Pochodne funkcji

[miki999]

No będą takie podstawienia:
\(\displaystyle{ t= \sqrt{1-x^{4}-x^{8}} \\ u=1-x^{4}-x^{8} \\ f'(x)=(t^{-1})' \cdot (u^{1/2})' \cdot (1-x^{4}-x^{8})'}\)

Lub pozostając przy poprzednich oznaczeniach mamy:
\(\displaystyle{ f'(x)=(t^{-1/2})' \cdot (1-x^{4}-x^{8})'}\)

Pozdrawiam.

[evelinaa]

evelinaa, niezbyt rozumiem o co Ci chodzi Możesz podać jakiś przykład? Może chodzi Ci o regułę de l'Hospitala?

tak chodzi mi m.in. o tę regułę czasami wystarczy policzyc jedna pochodna, w miejsce x'ow podstawic okreslona liczbe i granica policzona . a czasami obliczam pochodna, z tego dalej licze pochodna, a czasem i kolejna. licze kolejne pochodne dopoki mam nieskonczonosc przez nieskonczonosc, 0/0 i cos jeszczE?

[stachoo0]

to jeszcze takie
a) \(\displaystyle{ f(x)=e^x \cdot logx => f^\prime (x)=(e^x)^\prime \cdot logx + e^x \cdot (logx)^\prime =e^x \cdot logx + \frac{e^x}{x}=e^x(logx+\frac{1}{x})}\)
b) \(\displaystyle{ f(x)={{{e}^x}^2} => f^\prime =2 \cdot e^x^2}\)
c) \(\displaystyle{ f(x)={{{x}^x}^x} => f^\prime =(x^x)^\prime \cdot logx + x^x(logx)^\prime=(x^x \cdot logx+x^x)logx+x^x \cdot \frac{1}{x}=x^x \cdot logx \cdot (logx+1)+\frac{x^x}{x}}\)
d) \(\displaystyle{ f(x)=x^{\sqrt{x}}=x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{1}{2}} \cdot logx => f^\prime = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \cdot logx+x^\frac{1}{2} \cdot x^{-1}=x^{-\frac{1}{2}} \cdot (\frac{1}{2} \cdot logx + 1)}\)
w roli wyjasnienia w b) jest x do x do 2 a w c) x do x do x

oblicz granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\left( \frac{logx}{x} \right)=\frac{\frac{1}{x}}{1}=\frac{1}{x}}\) tak ?

a tych nie wiem jak ruszyć
\(\displaystyle{ f(x)=log_{10}(x-1)}\)
\(\displaystyle{ f(x)=e^{\sqrt{logx}}}\)

[miki999]

Mmmm., mniej więcej takie:
\(\displaystyle{ \infty - \infty \\ \frac{0}{0} \\ \frac{ \infty}{ \infty} \\ 0 \cdot \infty \\ 1^{ \infty} \\ 0^{0} \\ \infty ^{0}}\)

Często postać jednego rodzaju da się przekształcić do innej z wyżej wymienionych postaci.


stachoo0, jeżeli użyłeś logx jako oznaczenie logarytmu naturalnego to poprawnie, w przeciwnym wypadku:
\(\displaystyle{ (log_{a}x)'= \frac{1}{xlna}}\)

b)

\(\displaystyle{ (e^{x^{2}})'=e^{x^{2}} \cdot (x^{2})'=e^{x^{2}} \cdot 2x}\)
c) i d) -do poprawy
Przypadki typu (gdzie f i g to odpowiednio f(x) i g(x)):
\(\displaystyle{ f^{g}\ rozpatrujemy\ jako:\ \\ e^{glnf} \\ (e^{g})'=e^{g} \cdot (g)'}\)

Oba przykłady były już na forum rozwiązywane (przykład c) jest chyba nawet na jednej z pierwszych stron działu Rachunek różniczkowy)
\(\displaystyle{ (x^{ \sqrt{x} })'=(e^{ \sqrt{x} lnx})'=e^{ \sqrt{x} lnx} \cdot ( \sqrt{x} lnx})'= e^{ \sqrt{x} lnx} \cdot [(x^{1/2})' lnx +(lnx)' \cdot \sqrt{x} \\ \\ t=x-1 \\ (log_{10}(x-1))'=(x-1)' \cdot (log_{10}t)'= \frac{1}{tln10}= \frac{1}{(x-1)ln10} \\ (e^{ \sqrt{logx}})'=e^{ \sqrt{logx}} \cdot ( \sqrt{logx})'= e^{ \sqrt{logx}} \cdot t^{1/2} \cdot (logx)'}\)

W 2. przykładzie zastosowałem podstawienie t=logx.

