}\)
\(\displaystyle{ P _{(C)}= \left( \frac{3}{4} \right) ^{n}}\)

[Karka]

moze ktos napomoze mi ktos wytlumaczyc dlaczego omega wynosi \(\displaystyle{ 2^{2n}}\)

[*Kasia]

Jest \(\displaystyle{ 2^n}\) podzbiorów n-elementowych. Za pierwszym i za drugim razem wybierasz jeden z nich, zatem:
\(\displaystyle{ 2^n\cdot 2^n}\)

[pelas_91]

*Kasia, bądź tak miła i łopatologicznie (jak idiocie ) wyjaśnij skąd się bierze \(\displaystyle{ 3^n}\) w liczniku w zadaniu 6C.

[Afish]

Ja to sobie wyprowadziłem na konkursie w taki sposób:
Mamy \(\displaystyle{ n}\) elementów. Z tego możemy zrobić \(\displaystyle{ 2 ^{n}}\) zbiorów. Są to kolejno:
\(\displaystyle{ {n \choose 0}}\) zbiorów pustych, \(\displaystyle{ {n \choose 1}}\) zbiorów jednoelementowych, \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\) zbiorów dwuelementowych i tak dalej. Teraz losuję z tych wszystkich zbiorów jeden: jeżeli wylosuję zbiór pusty, to w drugim losowaniu mogę wybrać dowolny z \(\displaystyle{ 2 ^{n}}\) zbiorów. Jeżeli wylosuję zbiór jednoelementowy, to w następnym losowaniu mogę wylosować \(\displaystyle{ 2 ^{n-1}}\) zbiorów, które są rozłączne z wylosowanym. A bierze się to stąd, że jeżeli na początku mieliśmy \(\displaystyle{ n}\) elementów, z których tworzyliśmy zbiory, to po wylosowaniu zbioru jednoelementowego niejako "wyrzucamy" ten element z puli elementów, z których tworzymy zbiory. Zostaje nam \(\displaystyle{ n-1}\) elementów, czyli wszystkich zbiorów możemy zrobić \(\displaystyle{ 2 ^{n-1}}\). Czyli otrzymujemy: \(\displaystyle{ {n \choose 1} *2 ^{n-1}}\). Jedziemy dalej. Jeżeli wylosowaliśmy zbiór dwuelementowy (takich zbiorów jest \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\)), to w drugim losowaniu możemy wylosować \(\displaystyle{ 2 ^{n-2}}\) zbiorów rozłącznych ze zbiorem wylosowanym za pierwszym razem. Analogicznie możemy to sobie wyobrazić, że mając \(\displaystyle{ n}\) elementów "wyrzucamy" z puli 2 elementy i zostaje nam ich \(\displaystyle{ n-2}\), czyli możemy z nich utworzyć \(\displaystyle{ 2 ^{n-2}}\) zbiorów. I tak dalej.
Gdy to wszystko posumujemy, to otrzymamy:
\(\displaystyle{ {n \choose 0} *2 ^{n} + {n \choose 1}*2 ^{n-1} +{n \choose 2} *2 ^{n-2} \cdot \cdot \cdot + {n \choose n-1}*2 ^{1} + {n \choose n} *2 ^{0}}\)
A teraz zauważamy, że jest to rozwinięcie dwumianu Newtona (taki "wzór skróconego mnożenia"): \(\displaystyle{ (2+1) ^{n}}\), czyli po prostu \(\displaystyle{ 3 ^{n}}\)
Mam nadzieję, że zrozumiale to opisałem

[pelas_91]

Bingo! Wielkie dzięki

[wally]

Kasia trochę dziwnie to napisała, ale chodzi (tak myślę) o to:
Mamy 2 zbiory A i B (te mają być rozłączne).
Rozważamy wszystkie elementy wyjściowego zbioru. Każdy element możemy przypisać do A, B lub do żadnego z nich, a więc dla każdego elementu są 3 możliwości. Tak więc możemy takie zbiory utworzyć na \(\displaystyle{ 3^{n}}\) sposobów

[*Kasia]

wally, tak, dokładnie o to chodzi... Choć muszę przyznać, że Twoje wyjaśnienie jest bardziej zrozumiałe...

[wizzy]

wie ktoś może kiedy będą wyniki? :>

[misq23]

napisałem do nich maila z zapytaniem, ale niestety odpowiedzi nie otrzymałem (i znając życie nie otrzymam:/).
rok temu wyniki były bodajże już podczas trwania matur, także wyniki otrzymamy zapewne około maja (oby przed majem ).
jeśli miałby ktoś lepsze informacje na ten temat to wrzućcie!

[pelas_91]

napisałem do nich maila z zapytaniem, ale niestety odpowiedzi nie otrzymałem (i znając życie nie otrzymam:/).
rok temu wyniki były bodajże już podczas trwania matur, także wyniki otrzymamy zapewne około maja (oby przed majem ).
jeśli miałby ktoś lepsze informacje na ten temat to wrzućcie!

mnie jakas Pani zapewniala ze wyniki beda jeszcze przed koncem roku szkolnego (klas maturalnych!)

[Tomas_91]

Wie ktoś, jak było w tamtym roku z wynikami? Czy były zamieszczone wyniki wszystkich osób, czy tylko laureatów 1,2 i 3 stopnia wraz z wynikami?

A czy te osoby które zdobyły indeks 3 stopnia otrzymają go listownie czy będą musiały jechać do Krk?

[szymek12]

Wyniki w tamtym roku były 21 kwietnia, a finał był 5 kwietnia. Już niedługo jak sądzę.

[kiecior23]

Są już wyniki trzeciego etapu: ... .php?id=23 Gratuluję wszystkim laureatom.

[pelas_91]

Dzięki za info Aż miło się patrzy na te liste