Matematyka.pl

Jeśli chcesz podnosić swoje umiejętności w rozwiązywaniu zadań to musisz wkładać nieco więcej wysiłku w pracy nad nimi...

Najprościej jest rozwinąć sinusa w szereg i wtedy od razu widać co jak i dlaczego, ale domyślam się, że jak pochodne nie to szereg tym bardziej.
Jak dla mnie te dowody są troszkę chaotyczne, ale to dlatego, że są to dowody geometryczne bez rysunku.
A tak właściwie to po co to liczysz, w sensie w liceum pani w szkole kazała?

\(\displaystyle{ x - x^3 < \sin(x) < x, \ \ x>0.}\)

Dowód

Niech \(\displaystyle{ \phi(x) = x - x^3, \ \ \psi(x) = \sin(x), \ \ \eta(x) = x.}\)

Mamy \(\displaystyle{ \phi(0) = \psi(0) = \eta(0) = 0, }\)

\(\displaystyle{ \phi'(x) = 1 - 3x^2, }\)

\(\displaystyle{ \psi'(x) = \cos(x), }\)

\(\displaystyle{ \eta'(x) = 1. }\)

Zachodzą nierówności:

\(\displaystyle{ \phi'(x)< \psi'(x) < \eta'(x) }\)

\(\displaystyle{ 1 - 3x^2 < \cos(x) < 1,}\)

dla

\(\displaystyle{ x>0 }\) i \(\displaystyle{ x\neq 2k\pi, \ \ k = 1,2,...,}\)

oraz

dla \(\displaystyle{ x = 2k\pi }\)

\(\displaystyle{ 2k\pi - 8k^3\pi^3 <1 < 2k\pi, \ \ k=1,2,..., }\)

\(\displaystyle{ 2k\pi\left( 1 - 4k^2\pi^2\right) < 1 < 2k\pi,}\)

to jest

\(\displaystyle{ \phi(2k\pi) < \psi(2k\pi) < \eta(2k\pi), \ \ k=1,2,...}\)

\(\displaystyle{ \Box }\)

Dodano po 24 minutach 3 sekundach:
Uwaga.
Do pełności dowodu tych nierówności brakuje powołania się na lemat:

Jeśli funkcje \(\displaystyle{ \phi(x), \psi(x) }\) są przynajmniej \(\displaystyle{ n }\) krotnie różniczkowalne i \(\displaystyle{ \phi^{(k)}(x_{0}) = \psi^{(k)}(x_{0}) }\) dla \(\displaystyle{ k = 0,1,2,...,(n-1) }\) i \(\displaystyle{ \phi^{(n)}(x) > \psi^{(n)}(x) }\) dla \(\displaystyle{ x> x_{0}, }\) to prawdziwa jest nierówność:
\(\displaystyle{ \phi(x) > \psi(x), }\) dla \(\displaystyle{ x>x_{0}.}\)

Dowód wynika z twierdzenia Lagrange'a.

janusz47 pisze: ↑23 wrz 2023, o 20:41 \(\displaystyle{ x - x^3 < \sin(x) < x, \ \ x>0.}\)

Dowód

Niech \(\displaystyle{ \phi(x) = x - x^3, \ \ \psi(x) = \sin(x), \ \ \eta(x) = x.}\)

Mamy \(\displaystyle{ \phi(0) = \psi(0) = \eta(0) = 0, }\)

\(\displaystyle{ \phi'(x) = 1 - 3x^2, }\)

\(\displaystyle{ \psi'(x) = \cos(x), }\)

\(\displaystyle{ \eta'(x) = 1. }\)

Zachodzą nierówności:

\(\displaystyle{ \phi'(x)< \psi'(x) < \eta'(x) }\)

\(\displaystyle{ 1 - 3x^2 < \cos(x) < 1,}\)

Tej nierówności bez uzasadnienia nikt nie kupi

Nie musi kupować.

