VIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. Franciszka Lei

[Kamix___33]

dobra nie będe pisał głupot ...

[Sylwek]

Kamix___33, z tego że, przykładowo: \(\displaystyle{ 5 \geqslant 3}\) oraz \(\displaystyle{ 7 \geqslant 6}\) nie wynika, że \(\displaystyle{ 7-5 \geqslant 6-3}\), zatem masz źle

Co to znaczy, że równanie jest symetryczne?

Jak zamienisz miejscami dowolne dwie zmienne, np. za a podstawisz c, a za c podstawisz a, to otrzymasz równanie/nierówność równoważną wyjściowej.

[rafciop]

Mógłby ktoś rozwiązać zadanie 5 bo nie za bardzo zrozumiałem je i chyba źle je zrobiłem

[Sylwek]

Mógłby ktoś rozwiązać zadanie 5 bo nie za bardzo zrozumiałem je i chyba źle je zrobiłem

Rozważmy wszystkie możliwe przypadki: dla n parzystego i dla n nieparzystego:

a) \(\displaystyle{ n=2k}\):
\(\displaystyle{ \left[ \frac{2k+4}{2} \right] +6k-2 (-1)^{2k} =k+2+6k-2=7k \equiv 0 \ (mod 7)}\)

b) \(\displaystyle{ n=2k+1}\):
\(\displaystyle{ \left[ \frac{2k+1+4}{2} \right] +6k+3-2 (-1)^{2k+1} =k+2+6k+3+2=7k+7=7(k+1) \equiv 0 \ (mod 7)}\)

Co należało udowodnić

[GRZECH]

Sylwek, jejku, jak Ty to pięknie rozwiązałeś . Dokładnie tak samo jak ja .

[FlaQ]

Jak rozwiązaliście zadanie 4? Ja tak, bo nie wiedziałem czy podstawy są dane

\(\displaystyle{ AB = a \\
CD = c \\
h = h_{1} + h_{2} \\
p = \frac{1}{2} a h_{1} \\
r = \frac{1}{2} c h_{2} \\
h_{1} = \frac{2p}{a} \\
h_{2} = \frac{2r}{c} \\
h = \frac{2p}{a} + \frac{2r}{c} \\
Pole = \frac{1}{2} (a+c) (\frac{2p}{a} + \frac{2r}{c}) \\
Pole = p + \frac{pc}{a} + \frac{ra}{c} + r \\
Pole = p (1 + \frac{c}{a}) + r (1 + \frac{a}{c})}\)

[enigm32]

Podstawy nie są dane, więc to jest źle.

[ Dodano: 31 Marca 2008, 23:12 ]
Ja tego zadania nie rozwiązałem, poniewąż za późno wpadłem na prawidłowy sposób. Zdązyłem jedynie napisać, że trójkąty te dwa, których mamy pola są podobne w skali \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{p}{r}}}\) oraz, że pola tych dwóch pozostalych trójkątów są równe. I tak można było to za pomocą prawdopodobieństwa rozwiązać.
A najlepiej było tym, którzy znają własność, że iloczyny pól tych trójkątów "wierzchołkowych" są równe (i oczywiście, że pola tych pozostałych dwóch trójkątów również są równe), wtedy od razu mamy: \(\displaystyle{ pr=x^2 x=\sqrt{pr}\\ P_C=p+r+2\sqrt{pr}=(\sqrt{p}+\sqrt{r})^2}\),
x - pole trójkątów (odzielnie), których pól nieznamy (chodzi oczywiśćie o te, które powstały po przecięciu się przekątnych)

PS
Jak rozwiązywaliście 1. zadanie z poziomu I?

[Ades]

Mogłby ktoś przedstawić rozwiązania I stopnia poza drugim bo to akurat całe miałem dobrze

[Bastuś]

Czy ktoś się orientuje kiedy i gdzie dostępne będą wyniki?

Zadanie pierwsze poziom pierwszy się robiło chyba w oparciu o zależności między średnimi potęgowymi.

[enigm32]

Wyniki podadzą nauczyciele. działa to mneij więcej tak, że przewodniczący komisji powiatowych wysyłają wyniki z powiatów do przewodniczących komisji rejonowych, Ci zaś po konultacji razem z głównym komitetem ustalają próg i wysyłają informacje do szkół, kto się zakwalifikował,
W mojej szkole wyniki były we wtorek, a lista osób zakwalifikowanych dzisiaj.

[Ciri123]

Hej, czy mógłby mi ktoś napisać jak można zrobić zadanie 4 z poziomu II za pomocą podobieństwa... i jak stwierdzić, że pola tych trójkątów (tych dwóch, których pola nie są podane) są równe. Jeśli ktoś pomoże będę bardzo wdzięczna bo całą resztę zadan z obu poziomów pojmuję, tylko to jedno mi jakoś nie wychodzi

[enigm32]

Gdy robisz z podobieństwa, to nie potrzebujesz tej onformacji o równych polach, ona jest potrzebna do tego drugiego sposobu, o którym wpsomniałem. A te dwa trójkąty, których pola mamy są podbne, ponieważ maja takie ame kąty: dwa są wierchołkowe, a dwa naprzemianlehłe (podstawy trabezu są równoległe, a przekątne zaweirają sie w prostych przecinających obie podstawy)

[Ciri123]

To, że są podobne i dlaczego to akurat wiem. No i wiem, że wynika z tego, że \(\displaystyle{ \frac{p}{r}= \left|k\right| ^{2}}\) ( k- skala podobieństwa). Tylko jak z tego dojśc jakie jest pole całego trapezu...

No i jeszcze te pola równe do drugiego sposobu też mnie ciekawi skąd wydedukowałeś - takie coś może się po prostu przydać w przyszlości

[Flesiu]

Trapez ABCD ma wysokość h punkt przciecia przekatnych to S.
P tr ABC = P tr ABD (oba maja podstawe AB i wysokość h).
Teraz P tr ASC = P tr ABC - P tr ABS = P tr ABD - P tr ABS = P tr BSD
Podsumowując P tr ASC = P tr BSD.
Przepraszam za zapis...

[Bastuś]

Kiedy etap rejonowy?