Matematyka.pl

Lorek pisze:Cała dyskusja (i inne podobne) nt. tego czy \(\displaystyle{ 0,(9)=1}\) bierze się z tego, że ludzie nie posługują się ścisłymi definicjami, a swoimi odczuciami.

I dlatego cała dyskusja ciągnie się już 180 postów, mimo że z matematycznego punktu widzenia nie ma o czym dyskutować...

JK

OK, jesteś nauczycielem, wykładasz definicje ciągu, szeregu, podajesz kryteria zbieżności, rozbieżności, oczywiście - wzory.

I nagle, bum, uczeń pyta: ale tak właściwie to skoro suma tego ciągu rośnie, cały czas rośnie i będzie rosła to jak się może zatrzymać na konkretnej wartości

albo: masz pojemnik 1litr, wlewasz do niego najpierw 1/2l, potem 1/4l, potem 1/8l, dalej 1/16l... Mówisz uczniowi, ze zbiornik się nie nie zapełni ani nie przepełni, tylko zapełni się w 100%. Bo taki jest wzór.

On zapyta: wtedy jak rozumiem czas się zatrzymał a do pojemnika wlewasz od tej pory "nic"?

Jak wiadomo, nikt nigdy takich pytań sobie nie zadawał.

Zadawał i jak dobrze wiesz ludzie już dawno temu odpowiedzieli na te pytania. W internecie znajdziesz całą masę wyjaśnień, trzeba tylko chcieć je przeczytać i zrozumieć. Ty natomiast już w drugim wątku piszesz de facto to samo. A to znaczy, że albo nie przeczytałeś wyjaśnień, albo nie masz zamiaru przyjąć ich do wiadomości. W żadnym z tych przypadków nie jesteśmy w stanie Ci bardziej pomóc.

Podałem już przykład czegoś (w moim odczuciu) pomocnego i analogicznego. Ciąg \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\), który jest ciągiem malejącym. Można sobie zdać pytanie: skoro maleje, to czemu nie przekracza \(\displaystyle{ 0}\)? Znasz odpowiedź na to pytanie? To, że coś maleje nie znaczy, że maleje nieograniczenie. To że coś rośnie, nie znaczy, że nieograniczenie.

Oczywiście można tu wyskoczyć z rozbieżnym szeregiem harmonicznym, owszem, ale jakby przede wszystkim chodzi o ideę

lukasz1415 pisze:I nagle, bum, uczeń pyta: ale tak właściwie to skoro suma tego ciągu rośnie, cały czas rośnie i będzie rosła to jak się może zatrzymać na konkretnej wartości

No cóż, tu zahaczamy o pojecie granicy i związane z nią pojęcie nieskończoności. Bez tego niestety nie jesteśmy w stanie porządnie wytłumaczyć, dlaczego jest tak, a nie inaczej. Dopóki intuicja nieskończoności to "bardzo duża liczba, której nie można sobie wyobrazić", dopóty będzie pojawiać się pytanie "jak się może zatrzymać na konkretnej wartości", które - merytorycznie - nie ma sensu, ponieważ ta suma nie "zatrzymuje się" na konkretnej wartości, tylko do niej dąży.

JK

Ponownie z całym szacunkiem ale to nie jest analogiczny przykład. Skoro rośnie z "ograniczeniem" to wtedy jeśli "1" je ogranicza to i "1" też nie osiągnie.

Jeśli możesz to podaj linki do tych przykładów w internecie / wtedy i przyznam ci racje, i podziękuję/, bo przecież gdybym takie znalazł to tutaj głupio bym się nie pytał.-- 18 cze 2017, o 19:06 --

Jan Kraszewski pisze:

lukasz1415 pisze:I nagle, bum, uczeń pyta: ale tak właściwie to skoro suma tego ciągu rośnie, cały czas rośnie i będzie rosła to jak się może zatrzymać na konkretnej wartości

No cóż, tu zahaczamy o pojecie granicy i związane z nią pojęcie nieskończoności. Bez tego niestety nie jesteśmy w stanie porządnie wytłumaczyć, dlaczego jest tak, a nie inaczej. Dopóki intuicja nieskończoności to "bardzo duża liczba, której nie można sobie wyobrazić", dopóty będzie pojawiać się pytanie "jak się może zatrzymać na konkretnej wartości", które - merytorycznie - nie ma sensu, ponieważ ta suma nie "zatrzymuje się" na konkretnej wartości, tylko do niej dąży.

JK

spotkalem sie ze stwierdzeniem: suma nieskończenie wielu składników może jednak być skończona

moze powinno byc: suma nieskończenie wielu składników może jednak dążyć do wartości skończonej

Nie. Ta suma jest wartością graniczną, więc do niczego nie dąży, tylko po prostu jest.

weź posłuchaj ready kolegów, poczytaj trochę zamiast dywagowac nie rozumiejąc podstaw.

lukasz1415 pisze:

Jan Kraszewski pisze:ta suma nie "zatrzymuje się" na konkretnej wartości, tylko do niej dąży.

moze powinno byc: suma nieskończenie wielu składników może jednak dążyć do wartości skończonej

To, co napisałem, to oczywiście pewien skrót myślowy. Pisząc "suma dąży" mam na myśli dążenie ciągu skończonych sum częściowych, co jest o tyle uzasadnione, że Ty utożsamiasz "sumę" z "sumą skończoną".

JK

a4karo pisze:Nie. Ta suma jest wartością graniczną, więc do niczego nie dąży, tylko po prostu jest.

weź posłuchaj ready kolegów, poczytaj trochę zamiast dywagowac nie rozumiejąc podstaw.

czy suma, która jest wartością graniczną osiągnie kiedykolwiek wartość: \(\displaystyle{ 1}\) ?

