[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

[kaszubki]

Kaszubki, czy \(\displaystyle{ 0}\) zaliczasz do liczb naturalnych, gdyż są różne szkoły?

Odpowiedź jest trywialna.

[SaxoN]

Heh, już wiem co mniej więcej trzeba zrobić w tym zadaniu i TomciO miał rację - to zadanie jest zbyt harde na IMO - proponuję je anulować i wrzucić kolejne. kaszubki, nie dawaj nigdy zadań których nie rozwiązałeś

[Vax]

@SaxoN to może, żeby nie czekać na Kaszubkiego wrzucisz jakieś swoje ?

Pozdrawiam.

[smigol]

A ja mogę? ;d

Na polu \(\displaystyle{ a_1}\) szachownicy 12x12 stoi konik. W jednym ruchu można go przesunąć o dwa pola w prawo i jedno do góry albo dwa pola do góry i jedno w prawo. Mamy dwóch graczy, naturalnie przegrywa ten, który nie ma możliwości wykonania ruchu. Kto ma strategię wygrywającą?

[kaszubki]

Ukryta treść:    

Wprowadźmy dwa pojęcia:
1) pozycja przegrywająca - jeżeli gracz A znajduje się w tej pozycji, to jeżeli gracz B gra "mądrze" (tzn. ma jakąś fajną strategię), to A przegra.
2) pozycja wygrywająca - jeżeli gracz A znajduje się w tej pozycji oraz gra zgodnie ze strategią, to niezależnie od ruchów przeciwnika, A zawsze wygra.

Pokolorujmy szachownicę w następujący sposób:
http://www.fotosik.pl/pokaz_obrazek/556 ... efa87.html

Ćwiczenie dla czytelnika - pokazać, że czarne pola są pozycjami przegrywającymi, zaś czerwone są wygrywającymi.

Więc jeżeli grę zaczyna się od pola czerwonego, to pierwszy gracz ma strategię wygrywającą - zawsze robi ruch na pole czarne.
Jeżeli grę zaczyna się od pola czarnego, to drugi gracz ma strategię wygrywającą taką samą, jak wyżej.

Pokaż, że kolorując krawędzie grafu pełnego o 66 wierzchołkach 4 kolorami uzyskamy trójkąt, którego wszytskie boki są tego samego koloru.

Ukryta treść:    

+5 do fajności za wrzucenie rysunku z przykładowym pokolorowaniem

[timon92]

+5 do fajności za wrzucenie rysunku z przykładowym pokolorowaniem

Ukryta treść:    

Rozumujemy nie wprost.

Rozważmy pewien wierzchołek \(\displaystyle{ A}\) oraz krawędzie \(\displaystyle{ AA_1, AA_2, ..., AA_{65}}\) wychodzące zeń. Z zasady szufladkowej Dirichleta wynika, że istnieje kolor, powiedzmy niebieski, taki, że \(\displaystyle{ 17}\) krawędzi spośród \(\displaystyle{ AA_1, AA_2, ..., AA_{65}}\) jest pomalowanych tym kolorem. Bez straty ogólności niech będą to krawędzie \(\displaystyle{ AA_1, AA_2, ..., AA_{17}.}\)

Żadna z krawędzi \(\displaystyle{ A_iA_j}\), gdzie \(\displaystyle{ 1 \le i < j \le 17}\) nie może być niebieska. Zatem graf pełny o wierzchołkach \(\displaystyle{ A_1, A_2, ..., A_{17}}\) jest pomalowany trzema kolorami i każdy trójkąt o wierzchołkach w tych punktach nie ma wszystkich boków jednokolorowych.

Rozważmy pewien wierzchołek \(\displaystyle{ B}\) tego nowego grafu oraz krawędzie \(\displaystyle{ BB_1, BB_2, ..., BB_{16}}\) wychodzące zeń. Z zasady szufladkowej Dirichleta wynika, że istnieje kolor, powiedzmy zielony, taki, że \(\displaystyle{ 6}\) krawędzi spośród \(\displaystyle{ BB_1, BB_2, ..., BB_{16}}\) jest pomalowanych tym kolorem. Bez straty ogólności niech będą to krawędzie \(\displaystyle{ BB_1, BB_2, ..., BB_6.}\)

Żadna z krawędzi \(\displaystyle{ B_iB_j}\), gdzie \(\displaystyle{ 1 \le i < j \le 6}\) nie może być zielona. Zatem graf pełny o wierzchołkach \(\displaystyle{ B_1, B_2, ..., B_6}\) jest pomalowany dwoma kolorami i każdy trójkąt o wierzchołkach w tych punktach nie ma wszystkich boków jednokolorowych.

