[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

[SaxoN]

Ok. Wybaczcie, że znowu teoria liczb, ale w tym momencie nic innego nie przychodzi mi do głowy

Wersja "normalna":
Niech \(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{N}}\) oraz \(\displaystyle{ (a,b)=1}\).
Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ a^2+ab+b^2}\) nie ma dzielników pierwszych postaci \(\displaystyle{ 3n-1}\), \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\).

Wersja uogólniona:
Niech \(\displaystyle{ a,b, q\in\mathbb{N}}\) oraz \(\displaystyle{ (a,b)=1}\), \(\displaystyle{ q\in\mathbb{P}}\).
Wykaż, że każdy dzielnik pierwszy liczby \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^qa^{q-i}b^{i-1}}\) różny od \(\displaystyle{ q}\) jest postaci \(\displaystyle{ 2kq+1}\) dla \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}}\).

[jerzozwierz]

lol, poziom omg jak w mordę strzelił.
Rozważmy p dzielące naszą sumę, dwa przypadki:
1. \(\displaystyle{ a \equiv b \ (mod \ p)}\)
wtedy
\(\displaystyle{ 0 \equiv S \equiv qa^{q-1}}\) skąd p=q, bo jakby p dzieliło a to musiałoby też dzielić b, sprzeczność z założeniem.
2. \(\displaystyle{ a \not\equiv b \ (mod \ p)}\)
Mnożymy wtedy S przez a-b, i mamy
\(\displaystyle{ a^q - b^q \equiv 0 \ (mod \ p)}\), czyli \(\displaystyle{ \left( \frac{a}{b} \right) ^q \equiv 1 \ (mod \ p)}\).
r - rząd a/b modulo p. Z tego powyżej r | q, ponadto z założenia \(\displaystyle{ a \not\equiv b}\), więc r jest różne od 1. Stąd wniosek, że r=q. Dalej z MTF q | p-1, czyli p jest postaci qm + 1, a skoro p jest nieparzyste, to m = 2k, czyli teza.

Nowe:

Wyznaczyć wszystkie wielomiany P o współczynnikach rzeczywistych spełniające dla dowolnego x równość
\(\displaystyle{ (x-2010)P(x+67) = xP(x)}\)

[Vax]

Rozwiazanie:    

Zauważmy, że \(\displaystyle{ P(x)}\) nie może mieć wyrazu wolnego, ponieważ wtedy po lewej stronie mielibyśmy wyrazy wolny, a po prawej nie, więc wszystkie wyrazy nie mogłyby się po redukować. Tak więc pierwiastkiem \(\displaystyle{ P(x)}\) musi być x, tak więc możemy go zapisać w postaci \(\displaystyle{ P(x) = xQ(x)}\), podstawiając do równania otrzymujemy:

\(\displaystyle{ (x-2010)(x+67)Q(x+67) = x^2Q(x)}\)

Jednak tutaj zauważmy, że pewne stopnie pierwiastków nigdy nam się nie po redukują, ponieważ jeżeli \(\displaystyle{ Q(x)}\) będzie miało wyraz wolny, to po lewej będzie wyraz wolny, a po prawej najmniejszy stopień będzie wynosił \(\displaystyle{ x^2}\), łatwo zauważyć, że jeżeli najmniejszy stopień \(\displaystyle{ Q(x)}\) wynosi n, to po prawej najmniejszy stopień będzie wynosił \(\displaystyle{ n+2}\), więc wszystkie wyrazy się nie po redukują, tak więc jedyne takie \(\displaystyle{ Q(x)}\) które spełnia warunki zadania, to \(\displaystyle{ Q(x)=0}\) z czego wynika, że \(\displaystyle{ P(x) = 0}\)

Porównaj liczby:

\(\displaystyle{ \sqrt[47]{47} ... \sqrt[97]{97}}\)

Pozdrawiam.

[jerzozwierz]

Rozwiązanie mojego zadania jest niepoprawne.

[Vax]

Można wiedzieć czemu ? Oczywiście, można od razu zauważyć, że dany wielomian musi być równy \(\displaystyle{ P(x)=0}\), ponieważ w przeciwnym wypadku nie po redukują nam się niektóre wyrazy, bez definiowania kolejnych wielomianów, jednak tak też powinno być ok.

Pozdrawiam.

