janusz47 pisze: ↑31 paź 2022, o 17:56
"Nie ma żadnego specjalnego trzeciego przypadku ", ale
\(\displaystyle{ (0, y, 0) \in W_{1} ? }\)
Ale co?
Jak wiadomo, iloczyn dwóch liczb rzeczywistych jest zerem dokładnie wtedy, gdy
sowa_ pisze: ↑30 paź 2022, o 19:20
jedna z dwóch liczb jest równa 0,
i tyle ("jedna" nie oznacza "dokładnie jedna").
janusz47 pisze: ↑31 paź 2022, o 17:56
Sprawdzanie, czy
\(\displaystyle{ (i) \ \ \alpha + \beta \in W }\)
\(\displaystyle{ (ii) \ \ a\cdot \alpha \in W }\)
jest dawaniem kontrprzykładu ?
I znów brniesz. Sprawdzanie nie jest dawaniem kontrprzykładu, ale to sprawdzanie jest zbędne, gdy umiemy wskazać kontrprzykład. A w tak prostych przykładach zbiorów łatwo jest go znaleźć. I jest to dużo lepsze od grzebania się w rachunkach, których w dodatku czasem się nie rozumie.
Jesteśmy już na drugiej stronie zupełnie zbędnej dyskusji. Wrócę zatem do pierwotnego pytania
sowa_.
Jeżeli jesteś w stanie wskazać dwa wektory z danego zbioru
\(\displaystyle{ W}\), których suma nie jest w tym zbiorze, to ten zbiór nie jest zamknięty na dodawanie wektorów i w związku z tym nie jest podprzestrzenią liniową (analogicznie z mnożeniem przez skalar). Czasem bardzo łatwo wskazać taki kontrprzykład, np. w przykładzie a) są to wektory
\(\displaystyle{ (1,0,0)}\) i
\(\displaystyle{ (0,0,1)}\). Poszukaj sam kontrprzykładu w b).
Natomiast uzasadnienie, że zbiór
\(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią liniową wymaga sprawdzenia, że warunki
\(\displaystyle{ w_1 + w_2 \in W }\) i
\(\displaystyle{ a\cdot w \in W }\) zachodzą dla dowolnych
\(\displaystyle{ w_1,w_2,w\in W}\) oraz skalara
\(\displaystyle{ a}\). W tym wypadku musisz wykonać pewne rachunki, korzystając z definicji zbioru
\(\displaystyle{ W}\). Taką sytuację masz w podpunkcie c).
Po pewnym czasie nabiera się pewnej wprawy, która pomaga zdecydować, czy lepiej szukać kontrprzykładu, czy pokazywać zamkniętość na działania.
JK