Zadania z testu predyspozycji do profilu Matex w XIV LO

[Wasilewski]

binaj, obie liczby są parzyste, a wśród trzech kolejnych jedna podzielna przez 3. Czyli mamy podzielność przez 6.

[limes123]

Ciężko powiedzieć... są takie konkursy, że pewnie by uznali bez dowodu ale na niektórych mogliby się czepiać. Ale dowód jest prosty i krótki.

[BP]

Następna seria zadań.

Zadanie 28
Wykaż, że liczba\(\displaystyle{ 1999 ^{2604} + 2}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).

Zadanie 29
Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są liczbami ujemnymi, to\(\displaystyle{ (x + y)( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ) \geqslant 4}\).
Zadanie 30
W trójkącie prostokątnym \(\displaystyle{ ABC}\) z wierzchołka kąta prostego poprowadzono wysokość \(\displaystyle{ CE}\) taki, że czworokąt \(\displaystyle{ AECF}\) jest prostokątem. Punkt \(\displaystyle{ S}\) jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ BCE}\), punkt \(\displaystyle{ R}\) jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ACF}\). Dane są długości odcinków: \(\displaystyle{ |CS|=m}\), \(\displaystyle{ |CR|=k}\). Oblicz długość odcinka \(\displaystyle{ SR}\).

Zadanie 31
Czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) jest wpisany w okrąg, a jego przekątne przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ S}\). Długość boku \(\displaystyle{ AB}\) jest większa od długości boku \(\displaystyle{ CD}\). Wykaż, że pole trójkąta \(\displaystyle{ ABS}\) jest większe od pola trójkąta \(\displaystyle{ CDS}\).

Zadanie 32
Przeciwległymi ścianami sześcianu są kwadraty \(\displaystyle{ ABCD}\) i \(\displaystyle{ PQRS}\), przy czym odcinki \(\displaystyle{ AP}\) i \(\displaystyle{ BQ}\) są krawędziami sześcianu. Punkt \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem krawędzi \(\displaystyle{ AP}\). Rozstrzygnij, czy kąt \(\displaystyle{ SMB}\) jest ostry, prosty czy rozwarty. Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 33
Różnica \(\displaystyle{ |40.2 ^{ \frac{1}{2} } - 57| ^{ \frac{1}{2} } - (40.2 ^{ \frac{1}{2} } + 57) ^{ \frac{1}{2} }}\) jest liczbą całkowitą. Oblicz tę liczbę bez korzystania z kalkulatora.

Zadanie 34
a) Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ x > 0, y > 0}\) i \(\displaystyle{ xy = 1}\), to \(\displaystyle{ x + y \geqslant 2}\)
b) Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ a > 0, b > 0, x > 0, y > 0, a + b = 1}\) i \(\displaystyle{ xy = 1}\), to \(\displaystyle{ (ax+b)(ay+b) \geqslant 1}\).

Zadanie 35
Ile jest wszystkich liczb \(\displaystyle{ x}\) należących do zbioru \(\displaystyle{ {1,2,3,...,1998}}\) takich, że liczba \(\displaystyle{ x ^{2} + 19}\) jest podzielna przez:
a) \(\displaystyle{ 5}\),
b) \(\displaystyle{ 4}\),
c) \(\displaystyle{ 3}\)?

Zadanie 36
Oblicz pole równoległoboku jeżeli wiesz, że jego przekątne mają długość \(\displaystyle{ 13cm}\) i \(\displaystyle{ 15cm}\), a jedna z wysokości ma długość \(\displaystyle{ 5cm}\).

Zadanie 37
Odcinek łączący środki ramion trapezu równoramiennego ma długość \(\displaystyle{ 5cm}\) i dzieli ten trapez na dwie figury, których stosunek pól jest równy \(\displaystyle{ 7:13}\). Oblicz długość wysokości trapezu, jeżeli wiesz, że w ten trapez można wpisać koło.

Dzieki za pomoc.

