Pierwiastek zespolony jak robić

[a4karo]

No cóż, wypada życzyć Ci powodzenia w świecie, w którym każda liczba jest całkowita, a każdy kąt prosty.

[Dasio11]

To rzeczywiście ma sens, ale tylko w świecie licealnym

Nie zgadzam się, dążenie do prostoty opisu bytów matematycznych ma sens w całej matematyce - od szkoły podstawowej aż po sam front badań naukowych.

O jakiej logice mówisz

Cytuję:

[Odpowiedź jest sensowna,] bo po pierwsze jest poprawna, a po drugie nie wymaga liczenia

Otóż odpowiedź z pierwiastkiem jest poprawna i tym bardziej nie wymaga liczenia, a zatem konsekwentnie i ją powinieneś uznać za sensowną.

student podający odpowiedź w postaci, którą ja sugeruję, pokazuje, że rozumie takie pojęcia jak argument liczby zespolonej i wie jaka jest geometryczna interpretacja podnoszenia do potęgi w dziedzinie zespolonej.

Nie, nie pokazuje - Twoja postać kojarzy się raczej z metodą mechanicznego podstawiania danych do wzoru bez jakiejkolwiek refleksji.

Moja teza brzmi: w tego typu zadaniach należy zawsze podawać wynik w możliwie prostej postaci.

A ja bym ją sformułował inaczej: jeżeli podejrzewasz, że rozwiązanie ma prostszą postać i uważasz, że warto poświęcić czas na jej znalezienie, zrób to.

Bardzo ciekawe - czyli jeśli w zadaniu "Oblicz pole pod wykresem funkcji \(\displaystyle{ x^2}\) w przedziale \(\displaystyle{ [1, 2]}\)" student odpowie: \(\displaystyle{ \int_1^2 x^2 \, \dd x}\) i zadeklaruje, że jego zdaniem wyniku nie da się uprościć, to - zgodnie z Twoją tezą - zasłuży na maksimum punktów?

Moja wersja jest taka: wynik należy podawać w możliwie najbardziej użytecznej postaci.

Takie podejście ma sens, gdy zadanie (tu: znajdywanie pierwiastka liczby zespolonej) jest jednym z ogniw trudniejszego problemu i od postaci wyniku zależy powodzenie kolejnych kroków. Ale gdy zadanie polega wyłącznie na obliczeniu pierwiastka, to o żadnej użyteczności nie może być mowy i oczywiste jest, że powinno się dążyć do postaci możliwie najprostszej.

[Niepokonana]

Dzięki za obronę, ale taka dyskusja nie bardzo ma sens. Imo najlepiej wywalić tę niemerytoryczną część do kosza.

[a4karo]

Moja teza brzmi: w tego typu zadaniach należy zawsze podawać wynik w możliwie prostej postaci.

A ja bym ją sformułował inaczej: jeżeli podejrzewasz, że rozwiązanie ma prostszą postać i uważasz, że warto poświęcić czas na jej znalezienie, zrób to.

Bardzo ciekawe - czyli jeśli w zadaniu "Oblicz pole pod wykresem funkcji \(\displaystyle{ x^2}\) w przedziale \(\displaystyle{ [1, 2]}\)" student odpowie: \(\displaystyle{ \int_1^2 x^2 \, \dd x}\) i zadeklaruje, że jego zdaniem wyniku nie da się uprościć, to - zgodnie z Twoją tezą - zasłuży na maksimum punktów?

Gdybym wiedział, że już było przerabiane obliczanie całek, to zdecydowanie zadanie nie jest dokończone, ale twój argument nie jest celny, bo wzór, który podałem jest końcowym rozwiązaniem

Natomiast fakt, że odrzucasz poprawne rozwiązanie tylko dlatego, że inną metoda można uzyskać prostszy wynik mocno mnie dziwi.

Zgodnie z tym, gdyby zadanie brzmiało "oblicz argument pierwiastka z `3-4i`" to wynik \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}\arctan \frac{4}{3} }\)uznałbyś za zły, a wynik \(\displaystyle{ -\arctan \frac{1}{2}}\) byłby poprawny?

