[MIX] Delta vs Kwant

[bosa_Nike]

969 inaczej:    

\(\displaystyle{ \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{2a-b}{3}}\)

[a4karo]

Skorygowana treść zadania 1000:

Punkt \(\displaystyle{ M}\) leży na łuku \(\displaystyle{ AB}\), przy czym \(\displaystyle{ AM>MB}\). Punkt \(\displaystyle{ K}\) jest środkiem łuku, a \(\displaystyle{ H}\) jego rzutem prostopadłym na \(\displaystyle{ AM}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ H}\) dzieli łamaną \(\displaystyle{ AMB}\) na połowy, tzn. \(\displaystyle{ AH=HM+MB}\).

[Pinionrzek]

1000.

Ukryta treść:    

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ H'}\) rzut prostokątny \(\displaystyle{ K}\) na \(\displaystyle{ MB}\). Ponieważ \(\displaystyle{ KM}\) to dwusieczna kąta zewnętrznego \(\displaystyle{ AMB}\), więc \(\displaystyle{ H'M=HM, KH'=KH}\). Zauważmy teraz, że na mocy twierdzenia Pitagorasa dostajemy: \(\displaystyle{ AK^2-KH^2=AH^2}\) oraz \(\displaystyle{ BK^2-KH'^2=BH'^2}\). Widzimy ponadto, że \(\displaystyle{ AK=BK, KH'=KH}\), więc otrzymujemy tezę całego zadania.

[mol_ksiazkowy]

999

Ukryta treść:    

a) \(\displaystyle{ b_1, ..., b_n}\) to ciąg \(\displaystyle{ a_1, ..., a_n}\) ustawiony rosnąco.
Wtedy \(\displaystyle{ \frac{i}{a_1+...+a_k } \leq \frac{i}{b_1+...+b_k }}\)
oraz \(\displaystyle{ \frac{2k-1}{b_1+...+b_{2k-1} } \leq \frac{2k-1}{b_k+...+b_{2k-1} } \leq \frac{2k-1}{kb_{k-1}} < \frac{2}{b_{k-1}}}\)
i
\(\displaystyle{ \frac{2k}{b_1+...+b_{2k} } \leq \frac{2k}{b_{k+1}+...+b_{2k} } \leq \frac{2k}{kb_{k}} = \frac{2}{b_{k}}}\)

stąd teza dla ciągu \(\displaystyle{ b_n}\) (więc także dla \(\displaystyle{ a_n}\)).

[mol_ksiazkowy]

Ciekawe zadanie

Udowodnić, że liczba jedynkowa \(\displaystyle{ 1....1}\) (\(\displaystyle{ 3^n}\) jedynek) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3^n}\) i po podzieleniu jest liczba, która jest iloczynem \(\displaystyle{ n}\) różnych czynników.

Np. \(\displaystyle{ n=2 }\)
\(\displaystyle{ \frac{111 111 111}{9} = 12345679}\) dzieli się przez 37.