[luka52]

ad 29.
\(\displaystyle{ 1 + \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 1 \geq 4\\
\frac{x}{y} + \frac{1}{\frac{x}{y}} \geq 2}\)
A dalej z nierównści AM-GM mamy:
\(\displaystyle{ \frac{\frac{x}{y} + \frac{1}{\frac{x}{y}}}{2}\geq \sqrt{\frac{x}{y} \frac{1}{\frac{x}{y}}} = 1}\)

[Wasilewski]

28)
\(\displaystyle{ 1999 \equiv 1 (mod \ 3) \\
1999^{2604} \equiv 1^{2604} \equiv 1 (mod \ 3) \\
1999^{2604} + 2 \equiv 1 + 2 \equiv 3 \equiv 0 (mod \ 3)}\)

[szablewskil]

34) \(\displaystyle{ xy=1 \Leftrightarrow \sqrt{xy}=1}\) teraz nierówność:
\(\displaystyle{ x+y \geqslant 2 \sqrt{xy} \Leftrightarrow x-2 \sqrt{xy}+y \geqslant 0 \Leftrightarrow ( \sqrt{x} - \sqrt{y})^{2} \geqslant 0}\) Korzystając z tej nie równości mamy:
\(\displaystyle{ x+y \geqslant 2 \sqrt{xy} =2}\)

[blost]

29) można łatwiej w ten sposób rozwiązać

\(\displaystyle{ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geqslant 2}\)
\(\displaystyle{ \frac{ x^{2} + y^{2} }{xy} \geqslant 2}\)
\(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} -2xy \geqslant 0}\)
\(\displaystyle{ (x-y) ^{2} \geqslant 0}\)

[ Komentarz dodany przez: luka52: 4 Maj 2008, 16:34 ]
"Łatwiej" to pojęcie względne

[CiupaCiupaCiupa]

Co do zadania 35, to myślę, że \(\displaystyle{ 5|x^{2}+19}\) wtedy, kiedy \(\displaystyle{ x^{2}}\) kończy się na 1 lub 6. Dzieje się to dla liczb, których liczba jedności wynosi albo 1,4,6,9. Wobec tego w punkcie a) będzie \(\displaystyle{ [1998/10]+[1998/4]+[1998/6]+[1998/9]}\).

[BP]

Kolejna seria zadań

Zadanie 38
Wykaż, że nie istnieją liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ k, m, n}\) takie, że:
a) \(\displaystyle{ 2k+3m=4n}\)
b) \(\displaystyle{ 7k+16m=21n}\)

Zadanie 39
Wykaż, że:
a) dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ (x+1) ^{2} \geqslant 4x}\)
b) jeżeli \(\displaystyle{ 0 \leqslant a \leqslant 1}\) i \(\displaystyle{ 0 \leqslant b \leqslant 1}\), to prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ (a + b + 1) ^{2} \geqslant 4(a ^{1997} + b ^{1997})}\)

Zadanie 40
Wykaż, że suma odległości dowolnego punktu rombu od prostych zawierających boki rombu jest stała. Oblicz tę stałą, jeżeli wiesz, że przekątne rombu mają długość \(\displaystyle{ 12cm}\) i \(\displaystyle{ 16cm}\).

Zadanie 41
W trójkącie równoramiennym \(\displaystyle{ ABC}\) podstawa \(\displaystyle{ AB}\) ma długość \(\displaystyle{ 12cm}\). Oblicz pole tego trójkąta, jeżeli wiesz, że okrąg, którego średnicą jest wysokość \(\displaystyle{ CD}\)przecina ramię \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ E}\) tak, że \(\displaystyle{ CE : EB = 5 : 4}\).