Jeszcze raz Ci mówię: poczytaj o szeregach. Wtedy zrozumiesz różnicę miedzy sumą szeregu (która jest liczbą, o ile istnieje), sumą częściową szeregu (która też jest liczbą, ciagiem sum częściowych (to jest ciąg, który do czegoś dąży lub nie) i granicą ciągu sum częściowych (która jest liczbą, równą sumie szeregu, o ile istnieje).

Bez podstawowej wiedzy to dyskusja ze ślepym o kolorach.

a nie możesz odpowiedzieć czy suma \(\displaystyle{ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} +...}\)
osiągnie kiedykolwiek wartość \(\displaystyle{ =1}\)
to takie trudne pytanie?

Żeby było jasne:
\(\displaystyle{ \frac{9}{10},\ \frac{9}{100},\ \frac{9}{1000},\ \frac{9}{10000},\ \frac{9}{100000},\ \frac{9}{1000000},\ldots}\)
lub jesli wolisz
\(\displaystyle{ 0.9,\ 0.09,\ 0.009,\ 0.0009,\ldots}\)

to sa wyrazy tego szeregu

\(\displaystyle{ 0.9,\ 0.99,\ 0.999,\ 0.9999,\ 0.99999,\ldots}\)
to pierwszych pięć sum częściowych i jednocześnie pięć pierwszych wyrazów ciagu sum częściowych.

Ciąg sum częśćiowych dąży do \(\displaystyle{ 1}\), bo róznica pomiędzy \(\displaystyle{ n}\)-tym jego wyrazem a jedynka jest równa \(\displaystyle{ 1/10^n}\)

\(\displaystyle{ 1}\) to granica ciagu sum częściowych czyli sumą szeregu, który symbolicznie zwykliśmy zapisywać \(\displaystyle{ 0.(9)}\)

lukasz1415 pisze:a nie możesz odpowiedzieć czy suma \(\displaystyle{ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} +...}\)
osiągnie kiedykolwiek wartość \(\displaystyle{ =1}\)
to takie trudne pytanie?

Tak, w nieskończoności.

JK

lukasz1415 pisze: suma nieskończenie wielu składników

No to teraz powiedz nam jeszcze co to jest suma nieskończenie wielu składników. Tak jak już pisałem wyżej wszystko rozbija się o poprawne użycie definicji. Jeśli przyjmiemy, że (*) \(\displaystyle{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}}\), to wtedy korzystając z definicji stosowanych w matematyce mamy \(\displaystyle{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...=1}\). Jeśli uważasz inaczej, to musisz przedstawić swoją definicję. A skąd ta (*)? Ano niektórzy puryści skłonni są twierdzić, że nie wiadomo co to jest \(\displaystyle{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...}\), bo nie wiadomo co znaczą te trzy kropki

a4karo pisze:Żeby było jasne:
\(\displaystyle{ \frac{9}{10},\ \frac{9}{100},\ \frac{9}{1000},\ \frac{9}{10000},\ \frac{9}{100000},\ \frac{9}{1000000},\ldots}\)
lub jesli wolisz
\(\displaystyle{ 0.9,\ 0.09,\ 0.009,\ 0.0009,\ldots}\)

to sa wyrazy tego szeregu

\(\displaystyle{ 0.9,\ 0.99,\ 0.999,\ 0.9999,\ 0.99999,\ldots}\)
to pierwszych pięć sum częściowych i jednocześnie pięć pierwszych wyrazów ciagu sum częściowych.

Ciąg sum częśćiowych dąży do \(\displaystyle{ 1}\), bo róznica pomiędzy \(\displaystyle{ n}\)-tym jego wyrazem a jedynka jest równa \(\displaystyle{ 1/10^n}\)

\(\displaystyle{ 1}\) to granica ciagu sum częściowych czyli sumą szeregu, który symbolicznie zwykliśmy zapisywać \(\displaystyle{ 0.(9)}\)

to jest oczywista, oczywistość

nie zdawałem sobie tylko sprawy, że:
\(\displaystyle{ 0,5+0,25+0,125+0,0625+0,03125+0,015625+0,0078125 = 0,9921875}\)

przy takim wytłumaczeniu wszystko jest już jasne, dziękuję.

lukasz1415 pisze: I nagle, bum, uczeń pyta: ale tak właściwie to skoro suma tego ciągu rośnie, cały czas rośnie i będzie rosła to jak się może zatrzymać na konkretnej wartości

albo: masz pojemnik 1litr, wlewasz do niego najpierw 1/2l, potem 1/4l, potem 1/8l, dalej 1/16l... Mówisz uczniowi, ze zbiornik się nie nie zapełni ani nie przepełni, tylko zapełni się w 100%. Bo taki jest wzór.

On zapyta: wtedy jak rozumiem czas się zatrzymał a do pojemnika wlewasz od tej pory "nic"?

Jak wiadomo, nikt nigdy takich pytań sobie nie zadawał.

Takie pytania zadawano już w starożytności. Wystarczy spojrzeć na proste paradoksy Zenona czy wyścig Achillsesa z żółwiem. Problem to zrozumienie nieskończoności oraz stwierdzenie, jak "działa" nieskończoność aktualna i potencjalna.

I mały komentarz:

Jan Kraszewski pisze:

lukasz1415 pisze:a nie możesz odpowiedzieć czy suma \(\displaystyle{ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} +...}\)
osiągnie kiedykolwiek wartość \(\displaystyle{ =1}\)
to takie trudne pytanie?

Tak, w nieskończoności.

Inaczej - osiągnie daną wartość po zsumowaniu wszystkich (nieskończenie wielu) składników. Skończenie wielu - nigdy. Zawsze zostanie mały "ogonek". Który może być dowolnie mały - tu już wchodzimy w pojęcie granicy i sumy szeregu.