Matematyka.pl

Niepokonana pisze: 28 lis 2019, o 22:53Pierwszy raz w życiu słyszę o dowodzenie, który nie jest napisany samymi działaniami. O.O

No i to jest właśnie tragedia...

MrCommando pisze: 28 lis 2019, o 22:56

Niepokonana pisze: 28 lis 2019, o 22:53 Jeżeli \(\displaystyle{ a+b+c}\) jest liczbą parzystą to wartość wielomianu \(\displaystyle{ q(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx}\) dla dowolnej zmiennej x należącej do zbioru liczb całkowitych jest liczbą parzystą.

Ale przecież właśnie to mieliśmy rozpisać i uzasadnić szczegółowo, że faktycznie dla dowolnej zmiennej całkowitej \(\displaystyle{ x}\) mamy \(\displaystyle{ 2 \mid q(x)}\).

Teraz widzisz, dlaczego słowami wcale nie jest łatwiej - każde "oszustwo" widać, nie schowasz się za znaczkami...

JK

Wie Pan doktor, że w sumie to nigdy mi nawet nie powiedziano co to jest dowód? Powiedziano mi tylko, że się kończy go kwadracikiem albo słowami "co należało udowodnić". Jeszcze większa tragedia.


To wynika z zasad dodawania i odejmowania.
Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ a,b,c}\) są wszystkie parzyste. W takim wypadku mamy sumę trzech liczb parzystych, a taka suma jest zawsze liczbą parzystą. Oczywiście, gdy liczbę całkowitą przemnożymy przez dowolną liczbę parzystą, uzyskamy liczbę parzystą. Czyli w takim przypadku otrzymujemy liczbę parzystą.

Przypuśćmy, że dwie z liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\) są nieparzyste, trzecia jest parzysta. W takim przypadku mamy sumę dwóch liczb nieparzystych, czyli liczbę parzystą, dodać liczbę parzystą, czyli ostatecznie liczbę parzystą. Jeżeli przemnożymy dowolną liczbę nieparzystą \(\displaystyle{ x}\) przez liczbę również nieparzystą, a następnie tę samą liczbę nieparzystą \(\displaystyle{ x}\) pomnożymy przez inną nieparzystą liczbę i dodamy do pierwszego wyniku, również otrzymamy liczbę parzystą.

W każdym innym przypadku suma \(\displaystyle{ a+b+c}\) jest nieparzysta, czyli są tylko te dwa przypadki.

Pełna treść zadania brzmi *

Dany jest wielomian \(\displaystyle{ w(x) = ax^3 +bx^2 +cx + d }\) o współczynnikach całkowitych \(\displaystyle{ a, b, c, d. }\) Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ w(0), w(1) }\) są liczbami nieparzystymi, to wielomian nie ma pierwiastków całkowitych.

dlatego stwierdzenie
" szkolne wielomiany z definicji mają pierwiastki całkowite " jest w tym przypadku nieprawdziwe.

(*) Aleksander Śnieżek, Paweł Tęcza. Zbiór zadań z algebry dla szkół średnich. WSP Warszawa 1994.

janusz47 pisze: 30 lis 2019, o 11:11dlatego stwierdzenie
" szkolne wielomiany z definicji mają pierwiastki całkowite " jest w tym przypadku nieprawdziwe.

Na wszelki wypadek przypomnę, że nic takiego nie twierdziłem:

Jan Kraszewski pisze: 28 lis 2019, o 21:14Szkolne wielomiany z definicji mają współczynniki całkowite...

Przy czym moje użycie sformułowania "z definicji" oczywiście nie jest formalne...

JK

Niepokonana pisze: 29 lis 2019, o 14:04To wynika z zasad dodawania i odejmowania.
Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ a,b,c}\) są wszystkie parzyste. W takim wypadku mamy sumę trzech liczb parzystych, a taka suma jest zawsze liczbą parzystą. Oczywiście, gdy liczbę całkowitą przemnożymy przez dowolną liczbę parzystą, uzyskamy liczbę parzystą. Czyli w takim przypadku otrzymujemy liczbę parzystą.

