Olimpiada o "Diamentowy indeks AGH"

[Lorek]

Ja tez w 105 byłem, 3 rząd od dołu, w środku Najlepsi byli goście co nie wiedzieli w jakiej sali piszą, a się później jeszcze okazywało, że w innym budynku A co do zadań oczywiście najlepsze było z prędkością średnią, chciałem od razu wynik napisać, a tu nie - trzeba wyprowadzać

[Suvi]

Lorek ja siedzialm na samym dole w srodku ;D ano z ta predkoscia to zabilo ;D robilam to zadanie na sprawdzianie z fiozyki w gimnazjum ;d

[jonny]

1. Obliczyć pola trojkatow na jakie dzieli przekątna trapez, wiedzac ze pole trapezu wynosi P i podstawy trapezu sa podobne w skali k>1

2. Nierówność \(\displaystyle{ 0,1^{x}}\)*\(\displaystyle{ 0,1 ^{x ^{3} }}\)*\(\displaystyle{ 0,1 ^{x ^{5} }}\) ... > \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt[3]{1000} }{10}}\)

3. Zadanie z szybkosciami srednimi, chyba nie ma sensu pisac

4.Promien okregu jest rowny 3, znajdz rownania wszystkich takich okregow ktore sa styczne do osi OX i do prostej 12x+5y=0 (chyba ?)

--------------------------------------
Zadania po 20 punktów


5. W walec wpisano czworoscian. Znajdz stosunek pola powierzchni sfery opisanej na walcu do pola powierzchni sfery wpisanej w czworoscian

6. nie pamietam tego rownania ale trzeba bylo znalesc dla jakiego m istnieje jeden pierwiastek mniejszy od 2. Rownanie bylo postaci \(\displaystyle{ 3 ^{x}}\)

7. Prawdopodobienstwo. Majac okreslony zbior: {1...1000} losujemy z niego podzbior {p,q,r}
oblicz prawdopodienstwo ze p*q*r jest podzielne przez 3

-------------------------------------
No to teraz odpowiedzi podawajcie !!!

[luka52]

Można wiedzieć ile trwał konkurs?

[Suvi]

2h
tylko to 7 zadanie jest niepelne byl jeszcze zakręcony podpunkt b

[jonny]

120 minut, jak dla mnie troche za krotko, braklo mi tak okolo 20-30 minut zeny napisac i sprawdzic wszystko

[ Dodano: 6 Kwietnia 2008, 19:54 ]
Wiem ze byl ale przyznam sie ze nawet nie przeczytalem go dokladnie, braklo czasu

[enigm32]

W podpunkcie b do zaania 7, chodziło o to, że dana jest funkcja jakaś tam, która przyporządkowuje każdej trójce liczb p,q,r liczbę środkową, to znaczy jeśli p

[Suvi]

kolega mój napisał "500 i 501 bo tak" ;D

[jonny]

Moje odpowiedzi :

1. \(\displaystyle{ P _{1}}\)= \(\displaystyle{ \frac{PK}{k+1}}\)
\(\displaystyle{ P _{2}}\)= \(\displaystyle{ \frac{P}{k+1}}\)

2. X\(\displaystyle{ \in}\) (-1, -\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\))

3. 80

4. wyszly rownania 4 okregow

5 i 6 nie pamietam dokladnie

7. nie dokonczylem

[enigm32]

Ile wyszło wam w tym zadaniu z parametrem dokładnie, bo ja własnei nie pamietam, wiem że taki przedział (1 i coś ; 2).
Równań okręgów to wyszło mi 4, współrzędne środków chyba \(\displaystyle{ (4\frac{1}{2};3), (-4\frac{1}{2} ; 3), (4\frac{1}{2} ; -3), (-4\frac{1}{2} ;3)}\)
Rozwiąanie tej nierówności za 10 pkt, to chyba
\(\displaystyle{ (-1;\frac{1}{2})}\) o ile obrze pamiętam
Prędkość 80, pola trójkątów \(\displaystyle{ \frac{Pk}{1+k}, \frac{p}{1+k}}\) czy jakoś tak,.
Z prawdopdobieństwa to wynik zosatwiłem rozbudnwony doscy, w każdym razie robiłęm jakoś tak, że wśród tych liczb conajmenij ejdna musi być podzielna przez 3, wsyztkich lcizb od 1-1000 podzilenych jest 333, bo co trzecia, no podzieliłem ilośc kombinacji w któych występuje jenda dwie lub trzy te liczby z 333 przez ilość wszystkich kobinacji zbioru 1000-elementowego i taki ułamek zostawiłem...

