[SuperMatematyk] Zadania konkursowe

[kalafior00000]

Więc ja mam prośbę, nie wiem jak obliczyc te zadania (podane wczesniej) CZy mógłby ktos umieścić rozwiązanie?

zad 1.
W pewnej rodzinie ojcie miał pięcioro dzieci, które rodziły się kolejno, co trzy lata. Był on wielkim miłośnikiem książek i każdemu dziecku od piąteko roku życia dawał na każde urodziny tyle książek, ile dane dziecko miało lat. W bieżącym roku po urodzinach całej piątki ich wspólna biblioteczka liczyła 325 książek. W jakim wieku są dzieci ?


zad3
Tzry zaprzyjaźnione małżeństwa udały się razem na zakupy do domu towarowego . Każda z 6 osób kupiła kilka przedmiotów, placąc za każdy przedmiot tyle złotych , ile przedmiotów kupiła. Każdy mąż wydał o 45 zł więcej od swojej żony. Pan Kasper wydał o 525zł więcej od pani Danki. Pan melchior więcej o 13 zł od Pani Anki. Imiona dwóch pozostałych osób to baltazar i Janka . Kto z kim był w związku małżeńskim, kto ile wydał i ile przedmiotów kupił ?

[pawelsuz]

zad 1
Wszystkie dzieci się już urodziły:d Rozważmy sytuację, w której najmłodsze dziecko (oznaczmy je V, a każde starsze kolejno IV, III itd..)) ma 5 lat, czyli dostało pierwsze 5 książek. Zatem dziecko IV dostało już 5+6+7+8=26 książek, dziecko III 5+6+...+11=56 książek, II 5+6+...+14=95 książek, dziecko I 5+6+...+17=143 książki. Dodając te liczby:
\(\displaystyle{ 5+26+56+95+143}\)
otrzymujemy sumę 325, czyli rozwiązanie to:
Wiek dzieci to odpowiednio 5,8,11,14,17 lat.

P.S. Czy w tym konkursie mogą brać udział licealiści? Jak się zglaszać, bo szczerze mówiąć nigdy o tym nie słyszałem:)


Zad 2
Oznaczmy:
\(\displaystyle{ x_{1} , x_{2} , x_{3}}\) jako trzy żony oraz odpowiednio \(\displaystyle{ y_{1} , y_{2} , y_{3}}\) jako ich mężów. Z treści zadania wynika, że kwoty przez nich wydane to \(\displaystyle{ x_{1}^{2} , x_{2}^{2} , x_{3}^{2},y_{1}^{2} , y_{2}^{2} , y_{3}^{2}}\). Każdy mąż wydał 45 zł więcej od swojej żony, czyli pary liczb \(\displaystyle{ (x_{1}^{2}; y_{1}^{2}), (x_{2}^{2}; y_{2}^{2}), (x_{3}^{2}; y_{3}^{2})}\) różnią się o 45. Poszukajmy takich par:
\(\displaystyle{ (4;49)}\) oraz \(\displaystyle{ (36;81)}\) nasuwają się od razu. Znajdźmy trzecią.
Wiadomo, że kwadraty liczb naturalnych tworzą ciąg, którego kolejne wyrazy różnią się o 3,5,7 itd. Zatem te różnice również tworzą ciąg (konkretnie arytmetyczny) o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ a_{n}=2n+1, n \in N}\). Zatem szukając pary kolejnych liczb naturalnych. których kwadraty różnią się o 45 rozwiązujemy równanie
\(\displaystyle{ 2n+1=45 \\
n=22}\).
Rzeczywiście liczby \(\displaystyle{ 22^{2}=484 \ i \ 23^{2}=529}\) różnią się o 45.
Sprawdźmy, czy proponowane przez nas trójki spełniają warunki zadania.
Pan Kasper wydał 525 zł więcej niż Pani Danka, więc Danka kupiła z 4zł, Kasper za 529. Pan Melchior 13 zł więcej od Pani Anki, więc Melchior wydał 49zł, Anka 36. Kasper wydał 525 zł więcej od swojej żony, więc jego drugą połową jest Janka, która wydała 484 zł. Małżeństwem są też Melchior (49 zł) i Danka (4zł). Ostatnia para to Baltazar (81zł) i Anka (36 zł).
Łatwo sprawdzamy, że nasze rozwiązania spełniają warunki zadania. Liczby kupionych przedmiotów to oczywiście pierwiastki z tych liczb.

P.S. Znalezione przez nas pary liczb są chyba jedynymi spełniającymi warunki w liczbach naturalnych

[kalafior00000]

dziękuje bardzo, chociaż nie wiem jak na to wpadłeś i zastanawiam się czy w pierwszym zadaniu mozna tak sobie po prostu założyć, ze najmłodsze dziecko ma 5 lat, rozumiem, ze to jest dobra odowiedź, ale nasuwa się pytanie dlaczego akurat takie załozenia?

P.S. to jest konkurs dla licealistów, a dokładniej dla pierwszych i drugich klas, ale wydaje mi się, ze organizowny tylko na terenie Wielkopolski...

[pawelsuz]

Przyjąłem taki wiek, żeby mieć jakiś punkt odniesienia. Gdyby otrzymana suma była np za mała, to trzeba by było przemyśleć ile brakuje i za ile lat się to wyrówna (na w następnym roku do ich wspólnej biblioteki przybyłoby 6+9+12+15+18=60 książek:)

Jak można się zgłaszać do tego konkursu?

[kalafior00000]

teraz to juz za późno, zeby startowac w tym roku... wydaje mi sie ze nauczyciel musi wyjsc z inicjatywa, pewnie musiałbys zagadac...

[pawelsuz]

Ok, dzięki:) W tym roku to już na wszystko za późno, więc nawet nie robiłem sobie nadzieji:P

[ulajola]

Pawel waży póltora razy więcej niz Ariel, który waży dwa razy więcej niz mała Julia.Wszyscy troje ważą razem 60 kg. Ile waży mała Julia?-- 16 lut 2009, o 10:19 --Który z wielokątów ma 14 przekątnych ?

[pawelsuz]

Julia-x
Ariel-2x
Paweł-3x
\(\displaystyle{ x+2x+3x=60 \\
x=10}\)

Wzór na ilość przekątnych n-kąta:
\(\displaystyle{ \frac{n(n-3)}{2} \\
n(n-3)=28 \\
n=7}\)