Matematyka.pl

No to spróbuj tak:

\(\displaystyle{ a_{n+1}=\sqrt{3a_n-1} < ....}\) (w tym miejscu wykorzystaj założenie indukcyjne, czyli to, co wiesz o `a_n`. Potem pobaw się troche prawą stroną.

Dodano po 7 minutach 45 sekundach:
Wsk. Pamietasz jakie równanie spełnia prawy koniec przedziału?

\(\displaystyle{ \sqrt{3a _{n} -1} < \frac{3}{2}}\)

?

No skądże.

Masz pokazać po pierwsze, że pierwszy wyraz spełnia ten warunek.
A potem to, że jeżeli dla pewnego \(\displaystyle{ n}\), \(\displaystyle{ a_n}\) spełnia ten warunek, to \(\displaystyle{ a_{n+1}}\) też.
Wtedy, na mocy zasady indukcja będziesz wiedzieć, z że nierówność zachodzi dla wszystkich wyrazów ciągu.

A ten warunek, to \(\displaystyle{ a_n<\frac{3+\sqrt5}{2}}\)

Spróbuję podsumować:

Zakładasz, że \(\displaystyle{ \red{a_{n} < \frac{3+ \sqrt{5} }{2}}}\), chcesz pokazać, że \(\displaystyle{ a_{n+1} < \frac{3+ \sqrt{5} }{2}}\). Ale wiesz, że \(\displaystyle{ a_{n+1}=\sqrt{3a_n-1},}\) czyli Twoim celem jest pokazanie, że \(\displaystyle{ \blue{\sqrt{3a_n-1} < \frac{3+ \sqrt{5} }{2}}}\). Zaczynasz zatem od czerwonego i starasz się wywnioskować niebieskie:

\(\displaystyle{ \red{a_{n} < \frac{3+ \sqrt{5} }{2}}\\
3a_{n} < 3\cdot \frac{3+ \sqrt{5} }{2}\\
3a_{n} -1< 3\cdot \frac{3+ \sqrt{5} }{2}-1=\frac{9+3\sqrt{5}-2}{2}=\frac{7+3\sqrt{5}}{2}\\
\sqrt{3a_n-1}<\sqrt{\frac{7+3\sqrt{5}}{2}}}\)

Wiesz zatem, że \(\displaystyle{ \sqrt{3a_n-1}<\sqrt{\frac{7+3\sqrt{5}}{2}}.}\) Jeśli uda Ci się pokazać, że \(\displaystyle{ \magenta{\sqrt{\frac{7+3\sqrt{5}}{2}}\le\frac{3+ \sqrt{5} }{2}},}\) to powinnaś już potrafić wywnioskować niebieskie.

Spróbuj zatem udowodnić fioletowe, a potem wywnioskować stąd niebieskie, a to zakończy sprawdzanie założeń zasady indukcji matematycznej i pozwoli na jej zastosowanie.

JK