Matematyka.pl

Nie studiuję, uczę się sam dla siebie, mając jedynie skrypt. Czasami dla Was bardzo oczywiste fakty nie są dla mnie oczywiste, przepraszam.
Spróbuję w ten sposób:

\(\displaystyle{ \{x\in X:f(x)=g(x)\}=\{x\in X:f(x)-g(x)=0\}=\{x\in X:(f-g)(x)=0\}=(f-g)^{-1}[\{0\}]}\)

\(\displaystyle{ \{0\}}\) jest domknięty, \(\displaystyle{ f-g}\) jest ciągła. Przeciwobraz zbioru domkniętego jest domknięty, stąd zbiór \(\displaystyle{ \{x\in X:f(x)=g(x)\}}\) jest domknięty.

Dziękuję za Waszą pomoc!

Dodano po 2 dniach 17 minutach 26 sekundach:
Gdy wróciłem do tego zadania zrozumiałem, że nie potrafię formalnie pokazać:
\(\displaystyle{ [Y\subset X\,\,\wedge\,\,\forall y\in Y\,(f(y)=g(y))]}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow \{y\in Y:f(y)=g(y)\}\subset \{x\in X:f(x)=g(x)\}}\)

No bo naturalnie, jeśli to zachodzi dla każdego \(\displaystyle{ y\in Y}\) a, że \(\displaystyle{ Y\subset X}\) to zachodzi też dla każdego \(\displaystyle{ y\in X}\).
Czy mógłbym prosić o pełny dowód formalny tej inkluzji, a ja spróbuję go przestudiować. Dziękuję i pozdrawiam!

mikrocypek pisze: ↑14 lut 2024, o 14:04 No bo naturalnie, jeśli to zachodzi dla każdego \(\displaystyle{ y\in Y}\) a, że \(\displaystyle{ Y\subset X}\) to zachodzi też dla każdego \(\displaystyle{ y\in X}\).

To już jest pełny dowód. Pisanie zbioru \(\displaystyle{ \{y\in Y:f(y)=g(y)\}}\) jest niepotrzebną komplikacją (tak jak pisanie \(\displaystyle{ \RR=\left\{ x:x\in \RR\right\} }\)). Wystarczy \(\displaystyle{ Y}\) (to ten sam zbiór). A \(\displaystyle{ Y \subseteq \{x\in X:f(x)=g(x)\}}\) bo dla każdego \(\displaystyle{ y\in Y}\) wprost z założenia zachodzi \(\displaystyle{ f(y)=g(y)}\) czyli jest spełniony warunek przynależęństwa do \(\displaystyle{ \{x\in X:f(x)=g(x)\}}\) (oczywiście \(\displaystyle{ y\in X}\) ale tego nie trzeba jakoś bardzo podkreślać; bo gdzież by indziej \(\displaystyle{ y}\) miał być jak nie w całej przestzreni).