III Edycja Ogólnopolskiej Olimpiady "O Diamentowy Indeks AGH

[kuba746]

\(\displaystyle{ f(x)=(1+mx)^{\frac{1}{3}}-1}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{1}{3}(1+mx)^{\frac{-2}{3}}\cdot m}\)

[blost]

misq23 musisz tutaj uzyc tzw reguly lancuchowej poczytaj o tym na wiki.

[misq23]

dzięki wielkie koledzy już łapę
no teraz to można jakieś deko poważniejsze granice liczyć i wychodzą wreszcie -- 28 marca 2010, 19:00 --I jakie odczucia po ostatnim etapie ?
Udało się komuś treści zadań zdobyć ? U nas kazali wszystko oddawać bezwzględnie :/:/

Osobiście mnie zaskoczyło bardzo zadanie z prawdopodobieństwa i nie wiem czy w ogóle treść zrozumiałem poprawnie :/ nie podoba mi się mój wynik ze stereo :/ a reszta wydawała się osiągalna hmm
Rzucę swoje wyniki wieczorem,teraz muszę uciekać. Jeśli ktoś ma (albo pamięta treść) to wrzućcie na forum proszę.

No i publikujcie swoje wyniki!

[matk]

Granica wyszła 3/2, ostrosłup wyszedł dziki, a okręgi styczne. Tyle pamiętam

[pelas_91]

Granica wyszła 3/2, ostrosłup wyszedł dziki, a okręgi styczne. Tyle pamiętam

Zadanka ciekawe. Postarali się w tym roku. Mnie granica wyszła 1/2 ale może być źle bo jeszcze takiej nie liczyłem. Ostrosłup był obrzydliwie paskudny. Okręgi o ile pamiętam syczne, a dokładnie styczne wewnętrznie.

Ktoś może pokazać całe wyliczenie granicy oraz zadanie 6 z prawdopodobieństwa zdarzenie C? I najlepiej jeszcze ten okropny otrosłup.

[MatizMac]

Przy granicy trzeba bylo przyjac ze ten ciag geom. ma n+1 wyrazow a nie n i wyszlo mi tez 3/2

[szymek12]

Granica 3/2, stereo mi się bardzo podobała, prawdopodobieństwo też niczego sobie, okręgi styczne wewnętrznie. Przynajmniej postarali się bardziej niż rok temu;)

[pelas_91]

No podajcie jakieś wyniki z reszty zadań Nikt nie spisał?

[Tomas_91]

A mi wyszła taka granica: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ a _{n} = \frac{1}{3 ^{n}+ 2 ^{n} } + \frac{3}{3 ^{n}+ 2 ^{n}}+ \frac{9}{3 ^{n}+ 2 ^{n}}+...+\frac{1}{3 ^{n}+ 2 ^{n}}}\)

\(\displaystyle{ a _{1} =\frac{1}{3 ^{n}+ 2 ^{n} }}\)

\(\displaystyle{ q=3}\)

Granica:

\(\displaystyle{ \frac{1}{3 ^{n}+ 2 ^{n} } * \frac{1-3 ^{n} }{1-3}= \frac{3 ^{n}-1 }{2(3 ^{n}+2 ^{n} ) } = \frac{1- \frac{1}{3 ^{n} } }{2+ 2*( \frac{2}{3}) ^{n} }= \frac{1}{2}}\)
Czyli źle?

W 7 wyszedł mi przedział: \(\displaystyle{ (-2,3 \ge}\)
W 3 okręgi styczne wewnętrznie
W 1 x=0 i \(\displaystyle{ -\frac{pi}{8} + \frac{1}{2} k*pi}\)
W 2 \(\displaystyle{ \frac{pi *C ^{2} }{16}}\)

[nikasek11]

Z ostrosłupem nie byłoby problemu gdyby nie trzeba było dodatkowo wyprowadzać wzoru na promień okręgu wpisanego i pola powierzchni ośmiokąta. Niestety machnęłam sie gdzieś w obliczeniach bo mi wzór na pole wyszedł inny niż w tablicach. Zobaczymy jak będą punktować

\(\displaystyle{ 1. x= \frac{3 \pi }{8}+ \frac{k \pi }{2} \vee x=0}\) , \(\displaystyle{ k \in}\)\(\displaystyle{ C}\)
\(\displaystyle{ 2. \frac{ \pi C^{2}}{16}}\)
\(\displaystyle{ 3.}\) okregi stycznie wewnetrznie
\(\displaystyle{ 4. \frac{3}{2}}\)

[*Kasia]

W drugim napisałam, że nie osiąga maksymalnej powierzchni. Moim zdaniem jeśli wierzchołek stożka będzie leżał na podstawie, to ciężko mówić o stożku...

