2+2=5 ...

[Piotr Pstragowski]

\(\displaystyle{ x^{0} = 1}\)
Mi zawsze powtarzano, że ,,przyjmuje się". A czy jest to uzasadnione matematycznie? Bo że to założenie przydało się dla np systemu binarnego to wiem. Ale czy jest to tylko założenie przyjęte z jakiegoś powodu, czy tak jest faktycznie (pytam, bo trudno mi wyobrazić sobie podnoszenie do potęgi zerowej)?

Załóżmy, że chcesz ustalić przekształcenie \(\displaystyle{ p: Z \rightarrow R}\) z liczb całkowitych w rzeczywiste takie, że \(\displaystyle{ p(1) = r}\). To jeśli chcemy, żeby p przenosiło dodawanie na mnożenie (było homomorfizmem grup po wyjęciu zera) to okazuje się, że \(\displaystyle{ p(0) = 1}\).

W liczbach rzeczywistych można znaleźć najmniej kilka dodatkowych powodów. Jeśli zgadzasz się do tego, jak powinno wyglądać \(\displaystyle{ a^x \ dla \ x>0}\), to położenie "standardowych" wartości jest jedynym możliwym rozszerzeniem \(\displaystyle{ a^x}\) do funkcji analitycznej na całej prostej.

Kolejnym dowodem na "poprawność" definicji jest to, że \(\displaystyle{ a^x}\) jest nie tylko analityczna, ale i spełnia nietrywialne liniowe równanie różniczkowe \(\displaystyle{ (a^x)' = lna*a^x}\). To są "cuda" matematyki.

[Rogal]

Napisałbym raczej, że to równanie ma postać \(\displaystyle{ y' = Cy}\), gdzie C jest stałą.
Jest to bardzo ważne równanie, szczególnie w fizyce.
Także jedno z prostszych jakie może nam przyjść do głowy: "a co to za funkcja, która w danym miejscu przyrasta proporcjonalnie do swoich wartości?"

[LuoXiahong]

A można to sobie jakoś łopatopolicznie wyobrazić, jak:
\(\displaystyle{ 3^{3}=3 \cdot 3 \cdot 3}\), gdzie do potęgi trzeciej znaczy przemnażamy przez siebie trzy trójki? Bo dość ciężko mi to pojąć przyznam.

Tak troszeczkę inaczej, oczywiście pamiętajmy,że nie rozpatrzamy \(\displaystyle{ 0^0}\)
\(\displaystyle{ 3^{3}=3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 1}\)

\(\displaystyle{ 3^{n}=\underbrace{3\cdot 3 \cdot \ldots \cdot 3}_{n} \cdot 1}\)
Czyli jeśli n=0, to nie będziesz miał żadnej 3 i zos an i e sama 1.

Ja mam troszeczkę inny problem
\(\displaystyle{ \sin 2 x+ \cos 2 x=0 \\
\sin 2 x=- \cos 2 x \\
\sin 2 x=- \sin \left( \frac{\pi}{2}-2x \right) \\
\sin 2 x= \sin \left( 2x- \frac{\pi}{2} \right) \\
2x=2x- \frac{\pi}{2}\\
0= \frac{\pi}{2}}\)

[RSM]

sinus nie jest funkcją różnowartościową.

[abc666]

\(\displaystyle{ sin2x+cos2x=0}\)
Podstawiam zero i dostaje \(\displaystyle{ 1=0}\)

[Paulpentax]

Dlaczego?; )

[Lorek]

260376.htm

Nawet na wiki gdzieś to widziałem.

[aniu_ta]

Wydzielono z: 64 = 65

Witam, mogę prosić o wyjaśnienie (albo chociaż podpowiedź)? Próbowwałam szukać, gdzie jest haczyk, ale nie mogłam się dopatrzeć...

(znaleziony na facebooku gif)

(to samo tylko że nie gif)

Pozdrowienia znad morza!


