Matmix 2008/2009

[Swistak]

Ja odpowiedź do zadania 3 z kategorii I przesyłałem chyba z 5 osobom na gg .
Ja je zrobiłem tak:
Dla kąta x=0, f(x)=2. Cosinus nie może przyjąć większej wartości niż 1, a żeby funkcja była okresowa, to kiedyś musi się powtórzyć wartość 2, a zatem dla pewnego \(\displaystyle{ x \neq 0}\) zachodzi \(\displaystyle{ \cos ax=1 \ cos x=1}\). Z drugiego warunku wynika, że wtedy \(\displaystyle{ x=k\cdot 360}\) dla k całkowitego. Podstawiamy to do pierwszej równości i otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \cos ak\cdot 360=1}\), więc liczba \(\displaystyle{ ak}\) jest liczbą całkowitą. Przyjmijmy, że \(\displaystyle{ ak=p}\), gdzie p jest naturalne. Z tego mamy, że \(\displaystyle{ a=\frac{p}{k}}\), gdzie p i k są liczbami całkowitymi, więc a jest liczbą wymierną. Dla każdej wartości \(\displaystyle{ \frac{p}{k}}\) jeżeli \(\displaystyle{ x=k\cdot 360}\) otrzymujemy wartość f(x)=2, a dalej funkcja leci tak samo. Otrzymujemy zatem, że f(x) jest okresowe dla każdego a wymiernego i tylko dla a wymiernego.

[ironleaf]

Co do zadania 3, to intuicyjnie chodzi w nim o wspómierność okresów. Mój pokrętny dowód polegał na pokazaniu, że jeśli \(\displaystyle{ a}\) jest niewymierne, to dla każdego \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) istnieją takie \(\displaystyle{ x, \kappa}\) że \(\displaystyle{ 0<\kappa<\varepsilon, f(x)=f(x+\kappa)=0}\) a to przeczy okresowemu rozmieszczeniu pierwiastków.
Na temat zamieszania z zadaniem 1 w kategorii I mogę powiedzieć, że sztuczkę z "może wynosić" stosują nie po raz pierwszy. Pamiętam jak w poprzedniej edycji wyłożyłem się na zadaniu, w którym wybrałem w odpowiedzi jeden przypadek. Oczywiście było źle.
W Matmixie sporo można zrobić z komputerem (np. wykresy do zadania 3.), ale na szczęście nie wszystko.
A propos, robił ktoś zadanie 2 z II kategorii w ten sposób:
\(\displaystyle{ {2008 \choose 10}=287161340351594889046352200=59 \cdot 4867141361891438797395800}\)?

[Dolin]

Ja zaznaczyłem odpowiedzi poprawnie. A jak tam obecny zestaw?? Ja mam mały problem z interpretacją zadania 2 , ale znając życie jutro wpadnę na jakiś pomysł i je rozwalę

[MagdaW]

Oby więcej takich zadań jak 1. z I kategorii.

[YaSsSkuS]

emator dzięki następnym razem skorzystam xD ^^ fajna 5 seria ;]

[Swistak]

No tak, 1 z naszej kategorii wygląda fajnie, tylko trochę kiepsko się podaje odpowiedź, bo nie ma konkretnego pytania, tylko trzeba w zasadzie rozważyć wszystkie możliwości .
Ja też mam mały problem z interpretacją zadania 2 z kategorii I. Zazwyczaj na konkursach jest napisane kiedy za figurę/ustawienie/pozycję itd. uważamy różne, a tutaj nie jest i nie wiem, czy mam rozpatrywać taką sytuację, w której wierzchołki są ponumerowane, czy nie.

[kaktus3]

Pamiętam jak w poprzedniej edycji wyłożyłem się na zadaniu, w którym wybrałem w odpowiedzi jeden przypadek. Oczywiście było źle.