Rozważmy pewien wierzchołek \(\displaystyle{ C}\) tego najnowszego grafu oraz krawędzie \(\displaystyle{ CC_1, CC_2, ..., CC_5}\) wychodzące zeń. Z zasady szufladkowej Dirichleta wynika, że istnieje kolor, powiedzmy czerwony, taki, że \(\displaystyle{ 3}\) krawędzie spośród \(\displaystyle{ CC_1, CC_2, ..., CC_5}\) są pomalowane tym kolorem. Bez straty ogólności niech będą to krawędzie \(\displaystyle{ CC_1, CC_2, CC_3.}\)

Żadna z krawędzi \(\displaystyle{ C_iC_j}\), gdzie \(\displaystyle{ 1 \le i < j \le 3}\) nie może być czerwona. Zatem graf pełny o wierzchołkach \(\displaystyle{ C_1, C_2, C_3}\) jest pomalowany jednym kolorem, powiedzmy żółtym, i każdy trójkąt o wierzchołkach w tych punktach nie ma wszystkich boków jednokolorowych. Jest to oczywista sprzeczność, gdyż trójkąt \(\displaystyle{ C_1C_2C_3}\) ma wszystkie boki żółte. Kończy to dowód nie wprost.

niech ktoś coś wrzuci za mnie

[kaszubki]

Nie pamiętam, aby było w tym temacie:
\(\displaystyle{ a,b,c \in [0,1]}\).
Udowodnij, że \(\displaystyle{ \sqrt{abc} + \sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)} \leq 1}\)

[Vax]

Ukryta treść:    

Zauważmy, że skoro \(\displaystyle{ a,b,c \in <0 ; 1>}\) to zachodzą nierówności:

\(\displaystyle{ \sqrt{abc} \le \sqrt[3]{abc} \le \frac{a+b+c}{3}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)} \le \sqrt[3]{(1-a)(1-b)(1-c)} \le \frac{3-(a+b+c)}{3}}\)

Po dodaniu stronami mamy:

\(\displaystyle{ L \le \frac{3}{3} = 1}\)

cnd.

Udowodnij, że jeżeli liczby a i b są naturalne, oraz liczba \(\displaystyle{ a^2+ab+b^2}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ a+b}\) to liczba \(\displaystyle{ a^4+b^4}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ (a+b)^2}\)

Pozdrawiam.

[cyberciq]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ a+b|a ^{2} +ab+b ^{2} \Rightarrow a+b|(a+b) ^{2} -ab \Rightarrow a+b|ab \Rightarrow (a+b)^2|a ^{2} b ^{2}\\ a ^{4}+b ^{4} =(a ^{2} +b ^{2}) ^{2}-2a ^{2}b ^{2} \\ \frac{(a ^{2} +b ^{2}) ^{2} -2a ^{2} b ^{2} }{(a+b) ^{2} } = \frac{(a ^{2}+b ^{2}) ^{2} }{(a+b) ^{2} } - \frac{2a ^{2}b ^{2} }{(a+b) ^{2} }}\)
Obie liczby są całkowite zatem iloraz jest całkowity czyli jest podzielność.

pozdrawiam

[laurelandilas]

Jako, że cyberciq dobrze rozwiązał zadanie i nie wrzucił zadanie, to ja to zrobie:

Udowodnić, że jeśli a, b, c, d są długościami kolejnych boków czworokąta (niekoniecznie wypukłego) o polu S, to spełniona jest nierówność

\(\displaystyle{ S \le \frac{1}{2}(ac + bd)}\)

Rozstrzygnac, dla jakich czworokatow zachodzi rownosc.

[mariolawiki1]

Ukryta treść:    

Prowadzimy przekątne w czworokącie - \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\).
Z twierdzenia Ptolemeusza dla dowolnego czworokąta mamy nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} (ac+bd) \ge \frac{1}{2}xy \ge S}\)
(Ponieważ długość odcinka \(\displaystyle{ x}\) jest \(\displaystyle{ \ge}\) niż suma wysokości opuszczonych na przekątną \(\displaystyle{ y}\) z dwóch krańców odcinka \(\displaystyle{ x}\))

Równość zachodzi dla czworokątów, których przekątne przecinają się pod kątem prostym.

Nowe:Na prostokątnej tablicy o wymiarach \(\displaystyle{ m}\)x\(\displaystyle{ n}\) napisane są liczby rzeczywiste. W jednym ruchu zmieniamy jednocześnie znak wszystkich liczb z pewnego wiersza lub kolumny. Udowodnij, że za pomocą takich działań można dojść do sytuacji, w której suma liczb w każdym wierszu i w każdej kolumnie będzie nieujemna.

[mariolawiki1]

Widzę, że temat zamarł, wobec tego wrzucę nowe zadanko, łatwiejsze.
Powyższe pięknie jest opisane w "Złotych rybkach", jeżeli ktoś ma bardziej nietypowe rozwiązanie niż tam, to mam nadzieję że się podzieli wiedzą

Nowe:
Znajdź wszystkie trójki liczb \(\displaystyle{ a, b, c}\), dla których \(\displaystyle{ NWW(a,b, c)=a+b+c}\)

[Swistak]

Tamto wcale nie jest trudne, idzie z powiedzenia

Ukryta treść:    

"zasada ekstremum".

[Fizus]

mariolawiki1 czy rozwiązania stanowią tylko permutacje \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3\right\}}\)? Wydaje mi się, że mam rozwiązanie, ale chcę się upewnić

[laurelandilas]

Tutaj był blef.