Przypuśćmy, że dwie z liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\) są nieparzyste, trzecia jest parzysta. W takim przypadku mamy sumę dwóch liczb nieparzystych, czyli liczbę parzystą, dodać liczbę parzystą, czyli ostatecznie liczbę parzystą. Jeżeli przemnożymy dowolną liczbę nieparzystą \(\displaystyle{ x}\) przez liczbę również nieparzystą, a następnie tę samą liczbę nieparzystą \(\displaystyle{ x}\) pomnożymy przez inną nieparzystą liczbę i dodamy do pierwszego wyniku, również otrzymamy liczbę parzystą.

W każdym innym przypadku suma \(\displaystyle{ a+b+c}\) jest nieparzysta, czyli są tylko te dwa przypadki.

Lepiej, ale powinnaś dokładniej sformułować, co robisz. Wygłaszasz stwierdzenia w stylu "W takim wypadku mamy sumę trzech liczb parzystych, a taka suma jest zawsze liczbą parzystą.", ale nie bardzo wiadomo, o jakie liczby chodzi. A akurat nie chodzi o \(\displaystyle{ a+b+c}\), co można by wnioskować z Twojego rozumowania.

Powinno być tak.
Przypuśćmy, że liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) są wszystkie parzyste, a \(\displaystyle{ x_0}\) dowolną liczbą całkowitą. Wówczas liczby \(\displaystyle{ ax_0^3, bx_0^2}\) oraz \(\displaystyle{ cx_0}\) również są parzyste. Wiemy też, że liczba \(\displaystyle{ d=w(0)}\) jest nieparzysta. Stąd liczba \(\displaystyle{ w(x_0)=ax_0^3+bx_0^2+cx_0+d}\) jest liczbą nieparzystą jako suma trzech liczb parzystych i jednej nieparzystej. W szczególności \(\displaystyle{ w(x_0)\ne 0}\), co oznacza, że liczba \(\displaystyle{ x_0}\) nie jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ w(x)}\).

Tak samo opisujesz drugi przypadek. Oczywiście wcześniej jest cały akapit wyjaśniający, dlaczego rozpatrujesz te dwa przypadki.

JK

Panie Januszu, skąd ma Pan moje zbiory zadań? O.O
Ok, to ja może zacznę od początku.
Współczynniki wielomianu są całkowite. Rozpatrujemy wartości funkcji dla argumentów całkowitych.
Mamy wielomian \(\displaystyle{ w(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}\) Wiemy, że \(\displaystyle{ w(0)=d}\) jest liczbą nieparzystą,czyli \(\displaystyle{ d}\) jest liczbą nieparzystą. Wiemy również, że \(\displaystyle{ w(1)=a\cdot 1^{3}+b\cdot 1^{2}+c\cdot 1+d=a+b+c+d }\) jest liczbą nieparzystą. Skoro \(\displaystyle{ d}\) jest nieparzyste, to suma \(\displaystyle{ a+b+c}\) jest liczbą parzystą.
Skoro jest liczbą parzystą, to są dwie możliwe kombinacje liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\). Albo dwie z nich są nieparzyste i trzecia parzysta, albo wszystkie są parzyste. W każdym innym przypadku ich suma będzie nieparzysta.
Rozpatrzmy dla argumentów nieparzystych liczbę \(\displaystyle{ ax^{3}+bx^{2}+cx}\), wszakże liczba \(\displaystyle{ ax^{3}+bx^{2}+cx}\) dla wszystkich argumentów parzystych jest parzysta niezależnie od \(\displaystyle{ a,b,c}\).

Jeżeli \(\displaystyle{ a,b,c}\) są wszystkie parzyste to mamy sumę trzech iloczynów liczby parzystej przez nieparzystą. Iloczyn liczby parzystej pomnożonej przez liczbę parzystą jest liczbą parzystą. Więc mamy sumę trzech liczb parzystych czyli liczbę parzystą.