Zadanie 42
W trójkąt\(\displaystyle{ ABC}\), taki, że bok \(\displaystyle{ AB}\) ma długość \(\displaystyle{ a (|AB| = a)}\) oraz wysokość \(\displaystyle{ CD}\) ma długość \(\displaystyle{ h}\) \(\displaystyle{ (|CD| = h)}\), wpisano kwadrat \(\displaystyle{ KLMN}\) tak, że wierzchołki \(\displaystyle{ KLMN}\) tak, że wierzchołki \(\displaystyle{ K, L}\) należą do boku \(\displaystyle{ AB}\), natomiast \(\displaystyle{ M}\)należy do boku \(\displaystyle{ BC}\), \(\displaystyle{ N}\) należy do\(\displaystyle{ AC}\). Oblicz pole tego kwadratu.

Zadanie 43
Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ 5 + 5 ^{2} + 5 ^{3} + ... + 5 ^{1995} + 5 ^{1996}}\) jest podzielna przez 30.

Zadanie 44
Wyznacz wszystkie pary liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x, y}\) spełniających równanie \(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} + 9 = 3(x + y) + xy}\).

Zadanie 45
W trójkącie prostokątnym \(\displaystyle{ ABC}\), z wierzchołka kąta prostego poprowadzono wysokość \(\displaystyle{ CD}\), otrzymując trójkąty \(\displaystyle{ ADC}\) i \(\displaystyle{ DBC}\) o obwodach \(\displaystyle{ 2p}\) oraz \(\displaystyle{ 2q}\). Oblicz obwód trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\).

Zadanie 46
W trapezie kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(\displaystyle{ 30°}\) oraz \(\displaystyle{ 45°}\). Oblicz pole trapezu, jeżeli wiesz, że różnica kwadratów długości podstaw jest równa \(\displaystyle{ 1996cm ^{2}}\).

Zadanie 47
Dany jest kąt ostry o wierzchołku w punkcie \(\displaystyle{ O}\). Na jednym ramieniu kąta zaznaczono punkty: \(\displaystyle{ A _{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}}\) tak, że \(\displaystyle{ |OA_{1}| = |A _{1} A_{2}| = |A _{2}A _{3}| = |A_{3}A_{4}|}\), na drugim ramieniu zaznaczono punkty \(\displaystyle{ B_{1}, B_{2}, B_{3}}\) tak, że \(\displaystyle{ |OB_{1}|}\)\(\displaystyle{ = |B_{1}B_{2}| = |B_{2}B_{3}|}\). Oblicz pole czworokąta \(\displaystyle{ A _{2}A_{4}B_{3}B_{2}}\), jeżeli wiesz, że pole trójkąta \(\displaystyle{ OA_{1}B_{1}}\) jest równe \(\displaystyle{ 5}\).

Proszę o pomoc.
Z góry dziękuję.

[Sylwek]

Podchodzisz do tego ze złej strony. Jeśli te zadania sprawiają Ci problem - cóż, będę okrutny, będziesz miał ogromne problemy ze zrobieniem jakiegokolwiek zadania na teście. Powinieneś robić te zadania sam - jak się nie udaje, myśleć tyle czasu, aż zrobisz, choćby to było kilka godzin...

Np. 39.:
a) \(\displaystyle{ (x+1)^2-4x=x^2+2x+1-4x=(x-1)^2 \geqslant 0}\), co należało udowodnić.

b) zauważmy, że \(\displaystyle{ a \geqslant a^2 \geqslant a^{1997}}\) i \(\displaystyle{ b \geqslant b^2 \geqslant b^{1997}}\) oraz dla ustalenia uwagi przyjmijmy \(\displaystyle{ a \geqslant b}\), wówczas:
\(\displaystyle{ (a+b+1)^2=a^2+b^2+1+2a+2b+2ab \geqslant a^2+b^2+1+2a+2b+2bb=(a^2+2a+1)+(3b^2+2b) \geqslant\\ \geqslant (a^{1997}+2a^{1997}+a^{1997})+(3 b^{1997}+2b^{1997}) \geqslant 4a^{1997}+4b^{1997}=4(a^{1997}+b^{1997})}\)

