[I OMG] Dyskusja.
[I OMG] Dyskusja.
Witam! Podczas szukania w internecie zadanek matematycznych trafiłem tu - zadania z II etap I OMG. Niestety - na razie pokonałem tylko zadanie 1 i 3 :/. Byłbym wdzięczny za jakiekolwiek wskazówki dotyczące rozwiązania pozostałych zadań - na stronie nie zamieścili rozwiązań, więc nie wiem, jak to ugryźć. Jestem nowy na forum i chodzę do II gimnazjum, więc nie zabijajcie
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2333
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
[I OMG] Dyskusja.
W takim razie ad 4:
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ 14-9=5}\), a 5 jest liczbą pierwszą.
Dla \(\displaystyle{ n=2}\) mamy \(\displaystyle{ 14^2 - 9=187=11 17}\)
Dla \(\displaystyle{ n=3}\) mamy \(\displaystyle{ 14^3 - 9=2735=5 547}\)
Dla \(\displaystyle{ n=4}\) mamy \(\displaystyle{ 14^4 -9=38407=193 199}\)
Przypuszczamy więc, że dla wszystkich nieparzystych liczb naturalnych \(\displaystyle{ n=2k-1}\) zachodzi \(\displaystyle{ 5| 14^n - 9}\). Można dowodzić tej podzielności indukcyjnie, ale szybciej będzie korzystając z kongruencji. Mamy:
\(\displaystyle{ 14 \equiv -1 (mod\ 5) \\ 14^{2k-1} \equiv (-1)^{2k-1} \equiv -1 (\mod 5) \\ 14^{2k-1} -9 \equiv -1-9=-10 \equiv 0 (mod\ 5)}\)
Niestety dla parzystych liczb naturalnych \(\displaystyle{ n=2k}\) nie widzimy żadnej podzielności. Ale przecież mamy wzory skróconego mnożenia, z których skorzystamy:
\(\displaystyle{ 14^{2k} - 9=(14^k)^2 - 3^2= (14^k -3)(14^k +3)}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ 1< 14^k - 3< 14^k +3}\), więc liczba \(\displaystyle{ 14^{2k} - 9}\) ma co najmniej dwa dzielniki większe od jedności, więc nie jest pierwsza.
Ostatecznie dostajemy, że jedynie dla \(\displaystyle{ n=1}\) liczba \(\displaystyle{ 14^n - 9}\) jest pierwsza.
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ 14-9=5}\), a 5 jest liczbą pierwszą.
Dla \(\displaystyle{ n=2}\) mamy \(\displaystyle{ 14^2 - 9=187=11 17}\)
Dla \(\displaystyle{ n=3}\) mamy \(\displaystyle{ 14^3 - 9=2735=5 547}\)
Dla \(\displaystyle{ n=4}\) mamy \(\displaystyle{ 14^4 -9=38407=193 199}\)
Przypuszczamy więc, że dla wszystkich nieparzystych liczb naturalnych \(\displaystyle{ n=2k-1}\) zachodzi \(\displaystyle{ 5| 14^n - 9}\). Można dowodzić tej podzielności indukcyjnie, ale szybciej będzie korzystając z kongruencji. Mamy:
\(\displaystyle{ 14 \equiv -1 (mod\ 5) \\ 14^{2k-1} \equiv (-1)^{2k-1} \equiv -1 (\mod 5) \\ 14^{2k-1} -9 \equiv -1-9=-10 \equiv 0 (mod\ 5)}\)
Niestety dla parzystych liczb naturalnych \(\displaystyle{ n=2k}\) nie widzimy żadnej podzielności. Ale przecież mamy wzory skróconego mnożenia, z których skorzystamy:
\(\displaystyle{ 14^{2k} - 9=(14^k)^2 - 3^2= (14^k -3)(14^k +3)}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ 1< 14^k - 3< 14^k +3}\), więc liczba \(\displaystyle{ 14^{2k} - 9}\) ma co najmniej dwa dzielniki większe od jedności, więc nie jest pierwsza.
Ostatecznie dostajemy, że jedynie dla \(\displaystyle{ n=1}\) liczba \(\displaystyle{ 14^n - 9}\) jest pierwsza.
-
przemk20
- Użytkownik
- Posty: 1093
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olesno
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 236 razy
[I OMG] Dyskusja.
zadanie 2.
zauwazmy ze wsrod 111 liczb znajdzie sie conajmniej 11 takich, ktore daja ta sama reszte z dzielenie przez 11, (zasada szufladkowa dirichleta)
oznaczajac te liczby kolejno:
\(\displaystyle{ a_1 = 11 k_1 + b \\
a_2 = 11 k_2 + b \\
\ \ \ \ \ \ . \ . \ . \ . \ . \\
a_{11} = 11 k_{11} + b \\
a_1+a_2+...+a_{11} = 11 k_1 + 11k_2 + ...+ 11k_{11} + 11b = 11(k_1+k_1+...+k_{11}+b) \\}\)
zauwazmy ze wsrod 111 liczb znajdzie sie conajmniej 11 takich, ktore daja ta sama reszte z dzielenie przez 11, (zasada szufladkowa dirichleta)
oznaczajac te liczby kolejno:
\(\displaystyle{ a_1 = 11 k_1 + b \\
a_2 = 11 k_2 + b \\
\ \ \ \ \ \ . \ . \ . \ . \ . \\
a_{11} = 11 k_{11} + b \\
a_1+a_2+...+a_{11} = 11 k_1 + 11k_2 + ...+ 11k_{11} + 11b = 11(k_1+k_1+...+k_{11}+b) \\}\)
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2333
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
[I OMG] Dyskusja.
Ad 2:
Troszkę inaczej, niż zrobił to przemk20 . Niech \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, a_{3}, ... ,a_{11}}\) będą liczbami całkowitymi. Rozważmy liczby:
\(\displaystyle{ 0,a_{1}, a_{1}+a_{2}, a_{1}+a_{2}+a_{3},... , a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+... +a_{10}+a_{11}}\)
Ponieważ liczb tych jest dwanaście, więc pewne dwie spośród nich dają tę samą resztę przy dzieleniu przez 11. Teraz wystarczy rozważyć ich różnicę, która jest podzielna przez 11.
Troszkę inaczej, niż zrobił to przemk20 . Niech \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, a_{3}, ... ,a_{11}}\) będą liczbami całkowitymi. Rozważmy liczby:
\(\displaystyle{ 0,a_{1}, a_{1}+a_{2}, a_{1}+a_{2}+a_{3},... , a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+... +a_{10}+a_{11}}\)
Ponieważ liczb tych jest dwanaście, więc pewne dwie spośród nich dają tę samą resztę przy dzieleniu przez 11. Teraz wystarczy rozważyć ich różnicę, która jest podzielna przez 11.
[I OMG] Dyskusja.
Wielkie dzięki Teraz już kapuje, o co chodziło. Co do zadania 5 - jak byście to zrobili?? Ja sobie narysowałem kwadrat i potem z tresci polecenia naniosłem ten sześciokąt i znalazłem odcinki tej samej długości - ale nie jestem czy dobrze zrobiłem.