[Konkurs internetowy z matematyki - Politechnika Warszawska]

[enigm32]

W Twoim przykładzie, DoMini1606, nawias powinien być chyba zamknięty poza pierwiastkiem, chyba, że zgudbiłaś jakiś inny?
\(\displaystyle{ (-1)^nsin(\pi\sqrt{n^2+\frac{2}{3}n+1})sin\frac{1}{n}}\)
Jeśli jest tak, to granica wynosi 0, tak jak napisał Szemek, ponieważ \(\displaystyle{ (-1)^2}\)- ograniczony; \(\displaystyle{ sin(\pi\sqrt{n^2+\frac{2}{3}n+1})}\)- ograniczony oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{n} 0 sin\frac{1}{n} 0}\)...

Co do tablic, to chyba ich nie dostaniemy... Nie można używać tam niestety nawet kalkulatora:( Chociaż z drugiej strony w większości zadań jest on niepotrzebny...

[neo.]

Szemek, to co napisałeś nie w całej ogólności prawdą w przypadku granic. Mamy wszak sybole nieoznaczone jak \(\displaystyle{ \infty 0}\). W tym zadaniu, o ile mi wiadomo to co napisaliście jest jeszcze przemnożone przez \(\displaystyle{ n}\), co znacznie komplikuje rozwiązanie. (zabawa wzorami trygonometrycznymi)

[enigm32]

Tu nie ma żadnego symbolu nieoznaczonego, ani nic nie jest przemnożone przecież przez \(\displaystyle{ n}\)?

[Szemek]

Nie ma żadnego symbolu nieoznaczonego.

[DoMini1606]

Jest przemnożone przez \(\displaystyle{ + }\) w przypadku n parzystego lub przez \(\displaystyle{ - }\) w przypadku n nieparzystego. Właśnie dlatego stwierdziłam, że taka granica nie istnieje.

[enigm32]

\(\displaystyle{ (-1)^n}\) przyjmuje wartość -1 lub 1, w zależności od parzystości n
Nie ma tu granicy niewłaściwej w nieskończoności.

[ Dodano: 24 Kwietnia 2008, 16:50 ]
No i oczywiście funkcja sinus przyjmuje tylko artości z przedziału \(\displaystyle{ }\)...

[neo.]

Mam to zadanie, proszę zerknąć;
\(\displaystyle{ lim(-1)^n n \sin ft( \pi \sqrt{n^2 + \frac{2}{3} n + 1} \right) \sin \frac{1}{n}}\)

A odnośnie stwierdzenia Szemka chodziło mi po prostu o podkreślenie, że w jest to szczególny przypadek (odnośnie treści oryginalnej) i że należy zwracać uwagę na istnienie sybmolu nieoznaczonego, o którym wspominałem. Więc granicą tegoż ciągu nie jest \(\displaystyle{ 0}\), a przynajmniej nie możemy tego wywnioskować po granicy ciągu \(\displaystyle{ \sin \frac{1}{n}}\).

[enigm32]

A, no to trzebabyło od razu mówić, że treść jest inna, skąd mielibyśmy to wiedzieć, w takim wypadku masz rację:)

[claine]

jakie mieliscie wyniki? moje to:
1. \(\displaystyle{ x R\backslash {1}}\)
2. \(\displaystyle{ n=10}\)
3. \(\displaystyle{ =-3}\)
4. \(\displaystyle{ = \frac{9}{13}}\)
5. chyba \(\displaystyle{ \frac{4 \sqrt{2}r ^{3}\tan\beta }{3}}\)
I jakim sposobem rozwiazaliscie zad. 3?

[Einstein ;)]

można prosić o treść zadań?