Tak, granica ok, tylko aby zapis był poprawny powinieneś kontynuować zapis granicy, bo granica wynosi 0 a nie 1/x + wskazane byłoby napisanie, że korzystasz z reguły tego Pana, np. poprzez zapisanie litery 'H' nad znakiem równości poprzedzającym przeprowadzoną operację.

Btw., jak Ci się udało zrobić poprawnie znak pochodnej w \(\displaystyle{ \LaTeX -u}\)?

[stachoo0]

znak pochodnej zapisuje jako ^prime bo samo prime walnie taki wielki znak
a to co jest pod do poprawy to do d) ?
bo te 39 mnie myli troche

[hubert.jakubiak]

\(\displaystyle{ f(x)\,=\, \frac{x}{x^{2} - 4}\,=\, \frac{ - x^{2} - 4}{(x^{2} - 4)^{2}}}\)

wyszła mi taka pochodna, trochę kiepsko to zapisałem ale wiadomo o co chodzi.
jeśli ktoś może sprawdzić czy to jest dobrze, będe wdzięczny.

Pozdrawiam

[hubert.jakubiak]

czyli po skróceniu...

\(\displaystyle{ f`(x)\,=\, \frac{ - 1}{(x^{2} - 4)^{2}}}\)

czy wam też tak wyszło?

[miki999]

hubert.jakubiak, niestety nie widzę nigdzie znaku pochodnej (zalecam zedytowanie posta)

\(\displaystyle{ ( \frac{x}{x^{2}-4} )'= \frac{(x)' \cdot (x^{2}-4)-(x^{2}-4)' \cdot x}{(x^{2}-4)^{2}} = \frac{x^{2}-4-2x^{2}}{(x^{2}-4)^{2}}}\)

Zatem tak samo.

stachoo0, mam nadzieję, że teraz wszystko jest klarowne.
Dodatkowo link do przykładu:
\(\displaystyle{ x^{x^{x}}}\):
https://matematyka.pl/101152.htm

Pozdrawiam.

[stachoo0]

jeszcze taka pochodna (sory ze tak wale tym, ale siła wyższa sie zbliża )
\(\displaystyle{ f(x)=x^5(x^6-8)^{ \frac{1}{3} }}\)
czyli to robimy tak
\(\displaystyle{ g(x)=x^{\frac{1}{3}}}\)
\(\displaystyle{ k(x)=x^6-8}\)
\(\displaystyle{ i(x)=x^5}\)
\(\displaystyle{ f(x)=g(k(x)) \cdot i(x)}\)
\(\displaystyle{ f^\prime(x)=g^\prime(k(x)) \cdot i(x) +g(k(x)) \cdot i^\prime(x)=i(x) \cdot g^\prime(k(x)) \cdot k^\prime(x) + g(k(x)) \cdot i^\prime(x)}\)
i jeszcze ... w jakim zbiorze istn. pochodna to wystarczy \(\displaystyle{ x^6-8 \ge 0}\) policzyć ?

i granica jeszcze taka
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } xe^{-x}=\lim_{x \to \infty } -e^{-x}=0}\) ?

[miki999]

Poplątałeś się (ja zresztą przy tych zapisach też):
Pochodną g'(k(x)) rozpisujesz na: g'(k(x)) *k'(x), co chyba widzisz, że nie ma dużego sensu. Osobiście zamiast złożeń, polecam robić podstawienia np. :
\(\displaystyle{ t=x^{6}-8}\)
I od razu otrzymujesz:
\(\displaystyle{ (x^{5}(x^{6}-8)^{1/3})'=(x^{5})' \cdot (x^{6}-8)^{1/3}+ x^{5} \cdot ((x^{6}-8)^{1/3})'= 5x^{4} \cdot (x^{6}-8)^{1/3} + x^{5} \cdot (t^{1/3})' \cdot (x^{6}-8)'}\)

Radzę robić krok, po kroku, a nie od razu rozbijać funkcje na złożenia innych funkcji, bo można się pogubić- przynajmniej ja miewam z tym problemy . Chyba, że masz do czynienia z czymś takim ln(ln(ln(ln(ln(ln(x)))))).

