Matematyka.pl

\(\displaystyle{ (k+1)^2+k+1-2=k^2+2k+1+k+1-2=k^2+3k}\)

JK

Jan Kraszewski pisze: 5 gru 2021, o 18:35 Korzystając z założenia indukcyjnego wiesz, że \(\displaystyle{ k^2 \cdot 2^k+(2k+1)\cdot 2^k\ge k^2+k-2+(2k+1)\cdot 2^k}\)

Niestety nie widzę na pierwszy rzut oka, bo ciągle o tym myślę jak z założenie po lewej stronie jak z
\(\displaystyle{ k^2 \cdot 2^k}\) zrobiłeś \(\displaystyle{ k^2 \cdot 2^k+(2k+1)\cdot 2^k}\)?
Z tym mam tutaj problem bo wszystkie przykłady jakie mam z nierówności to mają tylko jeden wyraz to były one proste - wystarczyło tylko pomnożyć jak poprzednie przykłady np. przez 3 i dowodzić nierówności. Tutaj obu stronnie jakby dodałeś \(\displaystyle{ (2k+1)\cdot 2^k}\) i po tym wyjdzie po lewej stronie \(\displaystyle{ (k+1)^2 \cdot 2^{k+1}}\). Tylko mógłbyś opisać skąd wiesz właśnie, że dodanie \(\displaystyle{ (2k+1)\cdot 2^k}\) da \(\displaystyle{ (k+1)^2 \cdot 2^{k+1}}\)?

smp pisze: 13 gru 2021, o 17:51 Niestety nie widzę na pierwszy rzut oka, bo ciągle o tym myślę jak z założenie po lewej stronie jak z
\(\displaystyle{ k^2 \cdot 2^k}\) zrobiłeś \(\displaystyle{ k^2 \cdot 2^k+(2k+1)\cdot 2^k}\)?

Nie zrobiłem. Jak napisałem:

Jan Kraszewski pisze: 5 gru 2021, o 18:35 Wiesz, że dla ustalonego \(\displaystyle{ k\in\NN}\) zachodzi \(\displaystyle{ k^2 \cdot 2^k\ge k^2+k-2}\), chcesz pokazać, że \(\displaystyle{ L=(k+1)^2 \cdot 2^{k+1} \ge k^2+3k=P}\), czyli - równoważnie - \(\displaystyle{ \red{k^2 \cdot 2^k+(2k+1)\cdot 2^k\ge k^2+3}}\).

czyli Twoja teza indukcyjna to \(\displaystyle{ L=k^2 \cdot 2^k+(2k+1)\cdot 2^k\ge k^2+3=P}\). Zaczynam więc od lewej strony i korzystam z założenia indukcyjnego \(\displaystyle{ \blue{k^2 \cdot 2^k}\ge\green{k^2+k-2}}\):

\(\displaystyle{ L=\blue{k^2 \cdot 2^k}+(2k+1)\cdot 2^k\ge \green{k^2+k-2}+(2k+1)\cdot 2^k}\)

po czym zauważam, że do dowodu nierówności \(\displaystyle{ L\ge P}\) wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ k^2+k-2+(2k+1)\cdot 2^k\ge k^2+3k}\).

smp pisze: 13 gru 2021, o 17:51obu stronnie jakby dodałeś \(\displaystyle{ (2k+1)\cdot 2^k}\)

Nie. Ja po prostu przekształciłem lewą stronę do postaci, w której mogę zastosować założenie indukcyjne.

JK