Ale Ty, proponując taka drogę dowodu, powinieneś to uzasadnić. W przeciwnym razie po co dowodzić, skoro można powiedzieć, że tak po prostu jest?

Autor nie musi rozumieć lol co z tego, że to dla niego liczymy.
Ja z pochodnymi miałam prostszy pomysł, ale myślałam, że za długi, ale skoro Janusz dowalił to czemu by nie.
Oczywiście rozważam wszystko w przedziale \(\displaystyle{ (0,1]}\), no bo bądźmy szczerzy za jedynką widać na oko. W jedynce prawa strona jest jedynką, lewa zerem, a sinus jest gdzieś po środku i ten trend się potem pogłębia (no widać że za jedynką \(\displaystyle{ x-x^{3}}\) jest funkcją ściśle malejącą ujemną).

Wszystkie trzy funkcje (tak wiem, nieformalnie, ale wiadomo o co chodzi) mają w zerze tę samą wartość.\(\displaystyle{ x}\) ma pochodną stale równą \(\displaystyle{ 1}\), a \(\displaystyle{ \sin x}\) ma pochodną \(\displaystyle{ \cos x}\), gdzie \(\displaystyle{ \cos x}\) jest prawie wszędzie mniejszy od \(\displaystyle{ 1}\). \(\displaystyle{ x}\) ma większą pochodną, \(\displaystyle{ x}\) rośnie szybciej, "startują" w tym samym miejscu, \(\displaystyle{ x}\) jest większy od \(\displaystyle{ \sin x}\).

Teraz lewa strona i środek. \(\displaystyle{ x-x^{3}}\) ma pochodną \(\displaystyle{ 1-3x^{2}}\). W zerze pochodne mają tę samą wartość, obie są funkcjami wszędzie ciągłymi, a \(\displaystyle{ 1-3x^{2}}\) maleje do zera szybciej niż \(\displaystyle{ \cos x}\), obie są od zera do jedynki ściśle malejące. A że żadna z nich nie ma żadnych dziwnych punktów siodłowych ani nic takiego, to okazuje się, że \(\displaystyle{ 1-3x^{2}}\) od zera do jeden jest prawie wszędzie mniejsze od \(\displaystyle{ \cos x}\), czyli \(\displaystyle{ x-x^{3}}\) ma mniejszą pochodną, wolniej rośnie od sinusa.
Chaotycznie i mało formalnie ale mam nadzieję, że zrozumiale. Idea jest taka, że funkcja z największą pochodną będzie w tym szczególnym przypadku największa, co oczywiście nie zawsze zachodzi.
Jak coś to poprawię rano.

Dodano po 2 minutach 50 sekundach:
Ta nierówność co janusz47 napisał przechodzi, bo są to pochodne ciągłe i monotoniczne, gdyby przypadkiem któraś z nich była nieciągła to by nie przeszło.

Niepokonana pisze: ↑24 wrz 2023, o 03:13 Autor nie musi rozumieć lol co z tego, że to dla niego liczymy.
Ja z pochodnymi miałam prostszy pomysł, ale myślałam, że za długi, ale skoro Janusz dowalił to czemu by nie.

Janusz nie dowalił, tylko zamachał rękami nad najistotniejszą częścią dowodu.

Oczywiście rozważam wszystko w przedziale \(\displaystyle{ (0,1]}\), no bo bądźmy szczerzy za jedynką widać na oko. W jedynce prawa strona jest jedynką, lewa zerem, a sinus jest gdzieś po środku i ten trend się potem pogłębia (no widać że za jedynką \(\displaystyle{ x-x^{3}}\) jest funkcją ściśle malejącą ujemną).