// Przepraszam, nie zauważyłam tego w temacie "2+2=5", zgłaszam do usunięcia

[Funktor]

Jakiś czas temu było coś podobnego z trójkątem, ściema jest w rodzaju, że te odcinane figury w rzeczywistości nie są identyczne z tymi co się z nich potem składa.-- 26 sie 2011, o 00:41 --Czyli jak się dokładniej przyjrzeć to ta przekątna prostokąta, nie jest linią prostą tylko wygięta jest.

[chris_f]

To teraz może coś z innej beczki:

Pokażemy, że kąt trochę większy od prostego jest prosty.

Zaczniemy od konstrukcji. (kliknięcie powiększa rysunek).
Rysujemy jakiś odcinek \(\displaystyle{ AB}\) (o dowolnej długości), następnie odcinek \(\displaystyle{ AD}\) prostopadły do \(\displaystyle{ AB}\) (również o dowolnej długości) i odcinek \(\displaystyle{ BC}\) o takiej samej długości co \(\displaystyle{ AD}\) pod kątem \(\displaystyle{ a}\) (do odcinka \(\displaystyle{ AB}\)) trochę większym niż kąt prosty.
Prowadzimy symetralną odcinka \(\displaystyle{ AB}\) przez punkt \(\displaystyle{ E}\) i symetralną odcinka \(\displaystyle{ CD}\) przez punkt \(\displaystyle{ F}\). Punkt przecięcia się tych symetralnych oznaczmy przez \(\displaystyle{ G}\)

AU

76b27dec04ee1e6bm.jpg (4.13 KiB) Przejrzano 712 razy

[/url]
No i teraz mamy: \(\displaystyle{ \triangle AGD\equiv\triangle BGC}\) z cechy bbb ponieważ \(\displaystyle{ |AD|=|BC|}\) (z założenia), \(\displaystyle{ |AG|=|BG|}\) bo \(\displaystyle{ G}\) leży na symetralnej \(\displaystyle{ AB}\) oraz \(\displaystyle{ |DG|=|CG|}\) bo \(\displaystyle{ G}\) leży na symetralnej odcinka \(\displaystyle{ CD}\).
Skoro tak, to \(\displaystyle{ \angle GAD=\angle GBC}\), skąd \(\displaystyle{ \angle b_1+90^\circ=\angle b_2+\angle a}\).
Ponieważ punkt \(\displaystyle{ G}\) leży na symetralnej \(\displaystyle{ AB}\), to \(\displaystyle{ \angle b_1=\angle b_2}\), co ostatecznie oznacza, że

\(\displaystyle{ 90^\circ=\angle a}\)

To kończy dowód.\(\displaystyle{ \blacksquare}\)
A zatem jeżeli na lekcji czy klasówce narysujecie niedokładnie kąt prosty (tzn. narysujecie kąt trochę za duży) to możecie się tłumaczyć, że to wszystko jedno i w razie potrzeby przedstawić ten dowód.

[RSM]

oraz \(\displaystyle{ |DG|=|CG|}\)

No to niestety prawdą nie jest.

[chris_f]

Jest, bo \(\displaystyle{ G}\) leży na symetralnej odcinka \(\displaystyle{ CD}\) (jest przecież przecięciem się tych symetralnych!).

[Qń]

Fajne.

Blef jest w tym, że \(\displaystyle{ B}\) na rysunku jest po niewłaściwej stronie prostej \(\displaystyle{ CG}\).

Q.

[kamil13151]

To ja mam coś ciekawego, gdzie jest błąd:

\(\displaystyle{ x=x^1=x ^{2 \cdot \frac{1}{2} } =(x^2) ^{ \frac{1}{2} }= \sqrt{x^2}=|x|}\)

[Wrangler]

To ja mam coś ciekawego, gdzie jest błąd:

Dla mnie zapis niejednoznaczny, bo nie ma założenia jakie jest "iks" - czy dodatnie, czy ujemne. Dla dodatniego "iksa" to przekształcenie jest prawdziwe, natomiast dla ujemnego jest fałszywe.
Sprawdźmy to dla np x=-5
\(\displaystyle{ -5=-5^1=-5^{2 \cdot \frac{1}{2}} = \left( -5^2\right)^{ \frac{1}{2} } \neq \sqrt{-25}}\)