Matematyka.pl

azanus111 pisze: 2 sty 2026, o 20:23 jak najbardziej ma sens bo jest zdaniem logicznym , co najwyżej możesz go ocenić w kategorii fałszu lub prawdy...

Żeby to było zdanie logiczne trzeba by najpierw znać definicję np. "wielkiej liczby współrzędnych wymiernych punktu \(\displaystyle{ P'}\)".

Prawdopodobnie chodziło Ci o pomnożenie współrzędnych punktu \(\displaystyle{ P'}\) przez dostatecznie dużą liczbę naturalną, no ale jak coś piszesz, to wypadałoby, żeby czytający nie musieli się domyślać, co masz na myśli.

JK

wersja słabsza: punkt może być i na boku np. \(\displaystyle{ (0, \frac{3}{4} )}\).

rozwiązania x, y są typu:

tj. \(\displaystyle{ a^2+d^2=b^2+c^2}\) i co dalej ?

Pomnożenie współrzędnych WSZYSTKICH punktów przez ustaloną liczbę \(\displaystyle{ k}\) to przekształcenie zwane jednokładnością. Pewnie słyszałeś o tym w szkole. To przekształcenie "mnoży" odległość między dwoma punktami przez \(\displaystyle{ k}\) i pewnie ten fakt miałeś na myśli mówiąc, że wszystkie odległości i współrzędne można zrobić całkowitymi.

Miałbyś rację, ale całkowitymi staną się odległości między punktami \(\displaystyle{ kP}\) i \(\displaystyle{ kA}\) a nie punktami \(\displaystyle{ kP}\) i \(\displaystyle{ A}\). A o tę drugą odległość chodzi w zadaniu

po pomnożeniu przez odpowiednio wielką liczbę współrzędnych wymiernych punktu

szyk jest sztuczny i i może sugerować, że „współrzędne wymierne punktu” są dopełnieniem dalszym, a nie bezpośrednim przedmiotem czynności „pomnożenia”.

w drugiej tj "

po pomnożeniu współrzędnych wymiernych punktu przez odpowiednio wielką liczbę

" klarownie wynika, co jest mnożone (współrzędne) i przez co (liczbę).

Niemniej z kontekstu wynika jasno o co autorowi chodziło....
tj mamy punkty na płaszczyżnie tj. współrzedne sa tylko dwie.

Jaki jest więc dowód dla punktów kratowych ?

a4karo pisze: 3 sty 2026, o 06:55 Pomnożenie współrzędnych WSZYSTKICH punktów przez ustaloną liczbę \(\displaystyle{ k}\) to przekształcenie zwane jednokładnością. Pewnie słyszałeś o tym w szkole.

To zależy. Obecnie w szkole nie ma już jednokładności.

JK

Gdybyśmy ograniczyli myślenie do prostej \(\displaystyle{ y=0}\) i wybrali na niej punkt wymierny \(\displaystyle{ x=\frac{a}{b}}\) dla \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{N}}\) to wymierne odległości już mamy do \(\displaystyle{ (0,0)}\) i \(\displaystyle{ (0,1)}\). Jeśli założymy, że od \(\displaystyle{ (0,1)}\) do \(\displaystyle{ (\frac{a}{b}, 0)}\) jest długość wymierna \(\displaystyle{ \frac{x_{1}}{x_{2}}}\) dla \(\displaystyle{ x_{1},x_{2} \in \mathbb{N}}\) i podobnie od \(\displaystyle{ (1,1)}\) do \(\displaystyle{ (\frac{a}{b}, 0) }\) jest \(\displaystyle{ \frac{y_{1}}{y_{2}}}\) dla \(\displaystyle{ y_{1},y_{2} \in \mathbb{N}}\), to z pitagorasa jest:
\[
\begin{cases}
\frac{x_{1}^{2}}{x_{2}^{2}}=1+\frac{a^{2}}{b^{2}} \\
\frac{y_{1}^{2}}{y_{2}^{2}}=1+\left(\frac{a}{b}-1\right)^{2}
\end{cases}
\]

Czyli:

\[
\begin{cases}
\frac{x_{1}^{2}}{x_{2}^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{b^{2}} \\
\frac{y_{1}^{2}}{y_{2}^{2}}=\frac{\left(a-b\right)^{2}+b^{2}}{b^{2}}
\end{cases}
\]

Interpretuję to tak, że liczby \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}}\) i \(\displaystyle{ \left(a-b\right)^{2}+b^{2}}\) muszą być kwadratami, czyli istniałyby liczby naturalne \(\displaystyle{ a, b}\), o takiej właściwości, że tworzą one trójkę pitagorejską, oraz \(\displaystyle{ (a-b), b}\) też:

\[
\begin{cases}
a^2 + b^2 &= x_{1}^{2} \\
(a-b)^2 + b^2 &= y_{1}^{2}
\end{cases}
\]

Przeszukałem swoimi metodami liczby i nie znalazłem takiej pary. Daje to mocną sugestię co do sprzeczności tego układu wyżej, co pozostaje do wykazania.

Być może to nie jest trudne: na początek: choć jedna z liczb \(\displaystyle{ a, b}\) jest parzysta...