[jerzozwierz]

Zauważmy, że \(\displaystyle{ P(x)}\) nie może mieć wyrazu wolnego, ponieważ wtedy po lewej stronie mielibyśmy wyrazy wolny, a po prawej nie, więc wszystkie wyrazy nie mogłyby się po redukować. Tak więc pierwiastkiem \(\displaystyle{ P(x)}\) musi być x, tak więc możemy go zapisać w postaci \(\displaystyle{ P(x) = xQ(x)}\), podstawiając do równania otrzymujemy:

\(\displaystyle{ (x-2010)(x+67)Q(x+67) = x^2Q(x)}\)

Jednak tutaj zauważmy, że pewne stopnie pierwiastków nigdy nam się nie po redukują, ponieważ jeżeli \(\displaystyle{ Q(x)}\) będzie miało wyraz wolny, to po lewej będzie wyraz wolny, a po prawej najmniejszy stopień (wtf?) będzie wynosił \(\displaystyle{ x^2}\), łatwo zauważyć, że jeżeli najmniejszy stopień \(\displaystyle{ Q(x)}\) wynosi n, to po prawej najmniejszy stopień będzie wynosił \(\displaystyle{ n+2}\), więc wszystkie wyrazy się nie po redukują, tak więc jedyne takie \(\displaystyle{ Q(x)}\) które spełnia warunki zadania, to \(\displaystyle{ Q(x)=0}\) z czego wynika, że \(\displaystyle{ P(x) = 0}\)


Porównaj liczby:

\(\displaystyle{ \sqrt[47]{47} ... \sqrt[97]{97}}\)

Pozdrawiam.

Ogólnie cała druga część rozwiązania (po podstawieniu) to zupełne brednie.

[Vax]

Dobra, może nie napisałem tego poprawnie stylistyczno-matematycznie Ale chyba wiadomo, o co chodzi ? Dla obojętnie jakiego wielomianu \(\displaystyle{ Q(x) \neq 0}\) po lewej będą pewne składniki, które nijak nie będą mogły się po redukować z tymi po prawej. Co do bredni, to mogę się zgodzić jedynie co do zdania z tymi pierwiastkami \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ n+2}\) stopni, ale reszta chyba jest ok

Pozdrawiam.

[timon92]

\(\displaystyle{ P(x) = xQ(x)}\)

nieprawda

[Vax]

Skoro x=0 jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ P(x)}\) to chyba można przedstawić go w postaci \(\displaystyle{ xQ(x)}\) ?

Pozdrawiam.

[timon92]

Skoro x=0 jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ P(x)}\) to chyba można przedstawić go w postaci \(\displaystyle{ xQ(x)}\) ?

tak, to prawda

sęk w tym, że w tym zadaniu zero nie jest pierwiastkiem P(x)

[mariolawiki1]

Z góry mówię, że jestem bardzo kiepska z wielomianów, na etapie oseska, więc nie wiem nawet do czego doszłam i czy do czegoś doszłam.

Ukryta treść:    

Podstawiając za \(\displaystyle{ x = 0}\) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ P(67)=0}\), czyli że 67 jest pierwiastkiem naszego wielomianu. Podstawiamy \(\displaystyle{ x = 67}\), otrzymujemy, że \(\displaystyle{ P(134)=0}\). Kolejno podstawiamy 67 i jego wielokrotności, aż do wartości 2010.
Dla \(\displaystyle{ x=2010}\) otrzymujemy po obu stronach równości 0.
Wielomian można więc zapisać w postaci:
\(\displaystyle{ P(x)=(x-67)(x-134)...(x-2010)Q(x)}\)
Podstawiając do równania mamy:
\(\displaystyle{ x(x-67)(x-134)...(x-2010)Q(x)=0}\)


I co teraz?
Czy wynika z tego, że dla x różnego od\(\displaystyle{ {0,67,134,...,2010}}\) \(\displaystyle{ Q(x)=0}\)?

[Vax]

sęk w tym, że w tym zadaniu zero nie jest pierwiastkiem P(x)

No tak, w takim razie pięknego blefa puściłem

[tkrass]

mariolawiki1, wszystko ok, oprócz "podstawienia do równania" Tutaj macie rozwiązanie, w sumie tuż pod nosem:
219051.htm

[mariolawiki1]

tkrass, dziękuję

Szczęśliwego Nowego Roku dla wszystkich!

[KPR]

A jakie jest nowe zadanie?