[kuch2r]

np. 38
owszem istnieja takie liczby \(\displaystyle{ m,n,k\in\mathbb{N}}\), ktore spelniaja rownanie:
\(\displaystyle{ 2k+3m=4n}\)
Niech:
\(\displaystyle{ k=1,m=2,n=4}\)
dla 2 rownania rowniez istnieja \(\displaystyle{ m=7,n=6,k=2}\)

[Justka]

43.
\(\displaystyle{ 5+5^2+5^3+...+5^{1995}+5^{1996}=(1+5)(5+5^3+5^5+5^7+...+5^{1995})=6\cdot 5(1+5^2+5^4+...+5^{1994})=30\cdot (1+5^2+5^4+...+5^{1994})=30k}\). c.n.d


46.
Długość podstaw to \(\displaystyle{ a=x b=x+h(1+\sqrt{3})}\), gdzie h to wysokość trapezu (skorzystałam tu z podanych kątów). Zatem pole jest równe:
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}(a+b)h \iff P=\frac{1}{2}[x+x+h(1+\sqrt{3})]h}\).
Czyli:
\(\displaystyle{ (*)2P=2xh+h^2(1+\sqrt{3})}\)
Wykorzystując informacje o różnicy kwadratów długości podstaw mamy:
\(\displaystyle{ b^2-a^2=[x+h(1+\sqrt{3})]^2-x^2=1996\\
x^2+ 2xh(1+\sqrt{3})+h^2(1+\sqrt{3})^2-x^2=1996\\
(1+\sqrt{3})\underbrace{[2xh+h^2(1+\sqrt{3})]}_{(*)}=1996\\
(1+\sqrt{3})\cdot 2P=1996\\
2P=\frac{1996}{1+\sqrt{3}} \iff P=499(\sqrt{3}-1)}\).

[CiupaCiupaCiupa]

38.
\(\displaystyle{ 2k+3m=4n}\)
\(\displaystyle{ 3m=4n-2k}\)
\(\displaystyle{ m= \frac{2}{3}(2n-k)}\)

Wyciągnij z tego odpowiednie wnioski, zadanie 38b) analogicznie.

[ Dodano: 5 Maj 2008, 20:17 ]
Zad 41 próbuje rozgryźć, nie ma wątpliwości, że pole trójkąta ABC to \(\displaystyle{ 6r}\). Mi wychodzi, że \(\displaystyle{ r= \frac{20 \sqrt{3}}{9}}\) (pewniue źle). Może ktoś napisać czy to dobrze, czy źle, bo nie chce wprowadzać nikogo w błąd?

[BP]

Kolejna seria zadań z testu predyspozycji do XIV LO

Zadanie 48
Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ a, b, c}\) spełniających warunek \(\displaystyle{ abc = 1}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ ab + bc + ca + a + b + c \geqslant 6}\).

Zadanie 49
Dany jest trójkąt rozwartokątny \(\displaystyle{ ABC}\). Skonstruuj kwadrat o polu równym polu danego trójkąta.

Zadanie 50
W trójkącie prostokątnym \(\displaystyle{ ABC}\) wyznaczono punkt \(\displaystyle{ P}\) tak, że odcinki \(\displaystyle{ PA, PB, PC}\) rozcinają \(\displaystyle{ ABC}\) na trzy trójkąty o równych polach. Jak wyznaczyć konstrukcyjnie punkt \(\displaystyle{ P}\)? Oblicz odległość punkty \(\displaystyle{ P}\) od wierzchołka kąta prostego trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\), jeśli przeciwprostokątna ma długość \(\displaystyle{ 6}\).

Zadanie 51
Oblicz pole trapezu (równoramiennego), jeśli wiesz, że jego przekątna ma długość \(\displaystyle{ d}\) oraz, że ramię trapezu widać za środka okręgu opisanego na trapezie pod kątem \(\displaystyle{ 60°}\).

Z góry dziękuję za pomoc w rozwiązywaniu.

[*Kasia]

Ad 48
Skorzystaj z faktu, że \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+a\geqslant 2}\)