Matematyka.pl

Przyjmijmy oznaczenia \(\displaystyle{ ABCD}\). Łącząc środek boku \(\displaystyle{ AD}\) i przekątnej \(\displaystyle{ AC}\) otrzymujemy odcinek równoległy do \(\displaystyle{ CD}\), który ma długość \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \left| CD\right| }\) oraz analogicznie łącząc \(\displaystyle{ BC}\) i środek \(\displaystyle{ AC}\) otrzymując odcinek równoległy do \(\displaystyle{ AB}\) i długości \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \left| AB\right| }\) Zauważmy, że suma tych odcinków jest średnią arytmetyczną dwóch naprzeciwległych boków, a więc jeżeli odcinek łączący środki boków \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) ma być tej długości, to odcinki te muszą leżeć na jednej prostej i być do siebie równoległe, a więc \(\displaystyle{ AB || CD}\) .
Przepraszam za zredagowanie rozwiązania jak dzban

Mamy \(\displaystyle{ f'(x)=6x^{2}-30ax+24a^{2}}\) i by funkcja różniczkowalna przyjmowała ekstremum w pewnym punkcie, jej pochodna w tymże punkcie musi się zerować. Zatem punkty \(\displaystyle{ x_{1}, \ x_{2}}\) są rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ 6x^{2}-30ax+24a^{2}=0 }\), co upraszcza się do \(\displaystyle{ x^{2}-5ax+4a^{2}=0}\), czyli \(\displaystyle{ (x-a)(x-4a)=0}\);
wobec tego jedna z liczb \(\displaystyle{ x_{1}, \ x_{2}}\) jest równa \(\displaystyle{ a}\), zaś druga wynosi \(\displaystyle{ 4a}\).
Ponadto \(\displaystyle{ f'}\) jest funkcją kwadratową zmiennej \(\displaystyle{ x}\) o dodatnim współczynniku przy najwyższym potędze, więc w \(\displaystyle{ \min\left\{a,4a\right\}}\) zmienia znak z dodatniego na ujemny, zaś w \(\displaystyle{ \max\left\{a,4a\right\}}\) zmienia znak z ujemnego na dodatni, wyjąwszy przypadek \(\displaystyle{ a=0}\), w którym to \(\displaystyle{ f'}\) jest stale nieujemna, \(\displaystyle{ f}\) jest rosnąca i warunki zadania nie są spełnione.
1) niech \(\displaystyle{ a<0}\), czyli \(\displaystyle{ 4a<a}\), wówczas \(\displaystyle{ x_{1}=4a, \ x_{2}=a}\) i równanie \(\displaystyle{ x_{1}^{2}=2x_{2}}\) prowadzi do \(\displaystyle{ 16a^{2}=2a}\), co dla \(\displaystyle{ a<0}\) nie może zajść, gdyż lewa strona jest dodatnia, a prawa – ujemna.
2) niech \(\displaystyle{ a>0}\), a więc \(\displaystyle{ a<4a}\); wtedy \(\displaystyle{ x_{1}=a, \ x_{2}=4a}\) i dostajemy równanie \(\displaystyle{ a^{2}=8a}\), tj. \(\displaystyle{ a\in \left\{0,8\right\}}\), po uwzględnieniu \(\displaystyle{ a>0}\) pozostaje \(\displaystyle{ a=8}\).

Odpowiedź: \(\displaystyle{ a=8}\)

Zauważmy, że \(\displaystyle{ \angle AEB=\angle ADB = 90^{\circ}}\). Wynika stąd, że punkty \(\displaystyle{ A, B, D, E}\) leżą na jednym okręgu, ponad to punkt \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem tego okręgu, a stąd \(\displaystyle{ EM=DM.}\) Pozostaje wykazać, że \(\displaystyle{ \angle EMD = 60^{\circ}.}\)
Oznaczmy przez \(\displaystyle{ I}\) ortocentrum tego trójkąta, licząc kąty w czworokącie \(\displaystyle{ EIDC}\) dostajemy: \(\displaystyle{ \angle EID=120^{\circ} \Rightarrow \angle DIB=60^{\circ} \Rightarrow \angle EBD=30^{\circ}.}\)
Kąt \(\displaystyle{ \angle EMD}\) jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt wpisany \(\displaystyle{ \angle EBD,}\) stąd \(\displaystyle{ \angle EMD=60^{\circ}.}\)