Jeżeli dwie z liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\) są nieparzyste a trzecia parzysta mamy sumę dwóch iloczynów liczb nieparzystych przez nieparzystą i jednego iloczynu liczby parzystej razy liczbę nieparzystą.
Liczba nieparzysta pomnożona przez nieparzystą jest liczbą nieparzystą. Suma jakichkolwiek dwóch liczb nieparzystych jest liczbą parzystą. Czyli w tym przypadku mamy sumę dwóch liczb parzystych czyli liczbę parzystą.

Z tego wynika, że wielomian \(\displaystyle{ q(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx}\) dla argumentów całkowitych przyjmuje wartości parzyste. Liczba \(\displaystyle{ ax^{3}+bx^{2}+cx}\) jest parzysta.

Pierwiastek wielomianu to argument, dla którego wartość wielomianu wynosi \(\displaystyle{ 0}\).
Nasz wielomian \(\displaystyle{ w(x)}\) to suma liczby parzystej \(\displaystyle{ ax^{3}+bx^{2}+cx}\) i nieparzystej \(\displaystyle{ d}\).
Suma liczby parzystej i nieparzystej nie może być zerem. Wynikiem sumy dwóch liczb jest zero wtedy i tylko wtedy, gdy są to dwie liczby przeciwne, czyli nie w tym przypadku.
A więc wielomian \(\displaystyle{ w(x)}\) nie ma pierwiastków wśród liczb całkowitych. Co należało udowodnić.

OK. A teraz zrób to zadanie przy założeniu, że \(w(2019)\) i \(w(-1234)\) są nieparzyste

Coś źle napisałam, że dla tych konkretnych przykładów się nie zgadza? Ale co.
No ja wiem, gdyby na takim forum był jakiś polonista, to by mnie zastrzelił za te wszystkie powtórzenia. Na szczęście nie ma tu polonistów.

Dodano po 1 minucie 38 sekundach:
Skoro \(\displaystyle{ w(-1234)}\) jest nieparzyste, to \(\displaystyle{ d}\) jest nieparzyste...

Nie, dlaczego coś ma się nie zgadzać? Zmieniłem założenia i chciałbym, żebyś udowodniła ciut inne twierdzenie. A potem żebyś wyciągnęła jeszcze bardziej ogólny wniosek.

Tak własnie robi się matematykę: patrzy się na to, co tak naprawdę jest istotne w dowodzie a potem osłabia się założenia i wzmacnia tezę. A czasem dochodzi się do prostszych dowodów

Miłej zabawy

Niepokonana pisze: 30 lis 2019, o 13:50Współczynniki wielomianu są całkowite. Rozpatrujemy wartości funkcji dla argumentów całkowitych.
Mamy wielomian \(\displaystyle{ w(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}\) Wiemy, że \(\displaystyle{ w(0)=d}\) jest liczbą nieparzystą,czyli \(\displaystyle{ d}\) jest liczbą nieparzystą. Wiemy również, że \(\displaystyle{ w(1)=a\cdot 1^{3}+b\cdot 1^{2}+c\cdot 1+d=a+b+c+d }\) jest liczbą nieparzystą. Skoro \(\displaystyle{ d}\) jest nieparzyste, to suma \(\displaystyle{ a+b+c}\) jest liczbą parzystą.
Skoro jest liczbą parzystą, to są dwie możliwe kombinacje liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\). Albo dwie z nich są nieparzyste i trzecia parzysta, albo wszystkie są parzyste. W każdym innym przypadku ich suma będzie nieparzysta.

OK.

Niepokonana pisze: 30 lis 2019, o 13:50Rozpatrzmy dla argumentów nieparzystych liczbę \(\displaystyle{ ax^{3}+bx^{2}+cx}\), wszakże liczba \(\displaystyle{ ax^{3}+bx^{2}+cx}\) dla wszystkich argumentów parzystych jest parzysta niezależnie od \(\displaystyle{ a,b,c}\).

