Matematyka.pl

krl pisze: 19 sie 2024, o 01:44 Właśnie znalazłem ten stary wątek, motywowany podobnym aktualnym wątkiem na temat synów sąsiada. Niektóre wypowiedzi w tym wątku, zwłaszcza wypowiedzi Slupa, wzbudzają mój gwałtowny protest. Dlatego się wypowiadam.

Bardzo dobrze. Chętnie wrócę do tego tematu.

Na początek odniosę się tylko do poniższego fragmentu. Uważam, że w nim najłatwiej o rozstrzygnięcie i jest on kluczowy dla zrozumienia tego, co chciałem w tym wątku powiedzieć.

krl pisze: 19 sie 2024, o 01:44 4. Komentarz do:

Slup pisze: 25 sie 2020, o 10:02 Są co najmniej dwie możliwości (w rzeczywistości jest ich znacznie więcej) interpretacji tego zdania. Każda sugeruje inną formalizację podanego zadania.

I. Prowadzący wybierał losowo (przez rzut monetą) spośród dwóch niewybranych przez gracza drzwi. Potencjalnie istniała więc szansa, że wybierze drzwi, za którymi jest samochód (oczywiście o ile samochód nie znajdował się za drzwiami, k\(\displaystyle{ }\)tóre wybrał gracz na początku). Jednak wynik tego rzutu okazał się być taki, że w otwartym przez niego pomieszczeniu znalazła się koza. Wówczas zamiana drzwi nie zwiększa szans na wygraną, co można udowodnić wprowadzając odpowiedni model probabilistyczny.
[część hidden]

Tu niestety Slup popełnia błąd w częsci "hidden" w cytacie, czyli w probabilistycznej interpretacji sytuacji w zadaniu. Twierdzi błędnie, że w tym wariancie gry prawdopodobieństwo wygranej gracza G przt grze zgodnej ze strategią wynosi \(\displaystyle{ 1/2}\).
Prawdopodobieństwo wygranej gracza G w grze w wariancie I to nadal \(\displaystyle{ 2/3}\), jeśli potępuje on zodnie ze swoją strategią "zmień drzwi". Dokładnie tak samo, jak jest to opisane w punkcie 3.

Nie zgadzam się. Twierdzenie jest poprawne. Błąd rzeczywiście jest w części hidden, ale nie w odpowiedzi – ona jest poprawna. Tzn. w wariancie I prawdopodobieństwo wygranej przez gracza przy strategii ze zmianą drzwi wynosi \(\displaystyle{ 1/2}\).

Część hidden z mojego pierwszego posta przedstawia w dużej części poprawne rozwiązanie tj. zawiera poprawną odpowiedź oraz rachunki. Błąd polega natomiast na tym, że przestrzeń probabilistyczna jest w nim niepoprawnie określona. Nie da się w jej terminach wyrazić wydarzenia \(\displaystyle{ B}\). To oczywiście dosyć istotne i dyskwalifikujące dla tamtego rozwiązania. Jednak wystarczy zmienić \(\displaystyle{ (\Omega, P)}\) i cała reszta przechodzi. Oczywiście przez cały czas mówimy o wariancie I.

Zresztą zamieszczę poprawioną wersję.

Zbiór bramek \(\displaystyle{ X = \{1, 2, 3\}}\). Zdarzenie elementarne ma postać
$$\left(s, g, p\right) \in X\times X\times X$$
gdzie \(\displaystyle{ s}\) to bramka, w której znajduje się samochód, \(\displaystyle{ g}\) to bramka wybrana przez gracza zaś \(\displaystyle{ p \in X\setminus \{g\}}\) to bramka wybrana przez prowadzącego. \(\displaystyle{ \Omega}\) to zbiór wszystkich takich trójek, klasa zdarzeń to wszystkie podzbiory \(\displaystyle{ \Omega}\) zaś \(\displaystyle{ P}\) jest dane wzorem
$$P\bigg(\big\{\left(s, g, p\right)\big\}\bigg) = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{18}$$
dla ustalonego zdarzenia elementarnego.

Niech \(\displaystyle{ A}\) oznacza zdarzenie, że gracz wybrał bramkę, w której znajdował się samochód. Zdarzenie \(\displaystyle{ B}\) polega na tym, że prowadzący otworzył pustą bramkę. Chcemy policzyć
$$P\left(A|B\right) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$
co interpretujemy jako prawdopodobieństwo sukcesu (wygranej samochodu) w sytuacji, gdy gracz nie zmienia pierwotnego wyboru bramki. Mamy oczywiście
$$A = \big\{\left(s, s, p\right)\,\big|\,p \in X\setminus \{s\}\big\} = A\cap B$$
Zatem
$$P(A\cap B) = P(A) = 6 \cdot \frac{1}{18} = \frac{1}{3}$$
Tak samo widzimy, że
$$B = \big\{\left(s, g, p\right)\,\big|\,p\in X\setminus \{s, g\}\big\}$$
oraz
$$P(B) = P(A\cap B) + P(B\setminus A) = P(A) + P(B\setminus A) = 6\cdot \frac{1}{18} + 6 \cdot \frac{1}{18} = \frac{2}{3}$$
Stąd ostatecznie
$$P(A|B) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}$$

