Na prośbę autora przedstawię rozwiązanie być może nie najładniejsze ale dające wynik
kerajsa. A żeby było zabawnie to zrobimy to transformatą
\(\displaystyle{ \mathcal{Z}}\) jako, że autor zezwolił. Na wstępie zaznaczam, że będę dość swobodnie korzystać ze wzorów na transformatę
\(\displaystyle{ \mathcal{Z}}\). W te wzory trzeba albo uwierzyć albo je sobie wyprowadzić. Tak czy inaczej ich lista jest łatwo dostępna w sieci. Więc równanie jak leci obkładamy transformatą
\(\displaystyle{ \mathcal{Z}}\) co daje równość
\(\displaystyle{ \begin{split}
\mathcal{Z} (a)(z) & = \mathcal{Z} (a_{ \cdot -1 })(z) +4 \mathcal{Z} (a_{ \cdot -2 })(z) -4 \mathcal{Z} (a_{ \cdot -3 })(z) + \frac{-19 z^2+25z}{(z-1)^2} \\[2ex]
& = a + \frac{\mathcal{Z} (a)(z)}{z} +4 \times \left(b + \frac{a}{z} + \frac{\mathcal{Z} (a)(z)}{z^2} \right) -4 \times \left(c+ \frac{b}{z} + \frac{a}{z^2} + \frac{\mathcal{Z} (a)(z)}{z^3} \right) + \frac{-19 z^2+25z}{(z-1)^2},
\end{split}
}\)
gdzie
\(\displaystyle{ a,b,c}\) to pewne stałe, które poznamy potem jak uwzględnimy warunki początkowe. Z równości powyżej liczymy
\(\displaystyle{ \mathcal{Z} (a)(z)}\). Szczęśliwie jest to zwykłe równanie liniowe względem
\(\displaystyle{ \mathcal{Z} (a)(z)}\), nieszczęśliwie wynik jest obrzydliwy
\(\displaystyle{ \mathcal{Z} (a)(z) = \frac{4 a z+ (4 b-12 a)z^2 + (11 a-12 b+4 c)z^3+ (-2 a+12 b-8 c-25)z^4+ (-a-4 b+4 c+19)z^5 }{(z-1)^3 \left(z^2-4\right)}. }\)
Okazuje się, że można w tym przypadku policzyć transformatę odwrotną. Wystarczy dość żmudnie wyliczyć kolejno:
\(\displaystyle{ \begin{split}
&\mathcal{Z}^{-1}\Big( \frac{z}{(z-1)^3 \left(z^2-4\right)} \Big)=-\frac{n^2}{6}-\frac{n}{18}+2^{n-2}+\frac{1}{27} (-1)^n 2^{n-2}-\frac{7}{27},\\[2ex]
&\mathcal{Z}^{-1}\Big( \frac{z^2}{(z-1)^3 \left(z^2-4\right)} \Big)= -\frac{n^2}{6}-\frac{7 n}{18}+2^{n-1}+\frac{1}{27} (-1)^{n+1} 2^{n-1}-\frac{13}{27},\\[2ex]
&\mathcal{Z}^{-1}\Big( \frac{z^3}{(z-1)^3 \left(z^2-4\right)} \Big)=-\frac{n^2}{6}-\frac{13 n}{18}+2^n+\frac{(-2)^n}{27}-\frac{28}{27}, \\[2ex]
&\mathcal{Z}^{-1}\Big( \frac{z^4}{(z-1)^3 \left(z^2-4\right)} \Big)= -\frac{n^2}{6}-\frac{19 n}{18}+2^{n+1}+\frac{1}{27} (-2)^{n+1}-\frac{52}{27}, \\[2ex]
&\mathcal{Z}^{-1}\Big( \frac{z^5}{(z-1)^3 \left(z^2-4\right)} \Big)= -\frac{n^2}{6}-\frac{25 n}{18}+2^{n+2}+\frac{1}{27} (-1)^n 2^{n+2}-\frac{85}{27}. \\[2ex]
\end{split}
}\)
Mnożąc odpowiednie części przez odpowiadające im stała i sumując wszystko na końcu dostaniemy, że
\(\displaystyle{ a_n= a \times \Big( \frac{1}{3} (-2)^{n+1}+2^{n+1}-\frac{1}{3}\Big) + b \times \Big( 2^{n+1}-(-2)^{n+1} \Big)+ c \times \Big( -2^{n+2}+\frac{1}{3} (-1)^{n+1} 2^{n+2}+\frac{4}{3} \Big)-n^2-13 \cdot 2^{n+1}+\frac{1}{3} 7 (-2)^{n+1}+\frac{35}{3}. }\)
Na koniec pozostało wyznaczyć stałe
\(\displaystyle{ a,b,c}\). Kładziemy zatem
\(\displaystyle{ n=0,1,2}\) i tworzymy układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+4 b-4 c-19=6 \\5 a-4 c-32 = 6 \\ 5 a + 16 b - 20 c -115 =5 \end{cases} }\)
który okazuje się mieć jedno rozwiązanie
\(\displaystyle{ a=9/2}\),
\(\displaystyle{ b=5/4}\),
\(\displaystyle{ c=-31/8}\). Wstawiamy stałe do wzoru ogólnego na
\(\displaystyle{ a_n}\) upraszczamy i dostajemy, że
\(\displaystyle{ a_n=2^n-n^2+5.}\)