Tylko że wtedy było napisane "TYLKO ten jeden przypadek: np.: "tylko 3"
A to zmienia sytuację

[YaSsSkuS]

W 1 zadaniu podejrzewam jaka już odpowiedź będzie, drugie jest trochę dziwne ale już zawęziłem możliwości odpowiedzi do 4;] Kiedyś czytałem o jakimś wzorze gdzie jest n punktów i przedstawiał on maksymalną ilość połączeń tych pkt bez przecięcia się ... Tylko teraz nie mogę go znaleźć... dotyczył on wlasnie pkt tylko nie wiem dokładnie o co w nim wtedy chodziło... może to nie do tego zadania no ale ;] zawsze się przyda;]

[kubek1]

Odpowiedzi z 4 serii mam tak samo jak Sylwek.
Zadanie 1 - rozwiązanie - 1 sposób (ma zastosowanie w ogólnym przypadku) - można było wziąć pewien punkt B na krzywej, wyznaczyć |AB| w zależności od \(\displaystyle{ x_{B}}\). Następnie liczymy z tego pochodną i przyrównujemy do zera, co daje ekstrema. 2 sposób (działa tylko w tym przypadku) - zauważmy, że okrąg o środku A może mieć najwyżej 2 punkty wspólne z daną parabolą na jednej wysokości. Wstawiamy równanie paraboli do równania okręgu i mamy równanie kwadratowe ze zmienną y, które ma 1 rozwiązanie, więc delta jest zerowa, z czego wyznaczamy promień.
Zadanie 2 - też wyszło 59, nie chciało mi się bawić w rozkład na czynniki, to użyłem komputera
Zadanie 3 - dla a niewymiernego dana funkcja jest prawie okresowa

U mnie jak na razie 5 seria już rozwalona Ciekawe było zad. 2, dosyć dużo czasu na nie straciłem, a wiadomo, że zadania z kombinatoryki to dużo kombinowania

[YaSsSkuS]

W 1 zadaniu jestem już pewien;] z pozoru wydawało się trudne ale jak dokładnie wszystkie odpowiedzi się czytało i kilka prób to odpowiedzi automatycznie się wykreślają ;] i pozostaje tylko jedna ;] Nad 2 jeszcze trochę pomyślę bo musi być jakiś szybki sposób na rozwiązanie tego ;]

[Swistak]

A co do zadania z krzywą z II kategorii to ja znalazłem fajny sposób . Najpierw standardowo zpisujemy długość odcinka w układzie współrzędnych, potem korzystamy z tego, że \(\displaystyle{ x=y^{2}}\) i dochodzimy do wniosku, że zadana odległość dla argumentu x wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{1-(x^{2}-x^{4})}}\). 1 pozostaje niezmienne w zależności od argumentu x. Zmienia się wartość tylko tego wyszczególnionego w nawiasie. Aby to co jest pod pierwiastkiem przyjęło jak najmniejszą wartość, wyrażenie w nawiasie musi przyjąć jak największą wartość. Teraz otrzymujemy, że \(\displaystyle{ x^{2}-x^{4}=x^{2}(1-x^{2}) \le (\frac{x^{2}+(1-x^{2})}{2})=\frac{1}{4}}\), a więc minimalna wartość wyrażenia pod pierwiastkiem wynosi \(\displaystyle{ 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}}\), a zatem odpowiedź, to \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2}}\).
Dla mnie zadanie jedno z najtrudniejszych, a tylko za 1 punkt .

[Sylwek]

Wątpię, żeby ktokolwiek to rozwiązywał inaczej, ale Ty znalazłeś fajny sposób

\(\displaystyle{ d=min(\sqrt{x^4-x^2-1})=min(\sqrt{(x^2-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}})=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

[Morgus]

ja osobiście posłużyłem się w tym zadanku pochodnymi Wziąłem punkt \(\displaystyle{ B(a,a^{2})}\) (taki że odcinek AB jest szukaną odległością) wyraziłem równanie stycznej do paraboli przy pomocy a, potem równanie prostej AB również przy pomocy a, przyrównałem odpowiednio (te proste są prostopadłe) współczynniki kierunkowe i miałem a. A potem odległość punktu od prostej więcej liczenia ale też wyszło

[Swistak]

Niektórzy robili tak jak kolega wyżej - z pochodnych, spotkałem się z jakimś rozwiązaniem, w którym ktoś korzystał z jakiegoś wzoru \(\displaystyle{ \frac{-\delta}{4a}}\), którego nigdy wcześniej nie widziałem i spotkałem się także z opinią, że jak ktoś zaznaczy coś innego niż 1, to znaczy, że jest głupi xD.

[smigol]

Toż to przecież wzór na jedną ze współrzędnych wierzchołka paraboli.
Tylko, że z użyciem małej litery delta.

@Swistak
ehh... przyzwyczajenie ;P