[Rozgrzewka przed maturą II] Zadania różne

[a4karo]

Ukryta treść:    

Rozwiązanie strasznie "na pałę" :/
Oznaczmy podstawy trapezu jako \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ a+b+c}\), gdzie \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) to przyprostokątne trójkątów prostokątnych powstałych przez opuszczenie wysokości z wierzchołków podstawy o długości \(\displaystyle{ a}\).
Z tw. Pitagorasa liczymy długości ramion: \(\displaystyle{ \sqrt{b^2+h^2}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{c^2+h^2}}\).
Następnie z tw. Pitagorasa liczymy długości kawałków odcinka łączącego środki ramion (tych "odciętych" przez poprowadzone wcześniej wysokości).
\(\displaystyle{ (\frac{1}{2}\sqrt{b^2+h^2})^2-(\frac{1}{2}h)^2=\frac{1}{2}b}\)
\(\displaystyle{ (\frac{1}{2}\sqrt{c^2+h^2})^2-(\frac{1}{2}h)^2=\frac{1}{2}c}\)
Długość odcinka łączącego środki ramion to \(\displaystyle{ a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c}\) czyli to samo, co \(\displaystyle{ \frac{a+a+b+c}{2}}\)

A jak to rozwiązanie wygląda w tym trapezie?

1.jpg (15.98 KiB) Przejrzano 35 razy

[Larsonik]

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ a,b}\) to będą długości podstaw. Należy zauważyć, że środek przekątnej trapezu i środki ramion są współliniowe, gdyż odcinek łączący srodek jednego boku ze srodkiem przekątnej jest równoległy do podstaw i ma długość \(\displaystyle{ \frac{1}{2}a}\), a odcinek łączący odcinek srodek drugiego boku ze środkiem przekątnej wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}b}\) i również jest równoległy do podstaw. Stąd wynika, że suma tych odległości to odcinek łączący środki ramion trapezu, a wynosi ona \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}}\).

Można pokazać, że w dowolnym czworokącie wypukłym odcinek łączący środki boków jest mniejszy lub równy średniej arytmetycznej pozostałych boków.

Na rozluźnienie, jako że zostały dwa dni: określ liczbę rozwiązań równania \(\displaystyle{ \frac{2 \sin x - 1}{\sqrt{70 + 3 - x^2}} = 0}\).

[Richard del Ferro]

Ukryta treść:    

Oczywiście jak to matura wymaga.
Najpierw dziedzina.
\(\displaystyle{ 73-x^{2}>0}\)
\(\displaystyle{ x \in (- \sqrt{73} ; \sqrt{73} )}\)
Czyli od około -8,5 do 8,5.

Pozostaje
\(\displaystyle{ 2 \sin x = 1}\)
\(\displaystyle{ \sin x = 0,5}\)

\(\displaystyle{ \sin x = \sin \frac{ \pi }{6}}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{6} +2k \pi}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ x= \frac{5 \pi }{6} +2k \pi}\)
Dla pierwszego równania wypiszmy rozwiązania należące do dziedziny
\(\displaystyle{ \frac{-47 \pi }{6} , \frac{-35 \pi }{6} , \frac{-23 \pi }{6} , \frac{-11 \pi }{6} , \frac{ \pi }{6}, \frac{13 \pi }{6} , \frac{25 \pi }{6}, \frac{37 \pi }{6}, \frac{49 \pi }{6}}\)
Dla drugiego :
\(\displaystyle{ \frac{-43 \pi }{6} , \frac{-31 \pi}{6}, \frac{-19 \pi}{6} , \frac{-7 \pi}{6}, \frac{5 \pi}{6} , \frac{17 \pi}{6}, \frac{29 \pi}{6}, \frac{41 \pi}{6}}\)
Łącznie 17

Spośród liczb: 0, 1, 2, 3, 4, 5,…, 1000 wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że liczba ta jest podzielna przez 4 lub 5.

[kerajs]

MrCommando:    

Inaczej:
\(\displaystyle{ P=\frac{a+b}{2} \cdot h= \frac{a+x}{2} \cdot \frac{h}{2}+ \frac{x+b}{2} \cdot \frac{h}{2} \\
2(a+b)=(a+x)+(x+b)\\
x= \frac{a+b}{2}}\)

Larsonik:    

\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{6} +2k \pi}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ x= \frac{5 \pi }{6} +2k \pi}\)
Dla pierwszego równania wypiszmy rozwiązania należące do dziedziny
\(\displaystyle{ \frac{-47 \pi }{6} , \frac{-35 \pi }{6} , \frac{-23 \pi }{6} , \frac{-11 \pi }{6} , \frac{ \pi }{6}, \frac{13 \pi }{6} , \frac{25 \pi }{6}, \frac{37 \pi }{6}, \frac{49 \pi }{6}}\)
Dla drugiego :
\(\displaystyle{ \frac{-43 \pi }{6} , \frac{-31 \pi}{6}, \frac{-19 \pi}{6} , \frac{-7 \pi}{6}, \frac{5 \pi}{6} , \frac{17 \pi}{6}, \frac{29 \pi}{6}, \frac{41 \pi}{6}}\)
Łącznie 17

