[MIX] Mix matematyczny (11)

[Piotr Rutkowski]

ad. 1, skrótowo, bo mam mało czasu: przyjmijmy x>3, rozpatrując modulo 3 dostajemy, że x jest nieparzyste, potem modulo 8 otrzymujemy, że y jest parzyste, teraz modulo 16 (x=2t+1, y=2k):
\(\displaystyle{ L \equiv 1+3 9^t + 5 25^t \equiv 1 + 3 9^t + 5 9^t \equiv 1+8 9^t \equiv P \equiv 225^k \equiv 1 \ (mod \ 16)}\), czyli \(\displaystyle{ 9^t \equiv 0 \ (mod \ 2)}\), co jest oczywistą sprzecznością, dla mniejszych x mamy rozwiązania:
\(\displaystyle{ \boxed{(x,y) \lbrace (1,1), \ (3,2) \rbrace }}\)

ad 3 liczb posataci x= \(\displaystyle{ a_1b_1+...+a_nb_n}\) gdzie \(\displaystyle{ b_j}\) wynosi 1 lub 0
jest \(\displaystyle{ 2^{10}}\) a wiec róznica ktoeychs dwoch dzieli sie przez 1000. (O ile pewne x i y tak wygenerowane - dla roznych ciagow beda równe, to tez nie ma czego dowodzic...)

Nic dodać, nic ująć
Zostało 5 i najtrudniejsze (chyba) 2

[TomciO]

5) Niekoniecznie. Wystarczy wziąć \(\displaystyle{ a_n = n\ln{n}}\).

[klaustrofob]

5. szereg \(\displaystyle{ \sum_2^{\infty} \frac{1}{n\ln n}}\) jest rozbieżny, a spełnia warunek z zadania. odpowiedź brzmi zatem: nie.

[Piotr Rutkowski]

5) Niekoniecznie. Wystarczy wziąć \(\displaystyle{ a_n = n\ln{n}}\).

Zgadza się. A rozbieżność to np. kryterium zagęszczające.
Zauważmy, że gdyby chodziło o rosnący ciąg liczb naturalnych to nadal teza zadania by nie zachodziła (wtedy np. \(\displaystyle{ a_{n}=[nln(n+2)]}\))

Pozostało już tylko jedno

[TomciO]

Co jest trudnego w 2)? Bierzemy liczby pierwsze \(\displaystyle{ q_1, q_2, ..., q_{2k-1}}\). Na mocy chińskiego tw. o resztach układ kongruencji:
\(\displaystyle{ x \equiv k \pmod{q_1}}\)
\(\displaystyle{ x \equiv k-1 \pmod{q_2}}\)
...
\(\displaystyle{ x \equiv 1 \pmod{q_{k-1}}}\)
\(\displaystyle{ x \equiv -1 \pmod{q_{k}}}\)
...
\(\displaystyle{ x \equiv -k \pmod{q_{2k-1}}}\)
ma rozwiązanie postaci \(\displaystyle{ x \equiv a \pmod{q_1q_2...q_{2k-1}}}\). Na mocy tw. Dirichleta istnieje liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) taka, ze \(\displaystyle{ p \equiv a \pmod{q_1q_2...q_{2k-1}}}\). No i oczywiście ta liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) spełnia żądany warunek.

[Piotr Rutkowski]

Co jest trudnego w 2)? Bierzemy liczby pierwsze \(\displaystyle{ q_1, q_2, ..., q_{2k-1}}\). Na mocy chińskiego tw. o resztach układ kongruencji:
\(\displaystyle{ x \equiv k \pmod{q_1}}\)
\(\displaystyle{ x \equiv k-1 \pmod{q_2}}\)
...
\(\displaystyle{ x \equiv 1 \pmod{q_{k-1}}}\)
\(\displaystyle{ x \equiv -1 \pmod{q_{k}}}\)
...
\(\displaystyle{ x \equiv -k \pmod{q_{2k-1}}}\)
ma rozwiązanie postaci \(\displaystyle{ x \equiv a \pmod{q_1q_2...q_{2k-1}}}\). Na mocy tw. Dirichleta istnieje liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) taka, ze \(\displaystyle{ p \equiv a \pmod{q_1q_2...q_{2k-1}}}\). No i oczywiście ta liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) spełnia żądany warunek.

Mhm, wzorcówka wygląda troszkę gorzej, ale jak przedstawiłeś to w ten sposób to faktycznie proste się staje

Ustalmy \(\displaystyle{ k}\) i liczbę pierwszą \(\displaystyle{ q\geq k+2}\).