Wynik granicy poprawny jednakże obliczenia... :
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} x \cdot e^{-x}= \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}=[ \frac{ \infty }{ \infty} ]=^{H} \lim_{x \to \infty} \frac{(x)'}{(e^{x})'} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}} =0}\)

[stachoo0]

aa takie coś

[dwe]

\(\displaystyle{ ( \frac{(1-x ^{2})e ^{3x-1}cosx }{(arccosx) ^{3} } +( \frac{x}{1+x}) ^{x})' =
( \frac{(1-x ^{2})e ^{3x-1}cosx }{(arccosx) ^{3} } +e ^{xln \frac{x}{1+x} } )' =
\frac{[-2xe ^{3x-1} \cdot cosx + (1-x ^{2})e ^{3x-1} \cdot 3 \cdot cosx+ (1-x ^{2} \cdot
e ^{3x-1} \cdot (-sinx)] \cdot (arccosx) ^{3} - (1-x ^{2})e ^{3x-1} cosx \cdot 3(arccosx) ^{2} \cdot \frac{-1}{ \sqrt{1-x ^{2} } } }{(arccosx) ^{6} }+e ^{xln \frac{x}{1+x} }\cdot( ln \frac{x}{1+x} + x \cdot \frac{1+x}{x} \cdot \frac{1}{(1+x) ^{2} })}\)


dobrze?
\(\displaystyle{ (arccosx) ^{n} = arccos ^{n}x}\)?

No tak, przeoczyłem przy przepisywaniu, wielkie dzięki.

[miki999]

Tylko z ostatniego wyrazu powinna być wyciągnięta pochodna:
\(\displaystyle{ ( \frac{x}{1+x})'}\)

Bardzo dobrze (nie dopatrzyłem się więcej błędów).

Pozdrawiam.

[dwe]

No to jeszcze dwie do sprawdzenia
I chciałem spytać, czy przy poleceniu "Oblicz pochodną" powinienem po jej obliczeniu, skrócić co się da, czy dopuszczalne jest pozostawienie w jakiejkolwiek formie?

\(\displaystyle{ (lncosarctg \frac{e ^{x}+e ^{-x} }{2} + 2arctg \sqrt{ \frac{1-x}{1+x} })'=
\\
\\
= \frac{1}{cosarctg (\frac{e ^{x}+e ^{-x} }{2}) } \cdot (-sinarctg (\frac{e ^{x}+e ^{-x} }{2})) \cdot \frac{1}{1+( \frac{e ^{x} +e ^{-x} }{2}) ^{2} } \cdot \frac{1}{2} (e ^{x} +e ^{-x})+ \frac{2}{1+ \frac{1-x}{1+x} } \cdot \frac{1}{2 \sqrt{ \frac{1-x}{1+x} } } \cdot \frac{-2}{(1+x) ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ (ln \frac{1-e ^{x} }{e ^{x} }+ \sqrt[3]{1+x \sqrt{x+3} } + e ^{ \frac{1}{x ^{3} \sqrt{1+ \sqrt{x} } } })'=
\\
\\
= \frac{e ^{x} }{1-e^{x} } \cdot + \frac{1}{3}(1+x \sqrt{x+3}) ^{- \frac{2}{3} } \cdot ( \sqrt{x+3} + \frac{x}{2 \sqrt{x+3} } +e ^{ \frac{1}{x ^{3} \sqrt{1+ \sqrt{x} } } } \cdot \frac{-1}{(x ^{3} \sqrt{1+ \sqrt{x} } ) ^{2} } \cdot (3x ^{2} \cdot \sqrt{1+ \sqrt{x} } +x ^{3} \cdot \frac{1}{3} x ^{- \frac{2}{3} }}\)

[miki999]

Będę jechał wierszami.

1. w 2. wierszu powinno być:
\(\displaystyle{ (...) \frac{1}{2} (e^{x}-e^{-x})+(...)}\)

Zakładając, że:
\(\displaystyle{ \frac{-2}{(1+x)^{2}}}\)
jest pochodną:
\(\displaystyle{ \frac{1-x}{1+x}}\)
Nie chce mi się liczyć czy to prawda

2. w 2. wierszu, 1. wyraz powinien zostać przemnożony przez pochodną z:
\(\displaystyle{ \frac{1-e^{x}}{e^{x}}}\)
W ostatnim wierszu coś chyba końcóweczka poleciała, po x^3, powinno być:
\(\displaystyle{ (...) \cdot ( \sqrt{1+ \sqrt{x} })'= (...) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{1+ \sqrt{x} }} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x} }}\)

Co do pytania na początku. Powinno się zawsze doprowadzać funkcje do najprostszej postaci, jednakże moim zdaniem nie ma sensu tego robić, ponieważ uczysz się wyznaczać pochodne, a nie stosować wzór na kosinus różnicy, obniżać stopnie wielomianu itd. Cieszę się, że Twoje przykłady są zapisane w takiej formie, ponieważ widzę cały tok rozumowania i nie muszę rozwiązywać tak długich przykładów aby wyłapać błędy. Zresztą przy takich skomplikowanych pochodnych trudno jest nie zrobić żadnego błędu.