Matematyka.pl

Mogę stwierdzić, że ten pierwszy wynik jest poprawny, ale drugi nie.

Dodano po 5 minutach 11 sekundach:
\(\displaystyle{ \frac{|(b-12)\cdot 8 - (2b-9)\cdot 4 +15b|}{\sqrt{(b-12)^2+(2b-9)^2}} = 4}\)

\(\displaystyle{ \frac{|8b -96 -8b +36 +15b|}{\sqrt{(b-12)^2 +(2b-9)^2}} = 4 }\)

\(\displaystyle{ \frac{|15b -60|}{\sqrt{(b-12)^2 +(2b-9)^2}}= 4 }\)

\(\displaystyle{ \frac{|15\cdot (b-4)|}{\sqrt{(b-12)^2 +(2b-9)^2}} = 4 }\)

\(\displaystyle{ \frac{15(b-4)}{\sqrt{(b-12)^2 +(2b-9)^2}} = 4}\)

.......................................

janusz47 pisze: ↑5 lis 2022, o 22:08\(\displaystyle{ \frac{|15\cdot (b-4)|}{\sqrt{(b-12)^2 +(2b-9)^2}} = 4 }\)

\(\displaystyle{ \frac{15(b-4)}{\sqrt{(b-12)^2 +(2b-9)^2}} = 4}\)

Z tym przejściem to się nie zgodzę.

max123321 pisze: ↑5 lis 2022, o 21:06 J Kraszewski, a przeliczyłeś to do końca? Przecież to jest masakryczne. Nie ma jakiegoś prostszego sposobu? Po tych wszystkich rachunkach dostałem równanie \(\displaystyle{ x_b(x_b+840)=0}\), które nie wiem czy jest dobre, bo się mogłem pomylić sto razy.

Rachunki jak rachunki. Dość niewprawny jesteś, jeśli uważasz je za "masakryczne". A wynik zawsze należy sprawdzić, wtedy będziesz wiedział, czy się pomyliłeś.

JK

Ja się zgodzę, bo jedno rozwiązanie należy do jednego przejścia, a drugie do

pokropkowałem


\(\displaystyle{ \frac{15(b-4)}{\sqrt{(b-12)^2 +(2b-9)^2}} = -4}\)

Dodano po 19 minutach 54 sekundach:
max123321

Jest już późno.

\(\displaystyle{ B = (0, 0 ) }\) lub \(\displaystyle{ B = \left( 11\frac{17}{29}, \ \ 5\frac{23}{29}\right) }\)- sprawdź.

Zastanów się, które współrzędne punktu \(\displaystyle{ B }\) należy przyjąć i dlaczego ?

Jakie są współrzędne punktu styczności \(\displaystyle{ (x_{s}, y_{s})}\) okręgu z prostą \(\displaystyle{ \overline{AC} ?}\)

Wyglądało to jak domniemany ciąg przejść równoważnych, a nie rozpatrywanie przypadków (swoją drogą, po co przypadki, skoro i tak będziemy podnosili do kwadratu, żeby pozbyć się pierwiastka?).

janusz47 pisze: ↑5 lis 2022, o 23:26 \(\displaystyle{ B = (0, 0 ) }\) lub \(\displaystyle{ B = \left( 11\frac{17}{29}, \ \ 5\frac{23}{29}\right) }\)- sprawdź.

Sprawdziłem

JK

To prawda, ale każde z rozwiązań spełnia inne z tych dwóch równań.

A może ktoś w ogóle powiedzieć czy ta prosta \(\displaystyle{ AB}\) mi dobrze wyszła?
\(\displaystyle{ (x_b-24)x+(18-2x_b)y+15x_b=0}\)

Dodano po 50 minutach 17 sekundach:
Wyszedłem z równań
\(\displaystyle{ 12=9a+b}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}x_b=ax_b+b }\)
Wyznaczyłem z tego \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) zależne od \(\displaystyle{ x_b}\) wstawiłem do równania prostej i przekształciłem do postaci ogólnej tą prostą.
Czy może ktoś powiedzieć czy dostałem prawidłowe równanie tej prostej?

max123321 pisze: ↑6 lis 2022, o 17:40 Czy może ktoś powiedzieć czy dostałem prawidłowe równanie tej prostej?

No bez przesady, sam sobie sprawdź, czy punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) leżą na tej prostej.

JK

No dobra sprawdziłem i jest dobrze. Policzyłem to też do końca i wyszło mi \(\displaystyle{ B=(0,0)}\) lub \(\displaystyle{ B=( \frac{336}{29}, \frac{168}{29}) }\). Teraz się zgadza? No dobra to będą dwie odpowiedzi?