Dodano po 15 minutach 8 sekundach:

student podający odpowiedź w postaci, którą ja sugeruję, pokazuje, że rozumie takie pojęcia jak argument liczby zespolonej i wie jaka jest geometryczna interpretacja podnoszenia do potęgi w dziedzinie zespolonej.

Nie, nie pokazuje - Twoja postać kojarzy się raczej z metodą mechanicznego podstawiania danych do wzoru bez jakiejkolwiek refleksji.

Czyżbyś też nie był w stanie zrozumieć tego wzoru??
To oczywiście żart, ale to stwierdzenie odbieram tak: drogi studencie, wzór Eulera co prawda istnieje, ale dla `n=2` idź inną drogą, bo być może uzyskany wynik będzie ładniej wyglądał.
Dla `n=3` też da się zastosować taką metodę - w końcu wzory na pierwiastki równania trzeciego stopnia są znane. I jakoś się tej metody nie używa.

[Dasio11]

twój argument nie jest celny, bo wzór, który podałem jest końcowym rozwiązaniem

Jest celny, tylko chyba go nie rozumiesz. Zasugerowałeś że to, czy wynik jest w akceptowalnej postaci, zależy od tego, co na jego temat podejrzewa rozwiązujący. Ja na to, że w takim razie każdy kto podając poprawny wynik zadeklaruje, że nie uważa by dało się go uprościć, zasługuje na maksymalną ocenę - nawet jeśli wynikiem jest napis \(\displaystyle{ \int_1^2 x^2 \, \dd x}\). I nie ma na to wpływu Twój wcześniejszy wzór.

A nawet gdyby miał, to ciekawi mnie - czym takim właściwie różnią się napisy

\(\displaystyle{ \sqrt{5} \left( \cos \left( -\frac{1}{2} \arctg \frac{4}{3} \right) + i \sin \left( -\frac{1}{2} \arctg \frac{4}{3} \right) \right)\quad}\) i \(\displaystyle{ \quad\int_1^2 x^2 \, \dd x}\),

że jeden z nich uznajesz za "końcowe rozwiązanie", a drugiego nie?

Natomiast fakt, że odrzucasz poprawne rozwiązanie tylko dlatego, że inną metoda można uzyskać prostszy wynik mocno mnie dziwi.

Twoją metodą też można uzyskać ten wynik, tylko tejże metody nie zechciałeś doprowadzić do końca.

Powtórzę: jeśli wynik da się istotnie uprościć, należy to uczynić, szczególnie w zadaniach czysto obliczeniowych. O ile nie zawsze da się stwierdzić który wynik jest prostszy, o tyle porównanie Twojego wzoru z \(\displaystyle{ 2-i}\) wypada jednak dość jednoznacznie.

Zgodnie z tym, gdyby zadanie brzmiało "oblicz argument pierwiastka z `3-4i`" to wynik \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}\arctan \frac{4}{3} }\)uznałbyś za zły, a wynik \(\displaystyle{ -\arctan \frac{1}{2}}\) byłby poprawny?

To znaczy: zgodnie z czym? Mnie te wyniki wydają się porównywalne, czego oczywiście nie można powiedzieć o dyskutowanych dotychczas.

Nie, nie pokazuje - Twoja postać kojarzy się raczej z metodą mechanicznego podstawiania danych do wzoru bez jakiejkolwiek refleksji.

[...]
to stwierdzenie odbieram tak: drogi studencie, wzór Eulera co prawda istnieje, ale dla `n=2` idź inną drogą, bo być może uzyskany wynik będzie ładniej wyglądał.
Dla `n=3` też da się zastosować taką metodę - w końcu wzory na pierwiastki równania trzeciego stopnia są znane. I jakoś się tej metody nie używa.

Należy wybrać jakąkolwiek metodę, która daje możliwie najprostszy wynik. Jeśli najprostszą postać daje wzór Eulera, to można skorzystać ze wzoru Eulera, a jeśli daje ją układ równań, to można rozwiązać układ równań. Ile razy mam to jeszcze powtórzyć?