Lemat:
Liczby \(\displaystyle{ q!}\) oraz \(\displaystyle{ (q-1)(q-1)!+1}\) są względnie pierwsze.
Zatem \(\displaystyle{ q!=as \ (q-1)(q-1)!+1=bs}\)
\(\displaystyle{ (q-1)as+q=bsq}\) czyli \(\displaystyle{ s=q}\)
\(\displaystyle{ (q-1)(q-1)!+1=bq}\)
\(\displaystyle{ q(q-1)!-((q-1)!+1)+2=bq}\)
Z tw. Wilsona mamy zatem, że \(\displaystyle{ q|2\Rightarrow q=2}\)
Co jest sprzeczne z ustaleniem liczby \(\displaystyle{ q}\).
Zatem na mocy tw. Dirichleta w ciągu \(\displaystyle{ a_{n}=nq!+(q-1)(q-1)!+1}\)
jest nieskończenie wiele liczb pierwszych.
Połóżmy \(\displaystyle{ p=q!n_{0}+(q-1)(q-1)!+1}\)
Teraz już łatwo uzasadnić, że taka liczba p spełnia warunki zadania

Tym samym Mix 11 został zakończony

[mol_ksiazkowy]

ad 6 wniosek O ile \(\displaystyle{ g:N \mapsto N p}\) i g(mn)=g(m)+g(n) jest rosnaca ,to \(\displaystyle{ g(n)=log_p n}\) dla pewnego p>1, Zaloz. "rosnaca" istotna : np
f(3)=1 , f(n)=n dla n niepodzielne przez 3
*(tj f(2) > f(3))

[max]

9. Jeszcze inaczej: \(\displaystyle{ \sqrt[n+1]{(1 + \tfrac{1}{n})^{n}\cdot 1} < \frac{n(1 + \frac{1}{n}) + 1}{n+1} = 1 + \frac{1}{n+1}}\)
(czy muszę pisać, że to się bierze ze zwykłej nierówności między średnimi? )

[Rogal]

Szczególnie, że fakt, który dowodzicie jest potrzebny, by udowodnić istnienie liczby e jako takiej granicy, więc głupio tak korzystać z tego faktu ; ).
Co do czwartego, to ja bym to osobiście atakował tw. Stolza - żadnych całek : )

[patry93]

Mam nadzieję, że można odkopać

Co oznacza: \(\displaystyle{ d(k,A_1)}\) w poście Sylwka dot. zad. 8?

[jerzozwierz]

d(x,y) to zwyczajowo odległość punktu x od punktu y w danej metryce.

[patry93]

Ok...
mam dziwne wrażenie, jakby w tym rozwiązaniu było coś ucięte albo po prostu ja nie rozumiem... lepiej zapytać - czy chodzi może o nazwanie indeksów tym punktom w ten sposób, że im większy indeks, tym większa odległość danego punktu od prostej k?-- 24 grudnia 2009, 21:35 --Ach, i jeszcze: czy rozwiązanie Piotra Rutkowskiego tego samego zadania nie pokazuje czasem czegoś dużo mocniejszego, a mianowicie, że wtedy żadne odcinki się nie przecinają?

[Sylwek]

\(\displaystyle{ d(...)}\) oznacza odległość, u nas odległość prostej k od punktu A (ups, nie zauważyłem, że na tej stronie już zostało to wyjaśnione). Forum coś "wyjadło" z mojego postu i prawdopodobnie chodziło mi wówczas o coś takiego:

ad. 8, taki pomysł, poprowadźmy prostą k, po której jednej ze stron leżą wszystkie punkty z naszego zbioru, a także ta prosta nie jest równoległa do żadnej z prostych tworzonych przez pewne dwa punkty z naszego zbioru, jeśli oznaczymy nasze punkty \(\displaystyle{ A_1,A_2,\ldots,A_{2n}}\), przy czym \(\displaystyle{ d(k,A_1)<d(k,A_2)<\ldots<d(k,A_{2n})}\), to odcinki \(\displaystyle{ A_{2k-1}A_{2k}}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,...,n}\) spełniają warunki zadania (żadne dwa takie odcinki nie przecinają się, bo jeśli weźmiemy dwa punkty z dwóch różnych takich odcinków to z przyjętych definicji wynika, że te dwa punkty leżą w różnych odległościach od prostej k, czyli w szczególności nie mogą się pokrywać i wreszcie wnioskujemy stąd, że te dwa odcinki się nie przecinają, a że wzięliśmy dowolne dwa odcinki, to... ).