[MIX] Mix zmiksowany

[arek1357]

W zadaniu drugim coś mi nie pasi bo jak weźmiemy:

\(\displaystyle{ X=\left\{ - \infty ,...,-1,0,1, ,3,4, ,6,7,8,..., \infty \right\} a_{1}=2 , a_{2}=4}\)

\(\displaystyle{ X+2=\left\{ - \infty ,...,-1,0,1,2,3, , 5,6, ,8,9..., \infty \right\}}\)

\(\displaystyle{ X+5=\left\{ - \infty ,...,-1,0,1,2,3,4,5, ,7,8, ,10,11..., \infty \right\}}\)

\(\displaystyle{ X+2 \cup X+5=Z}\)

A takiego\(\displaystyle{ N}\) nie ma, że:

\(\displaystyle{ X=X+N}\)

Owszem zachodzi taka równość ale wtedy gdy X jest zbiorem "kawałkami" identycznym to znaczy, że można go podzielić na części, które są między sobą "identyczne", chyba, że źle rozumiem pojęcie "rozkład"...

[Kartezjusz]

Brakło Ci warunku, aby te części rozkładu były parami rozłączne . U ciebie ósemka łapie się w oba zbiory.

[arek1357]

A to teraz ma sens

A co do:29

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \frac{n!}{n^2+1} }\)

wystarczy dół rozłożyć na takie czynniki, aby każdy był mniejszy od \(\displaystyle{ n}\) , można to zrealizować podstawiając:


\(\displaystyle{ n=2(5s+1)^2}\)

Po rozkładzie otrzymamy:

\(\displaystyle{ \frac{\left( 50s^2+20s+2\right)! }{5 \cdot \left( 50s^2-10s+1\right) \cdot \left( 10s^2+6s+1\right)} }\)

Jak widać, każdy z czynników na dole jest mniejszy od:

\(\displaystyle{ 50s^2+20s+2}\)

cnd...

[Kartezjusz]

Zadanie 2

Ukryta treść:    

Z założenia, że \(\displaystyle{ X+a_{i}}\) jrst rozkładem \(\displaystyle{ \mathbb{Z} }\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,3... ,n}\)wynikają dwa stwierdzenia:
1. \(\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^{n} X + a_{i} = \mathbb{Z} }\)
2.\(\displaystyle{ \forall_{i \neq j} (X+a_{i} ) \cap (X + a_{j} ) = \emptyset}\)
Założymy wbrew tezie , że
3.\(\displaystyle{ \forall_{N \in \mathbb{N} } X \neq X+N }\)
Pokażemy, że pierwszy warunek jest sprzeczny z dwoma pozostałymi

Z (3) wynika, że istnieje ciąg \(\displaystyle{ b_{i} \in X}\), taki, że dla każdej \(\displaystyle{ i \in \mathbb{N}}\)
\(\displaystyle{ b_{i} + a_{i} \notin X }\). Z (2) wynika natomiast wynika, że wszystkie elementy\(\displaystyle{ \{ b_{i}+a_{i} \ \colon \ i \in \mathbb{N} \}}\) są parami różne, zatem nasz rozkład nie jest w stanie pokryć X, a co dopiero \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\)

[Dasio11]

Zadanie 2

Ukryta treść:    

Z (2) wynika natomiast wynika, że wszystkie elementy\(\displaystyle{ \{ b_{i}+a_{i} \ \colon \ i \in \mathbb{N} \}}\) są parami różne, zatem nasz rozkład nie jest w stanie pokryć X, a co dopiero \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\)

Wątpliwość:    

Skąd wnioskujesz, że rozkład nie pokrywa \(\displaystyle{ X}\)?

[arek1357]

zad. 2 też mam swoje wątpliwości do swojego toku:

Ukryta treść:    

Bo miałem jeszcze inny pomysł co do tego zadania

\(\displaystyle{ \varphi: \ZZ \ni x \rightarrow e^{ix}}\) -okrąg jednostkowy

Jest to też homomorfizm grup...nawet wydaje się to być izomorfizm bo:

\(\displaystyle{ \ker (\varphi)=\left\{ 0\right\} }\)

Obrazem liczb całkowitych będzie przeliczalny zbiór na okręgu, tworzący grupę...