[Sylwek]

Lekka errata:

2. \(\displaystyle{ 0,1^x \cdot 0,1^{x^3} \cdot 0,1^{x^5} \cdot \ldots >\frac{\sqrt[3]{10000}}{100}}\)

5. A nie było przypadkiem, że na czworościanie foremnym opisano walec w ten sposób, że pewne dwie proste skośne są zarazem średnicami przeciwległych podstaw walca? A potem obliczyć stosunek pola powierzchni kuli opisanej na walcu do pola powierzchni kuli wpisanej w ten walec.

6. \(\displaystyle{ (m-2)9^x+(m+1)3^x-m=0}\), znajdź \(\displaystyle{ m}\), dla których to równanie ma dokładnie jeden pierwiastek mniejszy od 2.

7. Mając określony zbiór: \(\displaystyle{ \lbrace 1,2, \ldots, 1000\rbrace}\) losujemy z niego podzbiór \(\displaystyle{ T=\lbrace p,q,r \rbrace}\)
a) oblicz prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ pqr}\) jest podzielne przez 3
b) niech dla danego zbioru \(\displaystyle{ T}\) niech \(\displaystyle{ \phi(T)}\) określa element środkowy (np. gdy \(\displaystyle{ p (-\infty, \frac{1}{2})}\)

3. \(\displaystyle{ 80\frac{km}{h}}\)...

4. \(\displaystyle{ \begin{cases}|y_s|=3 \\ \frac{|12x_s+5y_s|}{\sqrt{12^2+5^2}}=3 \end{cases}}\)
rozwiązujesz ten układ równań i wychodzą 4 okręgi.

5. to zacząłem robić 5 minut przed końcem i wynik wyszedł nie taki co trzeba

6. \(\displaystyle{ m (-\infty,0 \rangle \cup \lbrace \frac{1}{5} \rbrace \cup \lbrace 1 \rbrace \cup \langle \frac{153}{89}, +\infty)}\), sposób był taki, że wiadomo: \(\displaystyle{ t=3^x}\), potem gdy lewą stronę powyższego równania określiłem przez \(\displaystyle{ f(t)}\), to poza przypadkami generycznymi, czyli:
a) \(\displaystyle{ \Delta=0}\)
b) \(\displaystyle{ (m-2)=0}\)
c) \(\displaystyle{ f(0)=0}\)
d) \(\displaystyle{ f(9)=0}\)
Wystarczyło rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}f(0) f(9)0 \end{cases}}\)

7. a) \(\displaystyle{ 1-\frac{667 666 665}{1000 999 998}}\)
b) ponieważ każdy podzbiór {p,q,r} ma 6 permutacji, dla ustalenia uwagi p , jak Wam poszło?

[enigm32]

kolega mój napisał "500 i 501 bo tak" ;D

W sumie oprócz napisania tego oraz jednego zdania, coś w rodzaju, że isnieje własnie najwięcej par, z których jedna liczba byłaby mneijsza, a druga większa od 500 czy 501, to mam nadzieje, ze nie będą wymagać więcej przy takiej ilości czasu na wszystko i to jeszcze bez kalkulatora:)))

[ Dodano: 6 Kwietnia 2008, 20:31 ]

5. to zacząłem robić 5 minut przed końcem i wynik wyszedł nie taki co trzeba

A jaki trzeba? jeśli mógłbyś podać?

[Suvi]

Sylwek w 6 mam inaczej a w 5 chyba 3/2 mi wyszlo ; p ale to też tak an syzbko juz i pobazgrane wiec mozliwe ze jakis blad
a co do 4... to jak warto znać wzor na odleglosc punktu od prostej xD

[Sylwek]

Podobno 9, ale potem przeliczyłem sobie w pamięci i mi wyszło 3, a na konkursie \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\). Bo tak: promień podstawy tego walca to \(\displaystyle{ \frac{a}{2}}\), a jego wysokość jest równa odległości pomiędzy dwoma prostymi skośnymi, tam się robiło przekrój na pół czworościanu i liczyło się wysokość trójkąta (\(\displaystyle{ h}\)) z tego przekroju. A jak miałeś wszystko dane o walcu, to promień wpisanego to połowa wysokości (bo była krótsza niż podstawa - na konkursie napisałem, że połowa średnicy ), a promień opisanego to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\sqrt{a^2+h^2}}\).

[jonny]

Lekka errata:

2. \(\displaystyle{ 0,1^x + 0,1^{x^3} + 0,1^{x^5} + \ldots >\frac{\sqrt[3]{10000}}{100}}\)

Na 100% było 2. \(\displaystyle{ 0,1^x * 0,1^{x^3} * 0,1^{x^5} * \ldots >\frac{\sqrt[3]{10000}}{100}}\)