Tak, zgodzimy się z tym pod warunkiem, że zgodzimy się, że liczba \(\displaystyle{ 0{,}999\ldots=1}\), bo jak bez tego możemy mówić o nieparzystości, skoro nie wiemy, czy liczba \(\displaystyle{ 0{,}999\ldots}\) jest całkowita?Elayne pisze:Zgodzimy się z chyba tym że liczby \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 0,9999...}\) są liczbami nieparzystymi wobec tego jeśli prawdziwe jest twierdzenie \(\displaystyle{ 0,999...=1}\)] to prawdziwe powinno być to:
\(\displaystyle{ 1^2-0^2=0,999...^2-0^2}\) - a tak nie jest.
To jest co najwyżej intuicja, a nie ścisły matematyczny fakt. Liczba do niczego nie dąży. Ewentualnie można powiedzieć, że ciąg \(\displaystyle{ a_n=1-10^{-n}}\) dąży (przy \(\displaystyle{ n}\) dążącym do nieskończoności) do 1, lub ciąg stały \(\displaystyle{ b_n=0{,}999\ldots=1}\) dąży do 1.Elayne pisze:Po pierwsze, liczba \(\displaystyle{ 0,999...}\) dązy do wartości \(\displaystyle{ 1}\).
1. Nie są różneElayne pisze:Po drugie liczby te mają inne "liczby siostrzane" [bo liczby te są różne]]
2. Jedyne "namierzalne" przez Google miejsce w internecie (o literaturze matematycznej nie wspominając), w którym pojawia się hasło "liczby siostrzane" to Twój post. Mógłbyś wyjaśnić ten termin?
Ta sytuacja nie wynika z przyjęcia uproszczonego systemu liczenia, tylko z przyjęcia pewnej definicji liczb rzeczywistych. Można definiować je jako ciało algebraiczne spełniające zestaw aksjomatów, których konsekwencją są m.in. takie własności:Elayne pisze:a sytuacja jak wyżej opisana wynika z przyjęcia uproszczonego systemu liczenia bo tak wygodniej, prościej, szybciej, łatwiej i trudniej o pomyłkę w obliczeniach
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{\substack{a,b,c\in\mathbb{R}\\c\neq0}}a=b\ \Leftrightarrow\ ac=bc}\)
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{a,b,c\in\mathbb{R}}a=b\ \Leftrightarrow\ a+c=b+c}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ x=0{,}999\ldots\ \Leftrightarrow\ 10x=9{,}999\ldots\ \Leftrightarrow\ 9x=9\ \Leftrightarrow\ x=1}\)
A więc stwierdzenie, że pewna liczba rzeczywista \(\displaystyle{ x}\) jest równa \(\displaystyle{ 0{,}999\ldots}\) jest równoważne temu, że jest ona równa 1. Definiując liczby rzeczywiste w inny sposób (przekroje Dedekinda, ciągi liczb wymiernych Cauchy'ego, itd.) również otrzymalibyśmy równość tych liczb. Fakt ten nie jest więc umową samą w sobie (jak np. zdefiniowanie \(\displaystyle{ 0!=1}\)), ale konsekwencją umowy czym mają być liczby rzeczywiste.
Tutaj także rzecz polega na tym jak definiujemy potęgowanie w zbiorze liczb rzeczywistych. Często przyjmuje się, że dla \(\displaystyle{ a\neq0}\) \(\displaystyle{ a^0=1}\). Wtedy faktycznie jest to pewna umowa, która daje wygodne i eleganckie skutki dla rozważania funkcji wykładniczej.Elayne pisze: - weżmy podobny problem który wynika po części z podobnej przyczyny \(\displaystyle{ 10^0}\) równa się \(\displaystyle{ 1}\) a może poprawnym wynikiem jest \(\displaystyle{ 0}\), tego nie wiemy bo nie znamy kontekstu wyrażenia.
Natomiast np. mój wykładowca analizy postąpił tak:
- zdefiniował potęgowanie o wykładniku naturalnym
-zdefiniował ciągi i ich granice
- zdefiniował funkcję wykładniczą jako: \(\displaystyle{ \exp(x)=\lim_{n\to\infty}\left( 1+ \frac{x}{n} \right)^n}\)
- zdefiniował logarytm jako funkcję odwrotną do wykładniczej
- wyprowadził listę własności obu funkcji
- zdefiniował potęgę liczby dodatniej o wykładniku rzeczywistym:
\(\displaystyle{ a^x=\exp(x\ln a)}\)
Zatem dla \(\displaystyle{ a=10, x=0}\) mamy:
\(\displaystyle{ 10^0=\exp(0\cdot\ln10)=\exp(0)=1}\)
Także tym razem równość \(\displaystyle{ x^0=1}\) nie wynika z definicji samej w sobie, ale z ogólnie przyjętej definicji potęgowania. Nie można więc powiedzieć "a może poprawnym wynikiem jest \(\displaystyle{ 0}\)", bo właśnie przy przyjmowanych przez nas definicjach potęgowania nie może być. Nie wiem, co masz na myśli mówiąc o "kontekście wyrażenia".
A mógłbyś wyjaśnić dlaczego?Elayne pisze:Po trzecie \(\displaystyle{ 1^2 \neq 0,999...^2}\)
Ogólnie prawdziwy jest następujący fakt:
Każda liczba wymierna o rozwinięciu dziesiętnym skończonym ma także rozwinięcie dziesiętne nieskończone.