Przeliczalny bo żadna całkowita nie pokryje \(\displaystyle{ \pi}\) ani jego wielokrotności oprócz zera....

Choć nie musi być gęsty , ale może...

I teraz obrazem zbioru \(\displaystyle{ X}\) na kole będzie jakiś ładny symetryczny zbiór:

\(\displaystyle{ Y=\varphi(X)}\)

Przesunięciom odpowiadają obroty o jakiś kąt

\(\displaystyle{ X+a_{i} \rightarrow obr(Y)}\)


Oczywiście nie wchodzi tu obrót o kąt \(\displaystyle{ 2\pi}\) bo nie ma takiego odpowiednika w przeciwobrazie czyli liczbach całkowitych, kąt powinien mieć wartość "całkowitą"...

bo.: \(\displaystyle{ \varphi(X+a_{i})}\) jest obrotem zbioru \(\displaystyle{ Y}\) o kąt:\(\displaystyle{ a_{i}}\) , znaczy, że cały obraz \(\displaystyle{ \ZZ}\)

Powstaje na skutek kilku obrotów \(\displaystyle{ Y}\) , czyli jak gdyby \(\displaystyle{ \ZZ}\) jest mnogościową sumą "klonów" zbioru \(\displaystyle{ Y}\)


I teraz jakbyśmy nasz okrąg z tymi punktami (obrazami liczb całkowitych) potraktowali jako zbiór na który działa grupa obrotów o kąty "całkowite"...

No tak ale stabilizator \(\displaystyle{ X}\) jest podgrupą normalną , a wszystkie jego warstwy wyznaczają całą grupę , a warstw jak wynika z zadania
jest \(\displaystyle{ n}\) więc stabilizator nie może być zbiorem jednoelementowym (bo nasza grupa nie byłaby przeliczalna) bingo ....!!!!

Znaczy, że w stabilizatorze istnieje element, nietrywialny który nie rusza zbioru \(\displaystyle{ Y}\)

A co za tym idzie wszystko przenosi się na \(\displaystyle{ \ZZ}\) i zbiór \(\displaystyle{ X}\)...

[Dasio11]

Ukryta treść:    

No tak ale stabilizator \(\displaystyle{ X}\) jest podgrupą normalną , a wszystkie jego warstwy wyznaczają całą grupę , a warstw jak wynika z zadania
jest \(\displaystyle{ n}\) więc stabilizator nie może być zbiorem jednoelementowym

Ukryta treść:    

W jaki sposób wynika z zadania, że warstw jest \(\displaystyle{ n}\)?

[arek1357]

Tak to na razie nie zadziała...

[Dasio11]

Ponieważ jestem pewien, że wskazanych wyżej luk nie da się uzupełnić, zamieszczam swoje rozwiązanie:

2:    

Bez straty ogólności \(\displaystyle{ a_1 < \ldots < a_n}\), niech \(\displaystyle{ A = \{ a_1, \ldots, a_n \}}\). Zbiór \(\displaystyle{ X}\) spełniający założenia zadania musi oczywiście być nieograniczony z góry i z dołu, zatem można go zapisać w postaci

\(\displaystyle{ X = \{ x_j : j \in \ZZ \}}\),

gdzie \(\displaystyle{ \left< x_j \right>_{j \in \ZZ}}\) jest rosnącym ciągiem indeksowanym liczbami całkowitymi. Wtedy założenia mówią, że \(\displaystyle{ \ZZ}\) rozkłada się na zbiory skończone \(\displaystyle{ \{ x_j + A : j \in \ZZ \}}\).

Dalej dla \(\displaystyle{ J \in \ZZ}\) niech

\(\displaystyle{ B_J = \bigcup_{j \le J} x_j + A \\
C_J = \bigcup_{j > J} x_j + A = \ZZ \setminus B_J.}\)

Z jednej strony \(\displaystyle{ B_J}\) jest ograniczony z góry przez \(\displaystyle{ x_J + a_n}\), czyli \(\displaystyle{ B_J \subseteq (-\infty, x_J + a_n]}\). Z drugiej zaś strony \(\displaystyle{ C_J}\) jest ograniczony z dołu przez \(\displaystyle{ x_{J+1}+a_1}\), co w połączeniu z \(\displaystyle{ x_{J+1} > x_J}\) daje \(\displaystyle{ (-\infty, x_J+a_1] \subseteq B_J}\). A zatem \(\displaystyle{ (-\infty, b_0] \subseteq B_J \subseteq (-\infty, b_0+d]}\), gdzie \(\displaystyle{ b_0 = x_J+a_1, d = a_n - a_1}\).

