Matematyka.pl

Nie spotkałem tłumaczenia tej pozycji. Ale by zrozumieć rozwiązanie problemu trzeba kilka rozdziałów przeczytać.
Wcześniej warto przećwiczyć koło i owal naprężeń.
Książka kiedyś była w zasobach biblioteki AGH. Czy jest jeszcze, tego nie wiem. Wiele cennych pozycji pisanych cyrylicą wyrzucano kiedyś na podworce. Czy i tę wyrzucono? Nie wiem.

Dodano po 1 godzinie 47 minutach 13 sekundach:
давление на опорную плоскость
Parcie, nacisk, ciśnienie na płaszczyznę podstawy.

kruszewski pisze: ↑9 lut 2021, o 13:02 Naprężenie normalne do poziomej płaszczyzny podstawy stożka w spodku jego wysokości

\(\displaystyle{ \sigma_0 = H \gamma \frac{2 - \sin^2 \varphi}{2( 1 + \sin^2 \varphi)} }\) (Zenkow, Mechanika nasypnych gruzow, wzór (134))

Wyśmienicie! Gdybyś jeszcze tak był uprzejmy zacytować dowód tego równania, ponieważ nie mogę znaleźć wpomnianej książki.

To co najmnej trzy strony wzorów i objaśnień z kilkoma rysunkami.
Sporo roboty.
Jak może Pan czytać "na cyrylicy", to postaram się o fotografie tych stron.
Ale to ne dziś ani jutro.
Ja nie mam potrzebnego sprzętu. Wnuczka musi przyjść w odwiedziny i sfotografować te strony.

kruszewski pisze: ↑12 lut 2021, o 10:38 To co najmnej trzy strony wzorów i objaśnień z kilkoma rysunkami.
Sporo roboty.
Jak może Pan czytać "na cyrylicy", to postaram się o fotografie tych stron.
Ale to ne dziś ani jutro.

Byłbym niezmiernie wdzięczny.
Bez pośpiechu, chociaż nie ukrywam, że będę czekał z niecierpliwością.

Pozdraiwiam

Proszę zapytać w Bibliotece Głównej AGH. Tam pod numerem 77303 była ta książka w ich zbiorach bibliotecznych.

Niestety mieszkam w domku na Mazurach i okoliczne biblioteki nie dysponują satysfakcjonującą bazą książek z Fizyki. Czy jest możliwość wyporzyczenia książki z AGH na odległość jednocześnie nie będąć studentem?

Myślę że możesz zadzwonić do biblioteki i poprosić o ksero interesujących cię stron

W tomie I Podstawy FIZYKI D. Halliday, R. Resnick J. Walker w wydaniu nowym (jak i starym) zamieszczono zadanie.

Robotnik chce usypać na podwórku stożkową górę z piasku. Promień koła, które ma stanowić podstawę stożka, wynosi \(\displaystyle{ R }\) i piasek nie może rozsypywać się poza ten obszar. Współczynnik tarcia statycznego między warstwami piasku, które mogły się po sobie ześlizgnąć wzdłuż powierzchni bocznej stożka jest równy \(\displaystyle{ \mu_{s}. }\) Proszę wykazać, że największa objętość piasku, którą można w ten sposób zgromadzić wynosi \(\displaystyle{ V = \frac{\pi \cdot \mu_{s}\cdot R^3}{3} }\). Objętość stożka jest równa \(\displaystyle{ \frac{S\cdot h}{3}, }\) gdzie \(\displaystyle{ S }\) jest polem podstawy, a \(\displaystyle{ h }\) wysokością stożka.

Analiza zadania

Rozpatrujemy przekrój osiowy stożka o podstawie \(\displaystyle{ 2R }\) wysokości \(\displaystyle{ h }\) i tworzących nachylonych do podstawy pod kątem \(\displaystyle{ \theta. }\)

Rozpatrujemy drobinę piasku na tworzącej stożka oraz diagram działających na nią sił:

\(\displaystyle{ \vec{T} }\) - siłę tarcia

\(\displaystyle{ \vec{N} }\) -siłę reakcji

\(\displaystyle{ \vec{G}= m\cdot \vec{g} }\) -siłę ciężkości.

Rozwiązanie

Na podstawie II zasady dynamiki możemy napisać równania rzutów sił na kierunki odpowiednio osi \(\displaystyle{ x, \ \ y }\) prostokątnego układu współrzędnych.

\(\displaystyle{ \begin{cases} m\cdot g \cdot \sin(\theta) - T = 0 \\ N - m\cdot g \cdot \cos(\theta) = 0 \end{cases} }\)

Z pierwszego równania

\(\displaystyle{ T = m\cdot g\cdot \sin(\theta) }\)

Z drugiego równania

\(\displaystyle{ N = m\cdot g \cos(\theta) }\)

Aby drobina piasku nie mogła ześlizgnąć się ze zbocza stożka, musi być spełniony warunek:

\(\displaystyle{ T < \mu_{s}\cdot N }\)

\(\displaystyle{ m\cdot g\cdot \sin(\theta) <\mu_{s}\cdot m\cdot g \cos(\theta) }\)

\(\displaystyle{ \tg(\theta) < \mu_{s} }\)

Maksymalna wartość kąta nachylenia \(\displaystyle{ \theta }\) powierzchni bocznej stożka do płaszczyzny jego podstawy wynosi

\(\displaystyle{ \tg(\theta) = \mu_{s}. }\)

Wysokość stożka

\(\displaystyle{ h = R\cdot \tg(\theta) \ \ (*)}\)

Zastępując \(\displaystyle{ \tg(\theta) }\) przez \(\displaystyle{ \mu_{s} }\) w równaniu \(\displaystyle{ (*) }\)

mamy

\(\displaystyle{ h = R \cdot \mu_{s} \ \ (**) }\)

Podstawiając \(\displaystyle{ (**) }\) do równania objętości stożka \(\displaystyle{ V = \frac{1}{3}\pi \cdot R^2\cdot h ,}\)

otrzymujemy

\(\displaystyle{ V = \frac{1}{3}\pi \mu_{s}\cdot R^3, }\)

co mieliśmy wykazać.

Fajne, ale chętnie zobaczyłbym związek z zadaniem

Cytat z posta:
"Rozpatrujemy drobinę piasku na tworzącej stożka oraz diagram działających na nią sił:"

Tak nie można rozpatrywać ruchu masy sypkiej.

Można.

Wg Zenkow R.L. Mechanika sypuczej sredy, Izdat. "Maszinostrojenije" Moskwa 1964:

Co mi Pan wyświetla ? Tą sławną radziecką książkę ? Proszę zapoznać się ze współczesną mechaniką gruntów i nasypów.

Nie musi to mieć związku z zadaniem, które połączył z moim rozwiązaniem innego zadania AIDI.

@kruszewski
Wiechu, daj spokój. Z najwybitniejszym specjalistą od wszystkiego nie wypada polemizować

janusz47 pisze: ↑13 lut 2021, o 18:24 Proszę zapoznać się ze współczesną mechaniką gruntów i nasypów.

Proszę przestać zgrywać specjalistę od wszystkiego i pisać do wszystkich takim tonem. Poziom wiedzy pana Kruszewskiego na tematy mechaniki technicznej jest przeogromny co pokazał tutaj już miliony razy. A mechanika gruntów nie przeszła jakiejś wielkiej rewolucji żeby od lat 60 miało się coś diametralnie zmienić. Jeśli jest inaczej to proszę na PW o jakąś porównawczą publikację. Tymczasem temat uważam za wyczerpany.