Na oko można umrzeć w szpitalu. W matematyce rzeczy się dowodzi

Wszystkie trzy funkcje (tak wiem, nieformalnie, ale wiadomo o co chodzi) mają w zerze tę samą wartość.\(\displaystyle{ x}\) ma pochodną stale równą \(\displaystyle{ 1}\), a \(\displaystyle{ \sin x}\) ma pochodną \(\displaystyle{ \cos x}\), gdzie \(\displaystyle{ \cos x}\) jest prawie wszędzie mniejszy od \(\displaystyle{ 1}\). \(\displaystyle{ x}\) ma większą pochodną, \(\displaystyle{ x}\) rośnie szybciej, "startują" w tym samym miejscu, \(\displaystyle{ x}\) jest większy od \(\displaystyle{ \sin x}\).

Sztuczna inteligencja by tak mogła napisać. Słyszałaś termin "prawie wszędzie", więc użyłaś. Niby poprawnie, ale dość bez sensu.

Teraz lewa strona i środek. \(\displaystyle{ x-x^{3}}\) ma pochodną \(\displaystyle{ 1-3x^{2}}\). W zerze pochodne mają tę samą wartość, obie są funkcjami wszędzie ciągłymi, a \(\displaystyle{ 1-3x^{2}}\) maleje do zera szybciej niż \(\displaystyle{ \cos x}\),

A niby dlaczego maleje szybciej? Skąd to wiesz? Robisz dokładnie to, co Janusz.

Czy to samo powiesz o funkcji `1-x^2`? A o funkcji `1-x^2/2`? A o funkcji `1-x^2/3`? Bo te dwie pierwsze rzeczywiście maleją szybciej, ale ta trzecia już nie.

obie są od zera do jedynki ściśle malejące. A że żadna z nich nie ma żadnych dziwnych punktów siodłowych ani nic takiego,

I znów AI. Punkt siodłowy to rzeczywiście termin matematyczny. Ale w przypadku funkcji jednej zmiennej nic nie znaczy.

I nie zgodzę się, że żadna z tych funkcji nie ma nic takiego, bo każda z mich ma coś takiego jednak.

to okazuje się, że \(\displaystyle{ 1-3x^{2}}\) od zera do jeden jest prawie wszędzie mniejsze od \(\displaystyle{ \cos x}\), czyli \(\displaystyle{ x-x^{3}}\) ma mniejszą pochodną, wolniej rośnie od sinusa.
Chaotycznie i mało formalnie ale mam nadzieję, że zrozumiale. Idea jest taka, że funkcja z największą pochodną będzie w tym szczególnym przypadku największa, co oczywiście nie zawsze zachodzi.

Czekaj, czekaj. Albo zachodzi i wtedy korzystasz, albo nie zachodzi i wtedy nie możesz skorzystać

Dodano po 4 minutach 56 sekundach:
@janusz47

janusz47 pisze: ↑23 wrz 2023, o 20:41
Uwaga.
Do pełności dowodu tych nierówności brakuje powołania się na lemat:

Jeśli funkcje \(\displaystyle{ \phi(x), \psi(x) }\) są przynajmniej \(\displaystyle{ n }\) krotnie różniczkowalne i \(\displaystyle{ \phi^{(k)}(x_{0}) = \psi^{(k)}(x_{0}) }\) dla \(\displaystyle{ k = 0,1,2,...,(n-1) }\) i \(\displaystyle{ \phi^{(n)}(x) > \psi^{(n)}(x) }\) dla \(\displaystyle{ x> x_{0}, }\) to prawdziwa jest nierówność:
\(\displaystyle{ \phi(x) > \psi(x), }\) dla \(\displaystyle{ x>x_{0}.}\)

Dowód wynika z twierdzenia Lagrange'a.

A czy mógłbyś tu przytoczyć ten dowód z użyciem tw. Lagrange'a?

Nie wiem po co, jeszcze coś "dowalać".