Funkcja \(\displaystyle{ f:\left( - \infty ,- \sqrt[4]{6} \right) \rightarrow \RR}\) dana wzorem \(\displaystyle{ f(x)= \frac{x^3}{2+x^4} }\) jest malejąca (widać to po pochodnej). Ponad to \(\displaystyle{ \left( - \infty ,-2\right] \subset \left( - \infty ,- \sqrt[4]{6} \right) }\) więc proponowana nierówność zachodzi.

Oznaczmy \(\displaystyle{ \angle ABC=x}\), wtedy \(\displaystyle{ \angle BAC=2x, \ \angle BCA=\pi-3x}\) i z twierdzenia sinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac{|AC|}{\sin x}=\frac{|BC|}{\sin (2x)}=\frac{|AB|}{\sin(3x)}}\), wszak \(\displaystyle{ \sin(\pi-t)=\sin t }\)
Korzystając ze wzorów na sinus podwojonego i potrojonego kąta mamy więc:
\(\displaystyle{ \frac{|AC|}{\sin x}=\frac{|BC|}{2\sin x\cos x}=\frac{|AB|}{3\sin x-4\sin^{3}x}}\)
Wobec tego jest:
\(\displaystyle{ |BC|=2\cos x|AC|, \ |AB|=\left(3-4\sin^{2}x\right)|AC| \ (\heartsuit)}\)
Teraz odnotujmy, że zachodzi równość
\(\displaystyle{ 4\cos^{2}x-1=3-4\sin^{2}x \ (*)}\), równoważnie bowiem \(\displaystyle{ 4\left(\sin^{2}x+\cos^{2}x\right)=4}\), tj. \(\displaystyle{ \sin^{2}x+\cos^{2}x=1}\), co jest oczywiste.
Następnie mnożymy stronami równość \(\displaystyle{ (*)}\) przez \(\displaystyle{ |AC|^{2}}\) i korzystamy z \(\displaystyle{ (\heartsuit)}\), co kończy dowód.

To już wiecie, jak rozwiązywałem planimetrię i stereometrię na maturze.

Założmy, że \(\displaystyle{ a = 0, b=1, c=2,d=3}\), wówczas \(\displaystyle{ L=14}\), a \(\displaystyle{ P=9}\), a więc faktycznie \(\displaystyle{ L \ge P}\)- co kończy dówód.

\(\displaystyle{ k= \frac{ \dd }{ \dd x }\left( x \frac{x^n-1}{x-1} \right) = \frac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2} }\)

Mamy
\(\displaystyle{ kx=x+2x^{2}+\ldots+(n-1)x^{n-1}+nx^{n}\\ k-kx=\red{1+x+x^{2}+\ldots+x^{n-1}}-nx^{n}}\)
Czerwony fragment zwijamy ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego
i wychodzi:
\(\displaystyle{ k-kx=\frac{1-x^{n}}{1-x}-nx^{n}\\k=\frac{1-x^{n}}{(1-x)^{2}} -\frac{nx^{n}}{1-x}}\)
Aha, to nie działa dla \(\displaystyle{ x=1}\), ale wtedy mamy ciąg arytmetyczny,
\(\displaystyle{ 1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}}\)