Zauważmy, że zbiory \(\displaystyle{ B}\) takie jak wyżej, czyli takie że \(\displaystyle{ (-\infty, b] \subseteq B \subseteq (-\infty, b+d]}\) dla pewnego \(\displaystyle{ b \in \ZZ}\), mają skończenie wiele orbit ze względu na przesunięcia, a dokładniej:

\(\displaystyle{ \{ \{ p + B : p \in \ZZ \} : B \text{ jak wyżej} \}}\)

jest zbiorem mocy nie większej niż \(\displaystyle{ 2^d}\). W związku z tym istnieją liczby całkowite \(\displaystyle{ I < J}\), takie że \(\displaystyle{ B_J = p + B_I}\) dla pewnego \(\displaystyle{ p > 0}\). Przesuwając w razie potrzeby indeksy w ciągu \(\displaystyle{ \left< x_j \right>}\) możemy założyć, że \(\displaystyle{ I = 0}\). Wykażemy, że

\(\displaystyle{ (\forall j \in \ZZ) \, x_{j+J} = p + x_j}\),

skąd już łatwo widać, że \(\displaystyle{ X = p + X}\).

Zauważmy więc, że dopełniając stronami równość \(\displaystyle{ B_J = p + B_0}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ C_J = p + C_0}\), a zatem

\(\displaystyle{ x_{J+1} + a_1 = \min C_J = \min ( p + C_0 ) = p + \min C_0 = p + x_1 + a_1}\),

czyli po prostu \(\displaystyle{ x_{J+1} = p + x_1}\). Stąd zaś

\(\displaystyle{ B_{J+1} = B_J \cup (x_{J+1} + A) = (p + B_0) \cup (p + x_1 + A) = p + \big( B_0 \cup (x_1+A) \big) = p + B_1}\)

i postępując dalej w ten sposób widzimy, że żądana równość zachodzi dla wszystkich \(\displaystyle{ j > 0}\).

Analogicznie:

\(\displaystyle{ x_J + a_n = \max B_J = \max \big( p + B_0 \big) = p + \max B_0 = p + x_0 + a_n}\)

czyli \(\displaystyle{ x_J = p + x_0}\), a także

\(\displaystyle{ B_{J-1} = B_J \setminus (x_J + A) = (p + B_0) \setminus (p + x_0 + A) = p + \big( B_0 \setminus (x_0+A) \big) = p + B_{-1}}\)

i tak dalej, co wykazuje naszą równość dla \(\displaystyle{ j \le 0}\) i tym samym kończy dowód. \(\displaystyle{ \square}\)

[Kartezjusz]

zadanie 5 -wątpliwość

Ukryta treść:    

dla \(\displaystyle{ b=0 , a \neq 0}\). Jedyny ciąg geometryczny o \(\displaystyle{ b=0}\) to ciąg zer. Jeśli \(\displaystyle{ a \neq 0}\), co najwyżej jeden wyraz tego ciągu będzie równy zeru, zatem nie da się wybrać podciągu zerowego. Podejrzewam, że takich obostrzeń będzie więcej.

Dodano po 1 dniu 48 minutach 24 sekundach:

Ukryta treść:    

W zadaniu 7 użyłeś metody przybliżeń i oddaleń - Na czym ona polega? Czy to jest ten fakt, że dla liczb o stałym iloczynie suma rośnie im większa jest ich różnica?