Przyjmujemy dla funkcji \(\displaystyle{ u^{(n-1)}(x) = \phi^{(n-1)}(x) - \psi^{(n-1)}(x) }\) twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej na odcinku \(\displaystyle{ [x_{0}, x ] }\)

\(\displaystyle{ u^{(n-1)}(x) - u^{(n-1)}(x_{0})= u^{(n)}(\xi)(x-x_{0}), \ \ \xi\in [x_{0}, x]. }\)

Uwzględniając założenia: \(\displaystyle{ \phi^{(k)}(x_{0})= \psi^{(k)}(x_{0}) (k=0,1,...,(n-1)), \ \ \phi^{(n)}(x)> \psi^{(n)}(x) }\) dla \(\displaystyle{ x>x_{0} }\) - otrzymujemy \(\displaystyle{ u^{(n-1)}(x)>0 \ \ (x > x_{0}).}\)

Analogicznie korzystając z tego twierdzenia- wykazujemy, że \(\displaystyle{ u^{(n-2)}(x) >0 }\) itd... \(\displaystyle{ u(x)>0, }\) to jest \(\displaystyle{ \phi(x)> \psi(x) }\) dla \(\displaystyle{ x>x_{0}.}\)

Nie dowalam. Po prostu ten dowód "idzie" naturalnie ze wzoru Taylora, bez indukcji.

Ślepy koń zauważy, że:

\(\displaystyle{ \cos x \ge 1-3x^2}\)

No fakt, mój język taki trochę nieczłowieczy. Niestety głupia analiza 3 nadal we mnie siedzi także no.
Ehhh no prośba, dla dużych iksów ta nierówność jest widoczna, bo od pewnego \(\displaystyle{ x_{0}}\), \(\displaystyle{ x}\) jest nieograniczone z góry, \(\displaystyle{ x-x^{3} }\) jest nieograniczone z dołu, a sinus jest ograniczony i z góry i z dołu. Także udowadnianie tego na całej prostej to trochę BDSM.
\(\displaystyle{ 1-3x^{2}}\) maleje do zera na drodze od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1}{3} }}\) co jest mniejsze od \(\displaystyle{ \frac{\pi }{2} }\), żadna z tych funkcji nie ma punktów przegięcia (ale a4karo ma ich pełno), więc skoro \(\displaystyle{ 1-3x^{2}}\) szybciej maleje do zera, to \(\displaystyle{ x-x^{3}}\) ma słabszą pochodną od sinusa. Działa to, bo obie te pochodne są gładkie i monotoniczne na rozważanym przedziale. No nwm co tu więcej dodać. Funkcje startują w tym samym punkcie, ta z prawej ma największą pochodną, z lewej najmniejszą. Poza tym to jest pewnie dowód dla pani w szkole, więc już bez przesady z tym formalizmem.
a4karo ty jesteś po prostu stary zgorzkniały, czepiasz się na siłę, gdyby nie twoja relacja z kraszewskim to byś został wywalony z forum już dawno. Na poziom liceum moje uzasadnienie wystarczy. Gdyby to było zadanie ze studiów to bym się bawiła bardziej.

gdyby nie twoja relacja z kraszewskim to byś został wywalony z forum już dawno.

No i dobrze, że zauważasz pewne sprawy...

Ja bym jednak dodał:

J. Kraszewski przez szacunek i uznanie...którym go darzę a co by mnie nikt nie posądzał, że obrażam ludzi tylko poglądy...

Ok, a jak wzmocnić tę nierówność do \(\displaystyle{ x- \frac{1}{6}x^3<\sin x }\) dla \(\displaystyle{ x>0}\) bo ponoć się da? Tylko bez pochodnych.

w I cwiartce:
\(\displaystyle{ \sin(x) > x \cos(x) = x(1-2\sin^{2} \frac{x}{2} ) > x (1- 2 (\frac{x}{2})^2 )= x- \frac{1}{2} x^3}\) i można wzmocnić analizując
\(\displaystyle{ \sin(x) > x - a_nx^3 }\) z ciągiem zbieżnym do \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\).

Ślepy koń zauważy, że: \(\displaystyle{ \cos(x ) > 1-3x^2 }\)

nawet gdy jest zmęczony...