\(\displaystyle{ D: x \in \left( -\sqrt{73}; \sqrt{73} \right) \\
sin x= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= \frac{ \pi }{6}+k2 \pi \vee x= \frac{ 5\pi }{6}+k2 \pi \\ x \in \left( -\sqrt{73}; \sqrt{73} \right) \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x \in \left\{ \frac{ -11\pi }{6}, \frac{ -7\pi }{6},\frac{ \pi }{6}, \frac{ 5\pi }{6}, \frac{ 13\pi }{6} \right\}}\)

Richard delFerro:    

\(\displaystyle{ ilosc=1+\left[ \frac{1000}{4} \right] +\left[ \frac{1000}{5} \right] -\left[ \frac{1000}{4 \cdot 5} \right] =401}\)

Zadanie
Dane są okręgi: \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\) i \(\displaystyle{ (x-7)^2+y^2=4}\).
Jaki promień ma okrąg styczny do danych, i taki że figura złożona z tych (trzech) okregów jest osiowosymetryczna.

EDIT

rozwiązanie mojego zadania:    

Ukryta treść:    

Na pewno będzie to okrąg o równaniu takkim, że srodek jest na osi OX i znajduje się pomiędzy punktami \(\displaystyle{ A(1;0)}\) a \(\displaystyle{ B(5;0)}\), a więc \(\displaystyle{ S=(3,0)}\)
Jak widać, promień wynosi \(\displaystyle{ 2}\), więc
\(\displaystyle{ (x-3)^{2}+y^{2}=4}\)
Dodatkowo pewnie jest jakiś haczyk i jest jeszcze z czterysta jakiś osi itd xD i jeszcze specjalnie w poleceniu jest liczba pojedyncza

Tak jest haczyk, bo należało rozważyć wszystkie możliwości:
\(\displaystyle{ a) \ \ (x-2)^2+y^2=9\\
b) \ \ (x-3)^2+y^2=4\\
c) \ \ (x-4)^2+y^2=25\\
d) \ \ (x-5)^2+y^2=16}\)
czyli są cztery możliwe promienie: 2,3,4,5.
Ocena: 1pkt/4pkt.

[Richard del Ferro]

Ukryta treść:    

Na pewno będzie to okrąg o równaniu takkim, że srodek jest na osi OX i znajduje się pomiędzy punktami \(\displaystyle{ A(1;0)}\) a \(\displaystyle{ B(5;0)}\), a więc \(\displaystyle{ S=(3,0)}\)
Jak widać, promień wynosi \(\displaystyle{ 2}\), więc
\(\displaystyle{ (x-3)^{2}+y^{2}=4}\)
Dodatkowo pewnie jest jakiś haczyk i jest jeszcze z czterysta jakiś osi itd xD i jeszcze specjalnie w poleceniu jest liczba pojedyncza

@UP
No tak , zapomniałem, że trzeba pomnożyć przez PI... i sposób z polami trapezów zgrabny, też zawsze go używałem

Zadanie
Grupa 4 kobiet i 4 mężczyzn, w tym jedno małżeństwo, wybrała się na pieszą wycieczkę. Na wąskiej ścieżce musieli iść gęsiego tzn. jedno za drugim. Zakładamy, że wszystkie możliwe ustawienia tych osób są jednakowo prawdopodobne. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że jako pierwsze pójdą kobiety i żona będzie szła bezpośrednio przed mężem. Sprawdź, czy to prawdopodobieństwo jest mniejsze od 0,001.

[Larsonik]

Ukryta treść:    

Skoro żona ma być za mężem, to wiemy, że żona będzie szła jako ostatnia z kobiet, a mąz będzie szedł jako pierwszy z mężczyzn. Pozostaje obliczyć, na ile sposobów mogą ustawić się kobiety i mężczyźni: \(\displaystyle{ P(A) = \frac{3!3!}{8!} = \frac{1}{1120} < 0,001}\)

Dość trudne (przynajmniej dla mnie) ale pouczające: pole przekroju ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i równoleglą do krawedzi bocznej rozłączonej z tą przekątną wynosi \(\displaystyle{ P}\). Oblicz pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną zawierającą środki dwóch sąsiednich boków podstawy i srodek wysokosci ostrosłupa.-- 7 maja 2017, o 20:29 --Swoją drogą to ciekawe, jak ciężko czasem wziąć pod uwagę sytuację, z którą relatywnie rzadko się spotykamy. Mózg lubi komfort = schematy. Chodzi mi o zadanie z okręgami stycznymi.

