Generalny plan działania (choć nie twierdzę, że jedyny)* podczas dowodu istnienia nieskończenie wielu liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ a+bn}\) (oczywiście \(\displaystyle{ \nwd(a,b)=1}\)) zakłada dokładnie to w pierwszym kroku (więc to trochę pusta sugestia ze strony c-rasz). Zasadnicza część pracy jest później. Mianowicie, procedura wygląda tak, że działając pod założeniem nie wprost czyli właśnie założeniem skończoności liczb pierwszych danej postaci to jest takich, że \(\displaystyle{ \equiv a \text{ mod }b}\) (nazwijmy je \(\displaystyle{ p_i}\), a ich iloczyn \(\displaystyle{ \Pi}\)), szukamy wielomianu \(\displaystyle{ w\in \ZZ[X]}\), który pozwoli przepchnąć implikację:Hir pisze: 27 maja 2024, o 21:06 Tak jak sugerował wyżej c-rasz, można skopiować starożytny dowód, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.
\(\displaystyle{ p_i \not\mid w(\Pi) \quad\& \quad w(\Pi) \equiv 0 \text{ mod }p \quad \Longrightarrow \quad p \equiv a \text{ mod }b, }\)
dla jakiejś liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) z rozkładu \(\displaystyle{ w(\Pi)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ p \neq p_i}\) dla każdego \(\displaystyle{ i}\) to dostaniemy sprzeczność polegającą na tym, że implikowany warunek to jest \(\displaystyle{ p \equiv a \text{ mod }b}\) mówi dokładnie coś innego. To znaczy stwierdza on, że \(\displaystyle{ p}\) jest odpowiedniej postaci więc powinno być jednym z \(\displaystyle{ p_i}\).
Można też myśleć o dwóch parametrach w takiej procedurze. Nie tylko szukamy wielomianu, a jeszcze zakładamy, że może uda się dobrać \(\displaystyle{ \alpha\in \ZZ}\) tak aby:
\(\displaystyle{ p_i \not\mid w( \alpha \Pi) \quad\& \quad w( \alpha \Pi) \equiv 0 \text{ mod }p \quad \Longrightarrow \quad p \equiv a \text{ mod }b. }\)
To jednak ze względu na dowolność wielomiany raczej tylko pewna konwencja aniżeli polepszenie metody. Zasadnicza trudność polega na tym aby określić wielomian \(\displaystyle{ w}\) i potencjalnie stałą \(\displaystyle{ \alpha }\). Tak jak tu:
Jest stała \(\displaystyle{ \alpha =3}\) oraz wielomian \(\displaystyle{ w(x)=x^2+x+1}\). A potem aby pokazać, że \(\displaystyle{ p \equiv a \text{ mod }b}\). U nas to będzie \(\displaystyle{ p \equiv 1 \text{ mod }3}\).Hir pisze: 27 maja 2024, o 21:06 \(\displaystyle{ x = 3p_1p_2\cdot\ldots\cdotp p_n}\) i \(\displaystyle{ t = x^2+x+1}\).
Inny wybór wielomianu \(\displaystyle{ w}\) nie oznacza, że nie trafiliśmy. Ważna jest jedynie implikacja. Inny wybór \(\displaystyle{ w}\) może wpłynąć na trudność w pokazaniu implikacji. Mianowicie, niech nowe \(\displaystyle{ w}\) to będzie \(\displaystyle{ 4x^2+3}\). Nich \(\displaystyle{ p_i}\)(\(\displaystyle{ i=1,\dots,n}\)) to wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ \equiv 1 \text{ mod }3}\). Wykażmy, że nie dzielą one \(\displaystyle{ w(\Pi)}\). Załóżmy nie wprost, że jednak jest inaczej; to znaczy \(\displaystyle{ p_i|(4\Pi^2+3)}\) oraz rzecz jasna \(\displaystyle{ p_i|4\Pi^2}\) jako, że \(\displaystyle{ p_i|\Pi}\). Zatem \(\displaystyle{ p_i|(4\Pi^2+3-4\Pi^2)}\) czyli \(\displaystyle{ p_i|3}\). Zatem \(\displaystyle{ p_i=1}\) lub \(\displaystyle{ 3}\) (coś jest sprzecznością). Wykazaliśmy więc, że \(\displaystyle{ p_i \not\mid w(\Pi)}\) pora wykazać implikację. Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie takie, że \(\displaystyle{ p|w(\Pi)}\). Oznacza to, że \(\displaystyle{ w(\Pi) \equiv 0 \text{ mod } p}\), a to po rozpisaniu \(\displaystyle{ w}\) z definicji oznacza, że \(\displaystyle{ (2\Pi)^2+3 \equiv 0 \text{ mod } p}\) lub równoważnie \(\displaystyle{ (2\Pi)^2 \equiv -3 \text{ mod } p}\). A to oznacza dalej, że \(\displaystyle{ -3}\) jest resztą kwadratową \(\displaystyle{ \text{ mod } p}\) wszak \(\displaystyle{ 2\Pi}\) jest na to świadkiem. Z definicji symbolu Legendre'a możemy zapisać, że
\(\displaystyle{ \left( \frac{-3}{p} \right) = 1.}\)
Tak się jednak szczęśliwe składa, że powyższa równość jest równoważna stwierdzeniu, że \(\displaystyle{ p \equiv 1 \text{ mod } 3 }\). Sprzeczność kończ dowód, \(\displaystyle{ p}\) nie było żadnym \(\displaystyle{ p_i}\) które to stawiły całkowity opis liczb pierwszych tej postaci.
PS * Ten dowód można też przeprowadzić za pomocą dobrania odpowiednich charakterów dla \(\displaystyle{ L}\)-funkcji Dirichleta (\(\displaystyle{ \chi(n)=1}\), gdy \(\displaystyle{ 3|(n-1)}\), \(\displaystyle{ \chi(n)=-1}\), gdy \(\displaystyle{ 3|(n+1)}\) i zero w przeciwnym razie oraz charakteru głównego nie znam polskiej nazyway na principal character; \(\displaystyle{ \chi_0=1}\), gdy \(\displaystyle{ 3|n}\) oraz zero w przeciwnym razie). Wtedy dostaniemy dodatkowo, że \(\displaystyle{ \sum_{p \equiv 1 \text{ mod }3 }^{} = \infty }\).
