[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

[losiu99]

\(\displaystyle{ n^{n} \le (n!)^{2} \le ( \frac{(n+1)(n+2)}{6} )^{n}}\)

[bzdury].......[/bzdury]

[frej]

Niestety nie masz racji, losiu99. Sprawdź sobie ten wzór na sumę kwadratów.

[losiu99]

Upss, oczywiście racja W takim razie rzeczywiście trzeba trochę pokombinować.

[Dumel]

dla dodatnich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a,b,c,x,y,z}\):
\(\displaystyle{ \frac{a^3}{x}+ \frac{b^3}{y}+ \frac{c^3}{z} \ge \frac{(a+b+c)^3}{3(x+y+z)}}\)

to bylo łatwiutkie teraz coś trudniejszego:
dal dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a,b,c,d}\)
\(\displaystyle{ ( \frac{ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6})^2 \ge \frac{a+b+c+d}{4}\cdot \frac{abc+abd+acd+bcd}{4}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i- \sqrt[n]{ \prod_{i=1}^{n}x_i } \ge \frac{1}{8n} \sum_{i=1}^{n}(x_i-x_{i+1})^2}\)
dla liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ 1 \ge x_1,x_2,...,x_n \ge 0}\)

[binaj]

1. przez \(\displaystyle{ \sum}\) oznaczymy sumę cykliczną, przekształcamy równoważnie:

\(\displaystyle{ ( \sum \frac{a^3}{x})(\sum x) \ge \frac{1}{3} (\sum a)^3}\)

teraz z CSa: \(\displaystyle{ ( \sum \frac{a^3}{x})(\sum x) \ge (\sum a^{\frac{3}{2}})^2}\)

do udowodnienia zostało: \(\displaystyle{ (\sum a^{\frac{3}{2}})^2 \ge \frac{1}{3} (\sum a)^3}\)

co jest równoważne: \(\displaystyle{ \sqrt[ \frac{3}{2} ]{ \frac{\sum a^{ \frac{3}{2} }}{3} } \ge
\frac{1}{3}(\sum a)}\) czyli nierówności między srednimi potęgowymi dla stopni \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) i \(\displaystyle{ 1}\)

[Dumel]

ok, moje rozwiązanie:

Ukryta treść:    

z nierówności Holdera:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{a^3}{x} \ge \frac{( \sum_{}^{} a)^3}{( \sum_{}^{} \sqrt{x})^2 } \ge \frac{( \sum_{}^{} a)^3}{ \frac{1}{3} ( \sum_{}^{} x)^2 }}\)

[binaj]

2. jest to nierówność Newtona dla n=4, i k=2



na OM by mi uznali?

to też tam znalazłem, też przydatne do rozwalania takich nierówności

[Dumel]

te nierówności znalazły się też w kompendium podstaw matematyki w artykule Piotra Rutkowskiego (jakis czas temu byl spory update)

-- 21 lipca 2009, 21:03 --

no to dorzuce jeszcze jedną (dosyć mocna i raczej trudna):
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{b_i}{b_i+B}=n-1}\) dla dodatnich liczb \(\displaystyle{ b_1,b_2,...,b_n,B}\)
wykazać, że
\(\displaystyle{ B \le \frac{ \sqrt[n]{ \prod_{i=1}^{n}b_i } }{n-1}}\)

-- 23 lipca 2009, 13:02 --

może ktoś tu kiedyś zajrzy, to wrzuce coś bardziej IMOwego:
\(\displaystyle{ x_i \in <a,b>}\) (\(\displaystyle{ 0<a \le b}\))
udowodnić, że
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} x_i^3 \sum_{}^{} \frac{1}{x_i} \le n^2 \frac{(a+b)^2(a^2+b^2)^2}{4ab(a^2+ab+b^2)}}\)
wyznaczyć wszystkie ciągi dla których zachodzi równość

Ukryta treść:    

Zwardoń 2005 zad. 24. jedna dwójka i 19 zer

-- 23 lipca 2009, 15:54 --

------------------------------------------------------------------------------------------
\(\displaystyle{ k \ge l>0}\)
\(\displaystyle{ a_1,a_2,...,a_i>0}\)
\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n} a_i=1}\)
udowodnić, że
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}a_i^k \ge \sum_{i=1}^{n}a_i^l}\)
------------------------------------------------------------------------------------------
\(\displaystyle{ a_1,a_2,...,a_i \ge 0}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}a_i=1}\)
wyznaczyć w zależności od \(\displaystyle{ n}\) maksymalną wartość wyrażenia
\(\displaystyle{ \sum_{cyc}^{}x_ix_{i+1}}\)
oraz podać wszystkie ciągi \(\displaystyle{ (a_i)}\) liczb realizujących to maksimum.