[Premislav]

Tak, o to mi chodziło, choć metoda jest znacznie ogólniejsza, to akurat trywialniejsze przypadki. Ogólniej o metodzie zbliżeń patrz na przykład tutaj:

Kod: Zaznacz cały

http://www.deltami.edu.pl/temat/matematyka/analiza/2018/06/26/1986-03-hajlasz.pdf

23. niezły troll:    

\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b = 9 \\ ab+c+d = 29 \\ ad+bc=3 \\ cd=18 \end{cases}}\)
to układ równań, który naturalnie kojarzy się z rozkładem wielomianu \(\displaystyle{ P(x)=x^{4}+9x^{3}+29x^{2}+3x+18}\) na iloczyn wielomianów stopnia drugiego: \(\displaystyle{ P(x)=\left(x^{2}+ax+c\right)\left(x^{2}+bx+d\right)}\)
Przedstawienie tego wielomianu w postaci różnicy kwadratów sprowadza zaś tenże problem do rozwiązania równania sześciennego, ale gorąco nie polecam. Wątpię, by istniał ładniejszy sposób na rozwiązanie, aczkolwiek zawsze mogę się mylić…
Generalnie zapisujemy
\(\displaystyle{ x^{4}+9x^{3}+29x^{2}+3x+18=\left(x^{2}+\frac{9}{2}x+t\right)^{2}-\left(\red{(2t-29)x^{2}+(9t-3)x+t^{2}-18}\right)}\)
przy czym \(\displaystyle{ t}\) dobieramy w taki sposób, aby trójmian kwadratowy zaznaczony na czerwono miał wyróżnik równy zeru.
To zaś prowadzi nas do równania
\(\displaystyle{ (9t-3)^{2}-4(2t-29)\left(t^{2}-18\right)=0}\)
które ma bardzo brzydkie pierwiastki, można je wyliczyć ze wzorów Cardana. Żebyście nie myśleli, że przesadzam z tą brzydotą, wezmę jeden od wujcia Wolframa:
\(\displaystyle{ t= \frac{1}{48}\left(394 - \frac{40969\left(1 + i \sqrt{3}\right)}{\left(6487397 + 2160i \sqrt{5718121}\right)^{\frac{1}{3}}}+ i\left(\sqrt{3} + i\right) \left(6487397 + 2160i \sqrt{5718121}\right)^{\frac{1}{3}}\right) }\)
Smacznego!

Czasami daje się łatwiej zgadnąć taki rozkład, ale nie słyszałem o ogólnej metodzie zgadywania, a tutaj nie widzę wielkiej nadziei.

[mol_ksiazkowy]

18 cd

Ukryta treść:    

Dla \(\displaystyle{ n=1}\) jest to twierdzenie Kroneckera; gdy \(\displaystyle{ N > \frac{1}{\epsilon} }\) należy rozważyć \(\displaystyle{ N+1}\) liczb \(\displaystyle{ \{ ma \} }\) gdy \(\displaystyle{ 1 \leq m \leq N+1}\) i użyć zsD dla \(\displaystyle{ N}\) szufladek
\(\displaystyle{ < \frac{0}{N}, \frac{1}{N} ), ..., < \frac{N-1}{N}, \frac{N}{N} )}\).

[Kartezjusz]

Zadanie 21

Ukryta treść:    

Połóżmy \(\displaystyle{ y=0}\) wówczas nasza nierówność jest postaci \(\displaystyle{ x^{2} \le |f(x)-f(0)| \le x}\)
Niech \(\displaystyle{ g(x)=|f(x)-f(0)|}\). Wówczas - z braku innych założeń mamy informację, że \(\displaystyle{ g(x) }\) może być funkcją, której wykres mieści się w soczewce wykreślonej wykresami \(\displaystyle{ y=x}\) oraz \(\displaystyle{ y=x^{2}}\) Teraz warto zauważyć , że f to są przesunięcia i odbicia względem osi x funkcji g i jej przesunięć.

[Dasio11]

Zadanie 21

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ g(x)=|f(x)-f(0)|}\). Wówczas - z braku innych założeń mamy informację, że \(\displaystyle{ g(x) }\) może być funkcją, której wykres mieści się w soczewce wykreślonej wykresami \(\displaystyle{ y=x}\) oraz \(\displaystyle{ y=x^{2}}\)

Ukryta treść:    

Co to znaczy, że \(\displaystyle{ g(x)}\) może być taką funkcją? Twierdzisz, że warunki zadania spełnia każda funkcja \(\displaystyle{ f}\), dla której wykres \(\displaystyle{ |f(x)-f(0)|}\) jest ograniczony wykresami \(\displaystyle{ y=x}\) i \(\displaystyle{ y=x^2}\)?

[Kartezjusz]

Można prosić o kontrprzykład?