Matematyka.pl

Wracamy do obliczeń.

Po podstawieniu do równań tego układu okazuje się, że liczba \(\displaystyle{ T = \frac{2}{3}k\pi }\) spełnia pierwsze równanie układu o ile \(\displaystyle{ k\in \ZZ}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3.}\) to znaczy jest postaci \(\displaystyle{ k = 3s, \ \ s\in \ZZ. }\)

Mamy bowiem wtedy równości

\(\displaystyle{ \begin{cases} k = 3s \wedge \sin\left(3\cdot \frac{2}{3} \cdot k\cdot \pi \right) +3\sin\left(4\cdot \frac{2}{3}\cdot k\cdot \pi \right) = \sin(6\cdot s\cdot \pi) + 3\sin(8\cdot s\cdot \pi) = 0 +3\cdot 0 = 0 \\ k = 3 s \wedge -\cos\left(3\cdot \frac{2}{3}\cdot k\cdot \pi \right) +3\sin\left(4\cdot \frac{2}{3}\cdot k\cdot \pi \right) = -\cos(6\cdot s\cdot \pi) + 3\sin(8\cdot s\cdot \pi) = -1 + 0 = -1. \end{cases} }\)

Drugie równanie w \(\displaystyle{ (2) }\) jest wtedy również spełnione.

Wobec powyższego \(\displaystyle{ T = \frac{2}{3}k\cdot \pi }\) dla \(\displaystyle{ k = 3s }\) i \(\displaystyle{ s\in \ZZ. }\)

Okres podstawowy otrzymamy dla najmniejszej dodatniej liczby całkowitej podzielnej przez \(\displaystyle{ 3, }\) to znaczy \(\displaystyle{ k=3.}\)

Mamy więc \(\displaystyle{ T_{0} = 2\pi.}\)

No to jedziemy:\

Zadanie wyznacz okres podstawowy (o ie istnieje) funkcji `f(x)=x^2`


Przyjmijmy, że `T` jest okresem tej funkcji. Wówczas wobec definicji funkcji okresowej musi zachodzić równość
`f(x+T)=f(x)` (1)


W szczególności równośc musi zachodzić dla `x=-1`.

Otrzymujemy równanie

`f(-1+T)=f(-1)` (2)

Jeżeli z układu (2) uda nam się wyznaczyć `T`, to fakt ten będzie oznaczał jego istnienie.

Znajdujemy rozwiązanie
`(-1+T)^2=(-1)^2`, czyli `T=2` lub `T=0`

Drugie rozwiązanie odpada, bo okres ma być liczbą niezerową

Sprawdzamy, że `T=2` spełnia równanie (2), więc `2` jest okresem funkcji `f`.