[Sylwek]

1. Rozwiązać nierówność: \(\displaystyle{ x^6-6x+5>0}\)

2. Znajdź takie \(\displaystyle{ n \mathbb{N}}\), że:
\(\displaystyle{ \left \frac{1+3+5+\ldots+(2n-1)}{\frac{1}{1 2}+\frac{1}{2 3} + \frac{1}{3 4} + \ldots + \frac{1}{n (n+1)}}\right = 110}\)

3. Obliczyć wartość wyrażenia: \(\displaystyle{ log_2 (\sin 54^o) + 2 log_4 (\sin 18^o)}\)

4. Dane są dwie zewnętrznie identyczne kostki do gry. Pierwsza z nich jest symetryczna, a prawdopodobieństwo wypadnięcia trzech oczek kiedy rzucamy drugą kostką jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\). Rzucono dwukrotnie losowo wybraną kostką i wypadły dwie trójki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że rzucono kostką niesymetryczną?

5. Podstawą ostrosłupa jest trapez równoramienny opisany na okręgu o promienu \(\displaystyle{ r}\), którego kąt ostry ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\). Każda krawędź boczna osrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze równej \(\displaystyle{ \beta}\). Obliczyć objętość ostrosłupa.

A moje wyniki:
1. \(\displaystyle{ x (-\infty,1) \cup (1,+\infty)}\) - \(\displaystyle{ L=(x-1)^2 ft ( (x+1)^2 (x^2 + 2) + 3 \right)}\) albo jeśli \(\displaystyle{ f(x)=x^6-6x+5}\), to \(\displaystyle{ f'(x)=0 \iff x=1}\), a \(\displaystyle{ f(1)=0}\), prościutkie
2. \(\displaystyle{ n=10}\) - chyba nie trzeba komentować
3. \(\displaystyle{ -2}\) - więc: \(\displaystyle{ log_2 (\sin 54^o) + 2 log_4 (\sin 18^o)=\ldots = log_2 (\sin 54^o \sin 18^o)=\ldots=\log_2 (\frac{1}{4})=-2}\), przed chwilą jeszcze sobie sprawdziłem to na kalkulatorze
4. \(\displaystyle{ \frac{9}{13}}\) - wzór Bayesa
5. \(\displaystyle{ \frac{4r^3}{3} \frac{\sqrt{\cot^2 + 2} \tan \beta}{\sin^2 }}\) - siłownia...


Swoją drogą bardzo dziwne, że organizatorzy dali nam 3h na te zadania, w 208 pierwsza osoba opuściła salę po około godzinie, ja się wolałem rozpisać i wyszedłem po dwóch godzinach - głównie rozpisałem się w zadaniu 5., które zajęło mi 4,5 strony . Ogólnie - za łatwe jak na taki konkurs i taki czas pisania, jedynie stereometria wymagała czasu i być może pomysłu, ale też raczej schematyczne. Swoją drogą zadanie 3. szło z miejsca, gdy przejrzało się zeszłoroczne zadania z finału...

[claine]

Sylwek sprawdź jeszcze raz zad. 1.. na przykład czy na pewno sie nie zgadza dla x=0. wg mnie moja odpowiedź jest poprawna. w 3. nie wiem skad sie bierze to \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\), siedziałem nad tym 1,5 godziny wyprowadzając wzór na \(\displaystyle{ \sin 5x}\), a potem próbując wyznaczyć \(\displaystyle{ \sin 18}\)z równania 4. st.. a w 5. z zadania nie wynika przypadkiem że \(\displaystyle{ \alpha=90}\)?

[Sylwek]

claine, wynik do zadania pierwszego mam taki jak Ty, może coś źle przeczytałeś

Co do 3., to ten link powinien Ci wszystko wytłumaczyć: https://matematyka.pl/34119.htm#147454 , ogarnięcie zadań z zeszłorocznego finału PW pozwoliło zrobić to zadanie 'od ręki'

[allure]

Ja tam jakimś orłem nie jestem, ale w sumie zadania nie były zbyt wygórowane, przed konkursem tak myślałem, żeby chociaż jedno zrobić, żeby siepy nie było. Strasznie standardowe były. Szczególnie 5 trzeba było być cierpliwym i nie zrobić żadnego błędu, w czwartym źle dodałem 16+36 wyszło mi że to jest 48 ;] żal. A reszta chyba dobrze.

[claine]

A w 5. z zadania nie wynika, że \(\displaystyle{ \alpha=90}\)?