Ciąg jest rosnący, więc \(\displaystyle{ q>1.}\) Ciąg \(\displaystyle{ (a, aq, aq^2-4)}\) jest arytmetyczny, więc \(\displaystyle{ 2aq=a+aq^2-4.}\) (1)
Liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ q}\) są nieparzyste (wtedy oczywiście \(\displaystyle{ aq, aq^2}\) również), więc istnieją liczby całkowite \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y,}\) dla których \(\displaystyle{ a=2x+1}\) i \(\displaystyle{ q=2y+1.}\) Podstawiamy do (1), po przemnożeniu i po redukcji wyrazów podobnych uzyskamy ładną formę \(\displaystyle{ 8xy^2+4y^2-4=0\Rightarrow y^2(2x+1)=1.}\)
Liczby \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są całkowite, więc \(\displaystyle{ 2x+1=1}\) oraz \(\displaystyle{ y^2=1,}\) a stąd \(\displaystyle{ x=0}\) oraz \(\displaystyle{ y=1}\) (gdyby \(\displaystyle{ y=-1}\) to \(\displaystyle{ q<0}\)).
Dostajemy wartości \(\displaystyle{ (a,aq,aq^2)=(1,3,9),}\) które oczywiście spełniają warunki zadania.

Obuduję czworościan prostopadłościanem o bokach x, y, x takich że a, b, c są przekątnymi różnych ścian :
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2=x^2+y^2 \\ b^2=x^2+z^2 \\ c^2=z^2+y^2 \end{cases} }\)
więc \(\displaystyle{ V=xyz-4 \cdot \frac{1}{3} \frac{1}{2}xyz= \frac{1}{3} xyz}\)
skoro rozwiązaniem układu jest:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= \sqrt{ \frac{a^2+b^2-c^2}{2} } \\ y= \sqrt{ \frac{a^2+c^2-b^2}{2} } \\ x= \sqrt{ \frac{c^2+b^2-a^2}{2} } \end{cases} }\)
to \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3} xyz= \frac{ \sqrt{2} }{12} \sqrt{(a^2+b^2-c^2)(a^2+c^2-b^2)(c^2+b^2-a^2)} }\)

\(\displaystyle{ 4}\) można zapisać jako \(\displaystyle{ (4),(3,1),(2,2),(2,1,1),(1,1,1,1)}\)
\(\displaystyle{ 3}\) jako \(\displaystyle{ (3),(2,1),(1,1,1)}\)
\(\displaystyle{ 2}\) jako \(\displaystyle{ (2),(1,1)}\)
\(\displaystyle{ 1}\) jako \(\displaystyle{ (1)}\)
Teraz należy policzyć ile jest liczb złożonych z takich zbiorów. Będziemy liczyć łączną liczbę permutacji w czteroelementowym zbiorze dopełniając braki zerami. A następnie odejmując zdarzenia niesprzyjające - np. dla \(\displaystyle{ (4)}\) mamy \(\displaystyle{ 0004,0040,0400,4000}\), więc wyrzucamy \(\displaystyle{ 4000}\) itd.
\(\displaystyle{ (4) \rightarrow 3}\)
\(\displaystyle{ (3,1) \rightarrow 9}\)
\(\displaystyle{ (2,2) \rightarrow 5 }\)
\(\displaystyle{ (2,1,1) \rightarrow 10}\)
\(\displaystyle{ (1,1,1,1) \rightarrow 1}\)
\(\displaystyle{ (3) \rightarrow 3}\)
\(\displaystyle{ (2,1) \rightarrow 11}\)
\(\displaystyle{ (1,1,1) \rightarrow 4}\)
\(\displaystyle{ (2) \rightarrow 4}\)
\(\displaystyle{ (1,1) \rightarrow 6}\)
\(\displaystyle{ (1) \rightarrow 4}\)
Suma zdarzeń sprzyjających to \(\displaystyle{ 60}\), a więc \(\displaystyle{ P(A)= \frac{60}{2020} = \frac{3}{101} }\)

Zakładam, że chodzi o rozwiązanie w rzeczywistych. Dla \(\displaystyle{ x=1}\) łatwo sprawdzamy, że równość nie zachodzi, a dla \(\displaystyle{ x\neq 1}\) równoważnie mamy (ze woru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego lub ze wzoru na różnicę szóstych potęg, jak kto woli):
\(\displaystyle{ \frac{x^{6}-1}{x-1}=0}\)
stąd \(\displaystyle{ x^{6}=1}\), a więc skoro \(\displaystyle{ x\neq 1}\), to \(\displaystyle{ x=-1}\).