Rzeczywiście, w punkcie 4 Slup ma rację: prawdopodobieństwo tamże to \(\displaystyle{ 1/2}\) a nie \(\displaystyle{ 1/3}\).
Ma też rację, że zadanie można interpretować na różne sposoby i te różne interpretacje mogą prowadzić do różnych modeli probabilistycznych, z różnymi wynikami.
Podtrzymuję zdanie na temat "formalizacji". Rozumiem, że inaczej rozumie się ją w zwykłej matematyce i tam oznacza ona po prostu stosowanie kultury matematycznej (i to w pełni popieram), a inaczej w logice matematycznej i tam oznacza ona dowody formalne w precyzyjnie określonym systemie dedukcyjnym. W tym drugim sensie praktycznie żaden matematyk dowodów formalnych nie przeprowadza.
Motywacją dla mojego posta było podkreślenie, że matematykę, w tym probabilistykę, należy starać się stosować w praktyce nawet wtedy, gdy informacja jest niepełna. Bo w istocie informacja nigdy nie jest pełna, gdyż nasza wiedza o świecie nie jest pełna. W przypadku gdy możliwe są różne modele probabilistyczne w zależności od rozważania dodatkowych założeń o badanym zjawisku, należy po prostu jawnie wskazać te dodatkowe założenia.
Tak dzieje się często w statystyce, gdzie dobierać można różne modele do opisu danego zjawiska, gdzie mamy do czynienia ze skończonym zbiorem danych, które jakoś trzeba zinterpretować. I tak naprawdę nie wiadomo do końca, czy wybrany model probabilistyczny jest tym właściwym lub też czy w ogóle zjawisko ma charakter podlegający prawom statystyki.
W najogólniejszej formie jest to rozróżnienie filozoficzne między determinizmem i indeterminizmem, w ich różnych formach.
W praktyce statystycy mają różne testy, przy pomocy których można szacować, który model teoretyczny lepiej pasuje do danych.
Dodam, że teraz lepiej rozumiem "paradoksalność" w paradoksie Monty Halla, zwłaszcza dzięki zadaniu o sąsiedzie z dwojgiem dzieci.

Jeśli chodzi o mój wtręt na temat formalizacji, to proszę zauważyć, że napisałem:

Slup pisze: 25 sie 2020, o 10:02 Należy zwrócić uwagę, że ściśle rzecz biorąc można powiedzieć o poprawnym lub niepoprawnym rozwiązaniu tylko takiego problemu matematycznego (logicznego, naukowego), który jest sformalizowany.

Prawda, że można rozstrzygać i prawie zawsze rozstrzyga się poprawność rozumowań, które nie są sformalizowane w sensie logiki matematycznej. Nie wiem, czy nie złagodziłbym dziś tego stanowiska. Na swoje usprawiedliwienie mogę tylko przywołać frazę "ściśle rzecz biorąc".

Możliwe, że to, co chciałem powiedzieć, lepiej jest wyrazić następująco. Matematyczna teoria prawdopodobieństwa stworzona przez Kołmogorowa nie zajmuje się ustanawianiem przestrzeni probabilistycznych dla konkretnych sytuacji empirycznych. Interpretowanie takich sytuacji i ustanawianie dla nich \(\displaystyle{ (\Omega, \mathcal{F}, P)}\) nie jest częścią teorii. Takie ustanawianie należy do tego rodzaju operacji umysłowych jakie wykonuje fizyk budujący model danego zjawiska. Wiemy, że modele fizyczne mają pewne kryteria poprawności. Muszą je mieć, bo w przeciwnym razie nauka jest arbitralna. Jednak te kryteria są niejawne, ich treść jest nieuświadomioną wiedzą całej społeczności aktywnych naukowo fizyków przekazywaną kolejnym generacjom w długim procesie nabywania kompetencji naukowych.

Ten watek i pokrewny o sąsiedzie ma też związek z inną nurtującą mnie kwestią, której dotyka również Twoja uwaga na temat determinizmu i indeterminizmu. Przyjmijmy pięć możliwych wzajemnie wykluczających się stanów końcowych pewnego zjawiska. Jeśli nie wiemy o tym zjawisku nic więcej niż te pięć możliwości jego zakończenia, to przyjmujemy wstępnie, że rozkład jest jednostajny i każdy stan ma prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ 1/5}\). Zatem zakładamy, że rozkład ma maksymalną możliwą entropię. Ta zasada maksymalnej entropii nie jest przecież z dziedziny logiki ani matematyki, a przynajmniej nie wedle ich obecnego stanu. To jest, o ile moje poprzednie uwagi są słuszne, fizyka. Innym poparciem tej tezy o jej fizycznym charakterze jest fakt, że ta zasada pojawia się również w mechanice statystycznej, twierdzeniu H Boltzmanna itd. Tj. jest ona fundamentalną zasadą, z której wyłaniają się zjawiska termodynamiczne. Według mnie prawie za każdym razem, gdy w zadaniach szkolnych dotyczących prawdopodobieństwa przyjmujemy, że jakiś rozkład jest jednostajny, to wynika to dokładnie z tego, że przeczuwamy zasadę maksymalnej entropii. która jest jedną z fundamentalnych zasad dotyczących zachowania się materii.

W kontekście tej całej dyskusji przypomina mi się pewna wypowiedź.

Vladimir Arnold pisze: Mathematics is a part of physics. Physics is an experimental science, a part of natural science. Mathematics is the part of physics where experiments are cheap.

Im dłużej zastanawiam się i czytam rozmaite opracowania filozoficzne tym więcej dostrzegam prawdy w wypowiedzi Arnolda, którą kiedyś uważałem za całkowite głupstwo i aberrację. To jest bardzo pokrewne stanowisku Kanta, który uznawał matematykę i fizykę (czyli czyste przyrodoznawstwo, bo tak ją nazywał) za nauki dotyczące tej samej klasy sądów (syntetycznych a priori).