Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Jan Kraszewski
Administrator
Posty: 34487 Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 5220 razy
Post
autor: Jan Kraszewski » 22 maja 2023, o 22:14
kaminie318 pisze: ↑ 22 maja 2023, o 19:41 Kłóci się to z mianownikiem wyrażenia po lewej stronie ponieważ wtedy powinno w nim być
\(\displaystyle{ (s+1)!(n-s-1)!}\) .
Powinno być. Po prostu jest błąd.
JK
kaminie318
Użytkownik
Posty: 30 Rejestracja: 22 maja 2023, o 00:02
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Post
autor: kaminie318 » 23 maja 2023, o 02:25
Jeżeli wykonuję zadanie w ten sposób wychodzi ono źle, gdyż silnia z wyrażenia \(\displaystyle{ (n-s-1)!}\) nie jest klarowna i nie da się jej "uprościć" w fajny sposób. Czy Lewa strona nierówności z komentarza Janusza Tracza na pewno jest zła? Nie ma tu głębszej logiki? Według mnie po rozwinięciu wyrażenia powinien być tam minus ale skoro kilka osób obradowało nad tym zadaniem i nie zgłaszali błędów być może uproszczenie mianownika jest dobrze?
a4karo
Użytkownik
Posty: 22276 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3765 razy
Post
autor: a4karo » 23 maja 2023, o 05:04
Janusz Tracz popełnił błąd zapisując tezę indukcyjną - zdarza się.
Założenie indukcyjne:
\(\displaystyle{ \binom{n}{s}\le \left(\frac{en}{s}\right)^s}\)
Teza indukcyjna:
\(\displaystyle{ \binom{n}{s+1}\le \left(\frac{en}{s+1}\right)^{s+1}}\)
\(\displaystyle{ \binom{n}{s+1}=\frac{n!}{(s+1)!((n-s-1)!}=\frac{n!(n-s)}{s!(s+1)(n-s)!}=\binom{n}{s}\frac{n-s}{s+1}\le \left(\frac{en}{s}\right)^s\frac{n-s}{s+1}}\)
Do pokazania jest zatem nierówność
\(\displaystyle{ \left(\frac{en}{s}\right)^s\frac{n-s}{s+1}\le\left(\frac{en}{s+1}\right)^{s+1} }\)
A to jest równoważne nierówności
\(\displaystyle{ \left(\frac{s+1}{s}\right)^s\le e\frac{n}{n-s}}\) , która jest prawdziwa, bo \(\displaystyle{ \frac{n}{n-s}\ge 1}\)
kaminie318
Użytkownik
Posty: 30 Rejestracja: 22 maja 2023, o 00:02
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Post
autor: kaminie318 » 23 maja 2023, o 14:54
Nie rozumiem tego rozwinięcia
\(\displaystyle{ \frac{n!}{(s+1)!((n-s-1)!}=\frac{n!(n-s)}{s!(s+1)(n-s)!}}\)
a4karo
Użytkownik
Posty: 22276 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3765 razy
Post
autor: a4karo » 23 maja 2023, o 14:58
To rozpisz sobie na przykładzie `n=7,s=2`
kaminie318
Użytkownik
Posty: 30 Rejestracja: 22 maja 2023, o 00:02
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Post
autor: kaminie318 » 23 maja 2023, o 15:00
Ale skąd się w ogóle wziął ten licznik w wyrażeniu po prawej stronie?
a4karo
Użytkownik
Posty: 22276 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3765 razy
Post
autor: a4karo » 23 maja 2023, o 15:06
Rozpisz, to zobaczysz
kaminie318
Użytkownik
Posty: 30 Rejestracja: 22 maja 2023, o 00:02
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Post
autor: kaminie318 » 23 maja 2023, o 16:44
a4karo pisze: ↑ 23 maja 2023, o 15:06
Rozpisz, to zobaczysz
Rozpisałem i coś mi tu nie pasuje, na pewno wszystko jest okej w logice?
a4karo
Użytkownik
Posty: 22276 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3765 razy
Post
autor: a4karo » 23 maja 2023, o 17:04
Napisz tu i powiedz co ci nie pasuje
kaminie318
Użytkownik
Posty: 30 Rejestracja: 22 maja 2023, o 00:02
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Post
autor: kaminie318 » 23 maja 2023, o 19:06
a4karo pisze: ↑ 23 maja 2023, o 17:04
Napisz tu i powiedz co ci nie pasuje
Strony równania po podstawieniu są sobie sprzeczne
Jan Kraszewski
Administrator
Posty: 34487 Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 5220 razy
Post
autor: Jan Kraszewski » 23 maja 2023, o 19:10
kaminie318 pisze: ↑ 23 maja 2023, o 19:06
Strony równania po podstawieniu są sobie sprzeczne
Czyżby? Przecież
\(\displaystyle{ \frac{7!}{3!\cdot 4!}=\frac{7!\cdot 5}{2!\cdot 3\cdot 5!}.}\)
JK
kaminie318
Użytkownik
Posty: 30 Rejestracja: 22 maja 2023, o 00:02
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Post
autor: kaminie318 » 23 maja 2023, o 19:32
Faktycznie, liczyłem na szybko i się pomyliłem. Skąd wzięły się te rachunki? Wiem, że po podstawieniu L == P ale skąd to przekształcenie równania o które pytałem?
a4karo
Użytkownik
Posty: 22276 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3765 razy
Post
autor: a4karo » 23 maja 2023, o 20:05
No właśnie stąd.
\(\displaystyle{ \frac{(s+1)!}{s!}=???}\)
\(\displaystyle{ \frac{(n-s)!}{(n-s-1)!}=???}\)
kaminie318
Użytkownik
Posty: 30 Rejestracja: 22 maja 2023, o 00:02
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Post
autor: kaminie318 » 23 maja 2023, o 20:22
Chyba nie rozumiem skąd te wartości, skąd się to wszystko wzięło skoro rozwinięciem dwumianu Newtona jest:
\(\displaystyle{ \binom{n}{s+1}\ = \frac{n!}{(s+1)!(n-s-1)!}}\)
Ostatnio zmieniony 23 maja 2023, o 21:43 przez
Jan Kraszewski , łącznie zmieniany 1 raz.
a4karo
Użytkownik
Posty: 22276 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3765 razy
Post
autor: a4karo » 23 maja 2023, o 20:37
Weż do ręki olówek i cos policz. To pomaga. Bo na razie to tylko gadasz