Pochodne funkcji

evelinaa · Post autor: **evelinaa** » 1 gru 2008, o 23:23

ten pierwszy przyklad liczylam ze wzoru,ktory podales , ale i tak wynik inny wychodzi mi niz w ksiazce;/
a teraz mam klopot z podzieleniem tego:

1.\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt[3]{x} }{1- \sqrt[3]{x} }}\)

i z potegami

2.\(\displaystyle{ (3t+2)^7}\)

miki999 · Post autor: **miki999** » 2 gru 2008, o 18:44

1. mamy wzór na przypadki, w których oprócz licznika jest również mianownik:
\(\displaystyle{ ( \frac{x^{1/3}}{1-x^{1/3}})'= \frac{(x^{1/3})' (1-x^{1/3})-(1-x^{1/3})' x^{1/3}}{(1-x^{1/3})^{2}}}\)

2. Najlepiej zrobić podstawienie, powiedzmy k=3t+2:
\(\displaystyle{ ((3t+2)^{7})'=(k^{7})' (3t+2)'=7k^{6} 3=7(3t+2)^{6} 3=21(3t+2)^{6}}\)

[ Dodano: 2 Grudnia 2008, 18:48 ]
Co do poprzedniego:

\(\displaystyle{ (2x^{-6}+3x^{-1/4})'=2 (x^{-6})'+3 (x^{-1/4})'=2 (-6)x^{-7}+3 (- \frac{1}{4} )x^{-5/4}}\)

Pozostaje tylko przekształcić do odpowiedniej postaci.

jarzabek89 · Post autor: **jarzabek89** » 2 gru 2008, o 19:01

1.) Błąd. Cały mianownik do kwadratu.

evelinaa · Post autor: **evelinaa** » 2 gru 2008, o 19:31

2. \(\displaystyle{ ( x^4 + x^3-2)(2x^4 -x^2 +7x+5)}\)= \(\displaystyle{ (4x^3+3x^2)(2x^4-x^2+7x+5) + (x^4+x^3-2)(8x^3-2x+7)}\)

czyli tego przykladu nie licze ze wzoru na iloczyn?

3. \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt[3]{x} }{1- \sqrt[3]{x} }}\) = \(\displaystyle{ \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2} } \ast 1- \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{x} \ast - \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2} }}\) dziele to cale wyrazenie przez mianownik podniesiony do kwadratu...jak to do tej pory jest zrobione, jest blad?

miki999 · Post autor: **miki999** » 2 gru 2008, o 19:46

2.Liczysz prawidłowo.

jarzabek89, dzięki za poprawę. Już edytuję posta.

3. ???

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{x^{2}}=x^{2/3}}\)

evelinaa · Post autor: **evelinaa** » 2 gru 2008, o 20:00

miki chodzilo Ci o to,ze dobrze licze w tym drugim czy tez 3? bo edytowalam post i dodalam pozniej ten 3 przyklad niz 2 i teraz sie zastanawiam co to ma byc dobrze;p

a jak mam taki przyklad :

\(\displaystyle{ (2x-3x \sqrt{x} +x)(x + \sqrt{x})}\) to licze normalnie ze wzoru na iloczyn czy jeszcze wewnatrz tego pierwszego nawiasu stosuje drugi wzor na iloczyn, bo w koncu mam tam :
\(\displaystyle{ 3x \sqrt{x}}\)

miki999 · Post autor: **miki999** » 2 gru 2008, o 20:02

\(\displaystyle{ 3x \sqrt{x}=3x\ x^{1/2}=3x^{3/2}}\)

evelinaa · Post autor: **evelinaa** » 2 gru 2008, o 20:13

czyli w takim przypadku zawszee postepujemy tak samo? zaczyna mi sie to jzu mieszac...bo niby to iloczyn, z ktorego zarowno daloby sie napisac pochodna tego 3x czyli byloby 3 i z \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\) tez...a tu liczymy w nuieco inny sposob...

miki999 · Post autor: **miki999** » 2 gru 2008, o 20:23

tzn. oczywiście możemy stosować wzór na iloczyn, ale to jest trudniejsze, bo kiedy będziemy mieli: \(\displaystyle{ x*x*x*x*x*x^{2}*x^{3}* \sqrt{x}}\), to stosowanie wzorów byłoby bezsensowne.