-- 26 lipca 2009, 21:27 --

żeby nie została zapomniana i nie zginela w tłumie przytocze ja jeszcze raz

\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i- \sqrt[n]{ \prod_{i=1}^{n}x_i } \ge \frac{1}{8n} \sum_{i=1}^{n}(x_i-x_{i+1})^2}\)
dla liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ 1 \ge x_1,x_2,...,x_n \ge 0}\)

[binaj]

wyznaczyć w zależności od \(\displaystyle{ n}\) maksymalną wartość wyrażenia
\(\displaystyle{ \sum_{cyc}^{}x_ix_{i+1}}\)

ta suma wynosi:
\(\displaystyle{ x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+...+x_{n-1}x_{n}}\) czy \(\displaystyle{ x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+...+x_{n-1}x_{n}+x_{n}x_{1}}\) ??

ja wrzucę coś robialnego i bardziej II etapowego:

1. Liczby dodatnie \(\displaystyle{ x_1,x_2,...x_n}\) spełniają warunek:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} x_{i} \le \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}}\)

Dowieść, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ t}\) większej od 1 zachodzi nierówność:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{t} \le \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{t+1}}\)

2. Suma nieujemnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a,b,c,d,e,f}\) wynosi \(\displaystyle{ 6}\).
Znaleźć największą możliwą wartość wyrażenia \(\displaystyle{ W}\):

\(\displaystyle{ W=abc+bcd+cde+def+efa+fab}\) (W=abc+bcd+cde+def+efa+fab)

i wyznaczyć wszystkie szóstki dla których ta największa wartości jest osiągalna.

[frej]

1 od binaja
\(\displaystyle{ 0\le \sum_{i=1}^{n} (x_i^2-x_i) \le \sum_{i=1}^{n} x_i^{t-1} (x_i^2-x_i)}\)
Jeśli \(\displaystyle{ x_k \in (0,1]}\) to \(\displaystyle{ x_k^2-x_k\le 0}\) oraz \(\displaystyle{ x_k^{t-1} \le 1}\)
Jeśli \(\displaystyle{ x_kin [1,infty)}\) to oczywiście \(\displaystyle{ x_k^2-x_k\ge 0}\) oraz \(\displaystyle{ x_k^{t-1} \ge 1}\)

Jest OK? Bo jakoś strasznie prosto poszło...

[Dumel]

wyznaczyć w zależności od \(\displaystyle{ n}\) maksymalną wartość wyrażenia
\(\displaystyle{ \sum_{cyc}^{}x_ix_{i+1}}\)

ta suma wynosi:
\(\displaystyle{ x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+...+x_{n-1}x_{n}}\) czy \(\displaystyle{ x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+...+x_{n-1}x_{n}+x_{n}x_{1}}\) ??

to drugie

[Wasilewski]

A czy \(\displaystyle{ x_{i}}\) mają jakiś związek z \(\displaystyle{ a_{i}}\)? ;]

[frej]

Pierwsze zadanie Dumla:https://matematyka.pl/84787,25.htm

[binaj]

1 od binaja
\(\displaystyle{ 0\le \sum_{i=1}^{n} (x_i^2-x_i) \le \sum_{i=1}^{n} x_i^{t-1} (x_i^2-x_i)}\)
Jeśli \(\displaystyle{ x_k \in (0,1]}\) to \(\displaystyle{ x_k^2-x_k\le 0}\) oraz \(\displaystyle{ x_k^{t-1} \le 1}\)
Jeśli \(\displaystyle{ x_kin [1,infty)}\) to oczywiście \(\displaystyle{ x_k^2-x_k\ge 0}\) oraz \(\displaystyle{ x_k^{t-1} \ge 1}\)

Jest OK? Bo jakoś strasznie prosto poszło...

narysowałem wykresy w programie i się zgadza

zadanie pojawiło się w 2 dniu zawodów II stopnia na 46 OM

moje rozwiązanie było takie:

\(\displaystyle{ \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i^{t+1}}{\sum_{i=1}^{n}x_i^{t}} \ge \frac{ \sum_{i=1}^{n}x_i^{2}}{\sum_{i=1}^{n}x_i} \ge 1}\)

pierwszą nierówność wymnażamy i później z ciągów jednomonotonicznych

[frej]

Jakie wykresy?

Normalnie zawsze zachodzi dla
\(\displaystyle{ x\in(0,1] \quad x^2-x\le x^{t-1}(x^2-x)}\)
\(\displaystyle{ x\in (1,\infty) \quad x^2-x\le x^{t-1}(x^2-x)}\)
i tyle.