[kerajs]

Coby drgnęło:

Larsonik:    

Przekrój P to trójkąt o podstawie \(\displaystyle{ a}\), będącej przekątną podstawy ostrosłupa, i wysokości \(\displaystyle{ h}\). Stąd \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}ah}\). Szukany przekrój \(\displaystyle{ \red P'}\) jest także trójkątem. Jego podstawa to \(\displaystyle{ a'}\), gdzie \(\displaystyle{ a'= \frac{a}{2}}\). Clou zadania to zauważenie że krawędź ostrosłupa, \(\displaystyle{ h}\) i wysokość przekroju P' czyli \(\displaystyle{ h'}\) (warto narysować przekrój je zawierający) są nachylone do podstawy ostrosłupa pod tym kątem. Z Talesa dostaję:\(\displaystyle{ h'= \frac{3}{2}h}\). Stąd:
\(\displaystyle{ \red P'= \frac{1}{2}a'h' = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{3}{2}h= \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} ah= \frac{3}{4}P}\)
Kolega Larsonik (dziękuję) zwrocił mi uwagę że P' nie jest trójkątem, stąd tekst zaznaczony powyżej na czerwono nie jest prawdą.
P' jest pięciokątem który można pociąć na prostokąt o podstawie \(\displaystyle{ a' =\frac{a}{2}}\) i wysokości \(\displaystyle{ h}\) oraz trójkąt o podstawie \(\displaystyle{ a' =\frac{a}{2}}\) i wysokości \(\displaystyle{ h'-h= \frac{h}{2}}\). Stąd:
\(\displaystyle{ P'=a'h+ \frac{1}{2}a' \frac{h}{2}= \frac{a}{2}h+ \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{h}{2}= \frac{1}{2} ah(1+ \frac{1}{4})= \frac{5}{4}P}\)
SORRY.

Na środku krawędzi czworościanu foremnego o boku \(\displaystyle{ a}\) siedzi Cuś i chce przejść na środek tej krawędzi czworościanu która nie ma wspólnego wierzchołka z zajętą przez Cusia krawędzią.
a) Ile wynosi najkrótsza droga Cusia?
b) Iloma drogami o najkrótszej długości Cuś może dojść do celu?

[a4karo]

kerajs:    

Ładne:
jak się narysuje siatkę czworościanu, to od razu widać, że najkrótsza droga jest taka jak długość jego krawędzi, i że są trzy najkrótsze drogi.

EDIT jednak cztery (przez środki boków przyległych ścian) thx kerajs.


Stozek ścięty o polach podstaw \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) przecięto płaszczyzną równoległą do podstaw na dwa stożki o równych objetościach. Wyznaczyć pole przekroju stożka tą płaszczyzną

[Larsonik]

Ukryta treść:    

Oznaczmy promień dolnej podstawy jako \(\displaystyle{ x}\), promień górnej podstawy jako \(\displaystyle{ y}\), promień szukanego przekroju (jest to okrąg) jako \(\displaystyle{ z}\), odległość górnej podstawy od wierzchołka stożka (nieściętego) jako \(\displaystyle{ k}\), wysokość stożka jako \(\displaystyle{ H}\) oraz odległość szukanego przekroju od górnej podstawy jako \(\displaystyle{ n}\).

Z podobieństwa trójkątów mamy: \(\displaystyle{ \frac{x}{y} = \frac{H}{k} = \sqrt{\frac{a}{b}}}\). Obliczmy objętość powstałych stożków: \(\displaystyle{ V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \pi (x^2 H - y^2 k)}\).
A na drugi sposób: \(\displaystyle{ V = \frac{1}{3} \pi \left( x^2 H - z^2 (n+k) \right)}\). Również z podobieństwa trójkątów: \(\displaystyle{ \frac{z}{x} = \frac{n + k}{x} = \frac{n + \sqrt{\frac{b}{a}}H}{H}}\), a stąd \(\displaystyle{ n = \frac{zH - \sqrt{\frac{b}{a}}Hx}{x}}\). Teraz możemy przyrównać te objętości do siebie: \(\displaystyle{ \frac{1}{3} \pi \left( x^2H - z^2(n+k) \right) = \frac{1}{3} \pi (x^2 H - \frac{z^3 H}{x}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \pi (x^2 H - y^2 k)}\)
\(\displaystyle{ 2x^2 H - \frac{2z^3 H}{x} = x^2 H - \sqrt{\frac{b}{a}} y^2 H}\)
\(\displaystyle{ \frac{2z^3 }{x} = x^2 + \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{3}{2} } x^2}\)
\(\displaystyle{ z^3 = \frac{1}{2} x^3 (1 + \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{3}{2}} )}\)
\(\displaystyle{ \pi z^2 = \pi x^2 \left( \frac{(1 + \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{3}{2}} )}{2} \right)^{\frac{2}{3}} = a \left( \frac{(1 + \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{3}{2}})}{2} \right)^{\frac{2}{3}}}\).

Mam nadzieję, że się nie pomyliłem przy tym potworze.

14 godzin Jeśli dostanę się na medyczne studia, to będzie mi brakować matematyki. Nie można mieć wszystkiego.

Zadanie: dwa okręgi o promieniach \(\displaystyle{ r}\) i \(\displaystyle{ R}\) (\(\displaystyle{ r<R}\)) są styczne zewnętrznie. Prosta \(\displaystyle{ l}\) nie przechodzi przez punkt wspólny tych okręgów i jest styczna do każdego z nich. Znajdź promień okręgu stycznego zewnętrznie do danych okręgów i stycznego do prostej \(\displaystyle{ l}\). Rozważ dwa przypadki.

edit: literówka