Korzystając ze wzoru wyglądałoby to tak:
\(\displaystyle{ (3x \sqrt{x} )'=3 \sqrt{x} +3 x \frac{1}{2 \sqrt{x} }}\) , co po doprowadzeniu do najprostszej postaci dałoby nam identyczny rezultat jak:
\(\displaystyle{ (3x^{3/2})'= \frac{9}{2} \sqrt{x}}\)

evelinaa · Post autor: **evelinaa** » 2 gru 2008, o 20:30

Ok czyli majac dzielenie robie tak smao:

\(\displaystyle{ \frac{2}{x^3 \sqrt{x} } = \frac{-2\ast \frac{7}{2}\ast \sqrt{x^5} }{(x^3 \sqrt{x})^2 }}\) po skroceniu 2 w liczniku dobry wynik jest? bo w ksiazce inny

miki999 · Post autor: **miki999** » 2 gru 2008, o 20:44

Po uproszczeniu Twój wynik ma postać:
\(\displaystyle{ -7x^{-9/2}}\) I taki wynik pewnie jest w odpowiedziach

[ Dodano: 2 Grudnia 2008, 20:46 ]
Proszę abyś umieszczała znaki pochodnej dla poprawności oraz innych użytkowników forum.

Pewnie się namęczyłaś robiąc ten przykład wzorami na mnożenie dzielenie czy co tam użyłaś
Jednakże można było zauważyć, że w liczniku nie mamy funkcji zmiennej x i od razu zapisać, że to wyrażenie ma postać:
\(\displaystyle{ \frac{2}{x^{3} \sqrt{x} } =2x^{-7/2}}\) I od razu możemy otrzymać pochodną w ładnej formie.

evelinaa · Post autor: **evelinaa** » 2 gru 2008, o 20:46

no zgadzaloby sie ;p a jak to policzyles? ;d

miki999 · Post autor: **miki999** » 2 gru 2008, o 20:52

Po prostu zapisałem to w postaci:
\(\displaystyle{ -7x^{5/2} (x^{3 \frac{1}{2} })^{-2}}\)
I teraz wszystko ładnie się sumuje.

evelinaa · Post autor: **evelinaa** » 5 gru 2008, o 18:18

1. \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{x} } -2x}\) rozwiazalam to dwoma metodami i zastanawiam sie dlaczego mam inne wyniki, czy ktorys z nich jest dobrze?:

a) \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{x} } -2x}\)=\(\displaystyle{ x^ \frac{-1}{2} -2x=- \frac{1}{ 2\sqrt{x^3} } -2}\)

b) \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{x} } -2x}\) =\(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{2 \sqrt{x} } }{x} -2}\)

2. \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{x}+ \frac{3}{x} }{2x}}\)

3.\(\displaystyle{ \frac{sinx+x^{2}3^x}{x^{4}-x^{3}+5}}\)

miki999 · Post autor: **miki999** » 5 gru 2008, o 19:10

Wyrażenia zapisuj ze znakiem pochodnej, bo nie wiadomo, o co chodzi.

Wynik a) jest prawidłowy, gdyby w przykładzie b) był minus przy pierwszym członie, to wynik byłby tożsamy z otrzymanym w poprzednim przykładzie

2.
\(\displaystyle{ ( \frac{ \sqrt{x}+3x^{-1} }{2x})' = \frac{( x^{1/2} + 3x^{-1})' 2x- (2x)' ( \sqrt{x}+3x^{-1})}{4x^{2}}= \frac{ (\frac{1}{2 \sqrt{x} }-3x^{-2}) 2x-2 (\sqrt{x}+3x^{-1})}{4x^{2}}}\)

Wymnożyć / uprościć.

3.
\(\displaystyle{ \frac{sinx+x^{2}3^{x}}{x^{4}-x^{3}+5}= \frac{(sinx+x^{2}3^{x})' (x^{4}-x^{3}+5)-(4x^{3}-3x^{2}) (sinx+x^{2}3^{x})}{(x^{4}-x^{3}+5)^{2}}=(...) \\ (x^{2} 3^{x})'=2x 3^{x}+x^{2} 3^{x}ln3 \\ (...)= \frac{(cosx+2x 3^{x}+x^{2} 3^{x}ln3) (x^{4}-x^{3}+5)-(4x^{3}-3x^{2}) (sinx+x^{2}3^{x})}{(x^{4}-x^{3}+5)^{2}}}\)

Zabawa w mnożenie i porządkowanie.

Btw. cieszy mnie, że poziom Twoich przykładów jest coraz wyższy