Dodano po 3 godzinach 16 minutach 38 sekundach:
Może mi ktoś powiedzieć czy będą dwie odpowiedzi, czy którąś można odrzucić i ewentualnie z jakiego powodu?

Dodano po 11 godzinach 45 minutach 27 sekundach:
Czy ktoś może mi powiedzieć dlaczego tą drugą opcję trzeba odrzucić?

Dodano po 10 godzinach 1 minucie 39 sekundach:
Może mi ktoś z tym pomóc? Chciałbym wiedzieć czy obie odpowiedzi są dobre czy którąś należy odrzucić i z jakiego powodu.

Na razie nie masz odpowiedzi, tylko dwie możliwości na punkt \(\displaystyle{ B}\). Policz dalej, zobacz, co Ci wyjdzie itd.

JK

A jak to najlepiej policzyć? Mam taki pomysł, żeby znaleźć punkt styczności prostej \(\displaystyle{ AB}\) z okręgiem i potem znaleźć punkt styczności prostej \(\displaystyle{ AC}\) przez symetrię względem dwusiecznej. Tak zrobiłem i dostałem punkt styczności dla punktu \(\displaystyle{ B=(0,0)}\) równy \(\displaystyle{ (8,0)}\). A z tym drugim coś mi nie idzie. Nie wiem czy w ogóle ten drugi punkt \(\displaystyle{ B=( \frac{336}{29}, \frac{168}{29}) }\) to nie leży wewnątrz okręgu, tylko nie wiem dlaczego tak wychodzi. Może ktoś mi to rozjaśnić?

max123321 pisze: ↑8 lis 2022, o 23:43 A jak to najlepiej policzyć? Mam taki pomysł, żeby znaleźć punkt styczności prostej \(\displaystyle{ AB}\) z okręgiem i potem znaleźć punkt styczności prostej \(\displaystyle{ AC}\) przez symetrię względem dwusiecznej.

Raczej prostej \(\displaystyle{ BC}\).

max123321 pisze: ↑8 lis 2022, o 23:43Nie wiem czy w ogóle ten drugi punkt \(\displaystyle{ B=( \frac{336}{29}, \frac{168}{29}) }\) to nie leży wewnątrz okręgu,

No to sprawdź.

JK

Tak racja prostej \(\displaystyle{ BC}\).

No sprawdziłem jednak ten punkt \(\displaystyle{ B=\left( \frac{336}{29}, \frac{168}{29} \right) }\) leży poza okręgiem, ale leży on na prostej \(\displaystyle{ AB}\) tylko między punktem \(\displaystyle{ A}\), a punktem styczności prostej \(\displaystyle{ AB}\) z okręgiem. I teraz nie wiem jak to uzasadnić, ale ten punkt chyba trzeba odrzucić bo by się nie dało skonstruować takiego trójkąta, bo punkty \(\displaystyle{ A,B,C}\) musiałyby leżeć na jednej prostej \(\displaystyle{ AB}\). Można tak to uzasadnić?

max123321 pisze: ↑9 lis 2022, o 23:50 No sprawdziłem jednak ten punkt \(\displaystyle{ B=\left( \frac{336}{29}, \frac{168}{29} \right) }\) leży poza okręgiem, ale leży on na prostej \(\displaystyle{ AB}\) tylko między punktem \(\displaystyle{ A}\), a punktem styczności prostej \(\displaystyle{ AB}\) z okręgiem. I teraz nie wiem jak to uzasadnić, ale ten punkt chyba trzeba odrzucić

Jeżeli udało Ci się to pokazać, to oczywiście trzeba go odrzucić, bo punkt styczności okręgu wpisanego w trójkąt z tym trójkątem zawsze leży na boku trójkąta.

JK

Ok, uff... udało się, ale przyznacie chyba, że to było ciężkie zadanie zwłaszcza rachunkowo, a to poziom szkoły średniej...

Przy odrobinie szczęścia w wyborze podejścia do zadania, można je zrobić całkiem prosto.
Wyznaczmy współrzędne punktu `A'` który jest symetryczny do punktu `A` względem przekątnej (nazwijmy ją `p`). Ten punkt leży na prostej `BC`.
Współczynnik kierunkowy prostej \(\displaystyle{ AA'}\) jest równy `-2` a jej równanie to `y-12=-2(x-9)` Przecina się ona z prostą `p` w punkcie `(12,6)`, a zatem (przyda się prościutki rachunek wektorowy, proporcje albo kartka w kratkę ) punkt `A'` ma współrzędne `(15,0)`

I tu przydaje się odrobina szczęścia: otóż odległość osi `OX` od środka okręgu wynosi dokładnie `4`, czyli oś `OX` jest styczna do okręgu i leży na niej `A'`, zatem bok `BC` leży na osi `OX`, a szukanym punktem styczności jest `(8,0)`.