Ktoś może pokazać całe wyliczenie granicy oraz zadanie 6 z prawdopodobieństwa zdarzenie C? I najlepiej jeszcze ten okropny otrosłup.

Odnośnie rachunku:
Zauważmy, że dla każdej pary podzbiorów rozłącznych (z danej kolejności) istnieje dokładnie jedna trójka podzbiorów parami rozłącznych, takich, że w sumie dają cały zbiór S.
Takich trójek jest \(\displaystyle{ 3^n}\), ponieważ każdy z n elementów podzbioru może trafić do jednego z tych trzech podzbiorów.

[misq23]

1. \(\displaystyle{ x=0 v x= \frac{3}{8} \pi + \frac{k}{2} \pi}\)
2. \(\displaystyle{ \frac{ \pi C^{2}}{16}}\)
3. styczne wewnętrznie
4. mój wynik i tok rozumowania jest identyczny jak Tomas_91. Dlaczego uważacie, że to złe rozwiązanie ? :/ podajcie swoje pełne rozwiązanie jeśli możecie.

5. i tu śmieszny ten wynik i jakoś mi się nie podoba
\(\displaystyle{ a^{3}tg \alpha ( \frac{(n-1)^{3}}{n^{3}} - \frac{(n-1)^{6}}{n^{6}})}\)
6. Tutaj nie jestem pewny czy dobrze zrozumiałem zadanie , wyszła komuś moc = \(\displaystyle{ 2 ^{2n}}\)?
7. \(\displaystyle{ (-2,3>}\)

btw, dzieki matk za treści



@edit
ale ze mnie idiota pomyliłem wzór na sumę ciągu geometrycznego i zamiast w liczniku \(\displaystyle{ 1-q^{n}}\) dałem \(\displaystyle{ 1 - q^{n-1}}\) dlatego wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) :/ a w komentarzu napisałem, że wyrazów jest n+1 echhh....za słabą pamięć się płaci....:/
a jak reszta zadań ?

[nikasek11]

\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{1}{3^{n}+2^{n}} +\frac{3}{3^{n}+2^{n}} +\frac{9}{3^{n}+2^{n}} + ... + \frac{3^{n}}{3^{n}+2^{n}} =\frac{1}{3^{n}+2^{n}} * 1 * \frac{1-3^{n+1}}{1-3} = \frac{3^{n+1}-1}{2*3^{n}+2^{n+1}}}\)

Przy liczeniu granicy dzielimy wszystko przez \(\displaystyle{ 3^{n+1}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to + \infty }a_{n}= \frac{1-0}{ \frac{2}{3} +0} = \frac{3}{2}}\)

[kluczyk]

Potwierdzam odpowiedzi nikasek11 do pierwszych czterech zadań. Jesli chodzi o 5 to żadnego promienia okręgu wpisanego nie wyprowadzałem. Wyszło mi \(\displaystyle{ a^{3} \cdot tg\alpha \cdot ( \frac{(n-1)^{3}-(n-2)^{3}}{12 \cdot n^{3}})}\) chyba . W 7 \(\displaystyle{ (-2,3>}\). W 6 istotnie, moc taka wyszła misq23. Podpunkt C potwierdzam, jak *Kasia tyle, że ja robiłem trochę innym sposobem W podpunkcie a : \(\displaystyle{ A=2 \cdot 2^{n}-1}\) , w b mam: \(\displaystyle{ B=n^{2}}\)

[nikasek11]

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{2^{n+1}-1}{2^{2n}}}\)

\(\displaystyle{ P(B)= \frac{2^{n}-n}{2^{2n}}}\)