Mówienie o "rozpatrywaniu liczby dla argumentów nieparzystych" jest niezręczne, bo liczba nie ma argumentów. Lepiej napisać, że "wartościach wielomianu \(\displaystyle{ ax^{3}+bx^{2}+cx}\) dla argumentów nieparzystych"

Niepokonana pisze: 30 lis 2019, o 13:50Jeżeli \(\displaystyle{ a,b,c}\) są wszystkie parzyste to mamy sumę trzech iloczynów liczby parzystej przez nieparzystą. Iloczyn liczby parzystej pomnożonej przez liczbę parzystą jest liczbą parzystą. Więc mamy sumę trzech liczb parzystych czyli liczbę parzystą.

OK, ale iloczyn nie jest pomnożony, więc "Iloczyn liczb parzystych jest..." lub "Liczba parzysta pomnożona przez liczbę parzystą jest liczbą parzystą". Ponadto poprzednie zdanie jest pomyłką, bo tu rozważasz "Iloczyn liczby parzystej i liczby nieparzystej jest..." lub "Liczba parzysta pomnożona przez liczbę nieparzystą jest liczbą parzystą".

Niepokonana pisze: 30 lis 2019, o 13:50Jeżeli dwie z liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\) są nieparzyste a trzecia parzysta mamy sumę dwóch iloczynów liczb nieparzystych przez nieparzystą i jednego iloczynu liczby parzystej razy liczbę nieparzystą.

Ta sama uwaga, co powyżej.

Niepokonana pisze: 30 lis 2019, o 13:50Liczba nieparzysta pomnożona przez nieparzystą jest liczbą nieparzystą. Suma jakichkolwiek dwóch liczb nieparzystych jest liczbą parzystą. Czyli w tym przypadku mamy sumę dwóch liczb parzystych czyli liczbę parzystą.

OK, choć można ciut staranniej.

Niepokonana pisze: 30 lis 2019, o 13:50Z tego wynika, że wielomian \(\displaystyle{ q(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx}\) dla argumentów całkowitych przyjmuje wartości parzyste. Liczba \(\displaystyle{ ax^{3}+bx^{2}+cx}\) jest parzysta.

OK, ale po co w drugim zdaniu powtarzasz to samo, co napisałaś w zdaniu pierwszym?

Niepokonana pisze: 30 lis 2019, o 13:50Pierwiastek wielomianu to argument, dla którego wartość wielomianu wynosi \(\displaystyle{ 0}\).
Nasz wielomian \(\displaystyle{ w(x)}\) to suma liczby parzystej \(\displaystyle{ ax^{3}+bx^{2}+cx}\) i nieparzystej \(\displaystyle{ d}\).
Suma liczby parzystej i nieparzystej nie może być zerem. Wynikiem sumy dwóch liczb jest zero wtedy i tylko wtedy, gdy są to dwie liczby przeciwne, czyli nie w tym przypadku.
A więc wielomian \(\displaystyle{ w(x)}\) nie ma pierwiastków wśród liczb całkowitych. Co należało udowodnić.

OK, ale to nie wielomian jest sumą liczb, tylko jego wartość.

JK

\(\displaystyle{ a,b,c,d}\) i argumenty funkcji są nadal całkowite.
No tak jak mówię \(\displaystyle{ ax^{3}+bx^{2}+cx}\) dla każdej wartości parzystej jest parzyste niezależnie od \(\displaystyle{ a,b,c}\), bo to jest suma trzech iloczynów liczb parzystych, więc \(\displaystyle{ d}\) musi być nieparzyste, żeby \(\displaystyle{ w(-1234)}\) było nieparzyste.

Skoro \(\displaystyle{ d}\) jest nieparzyste, to żeby \(\displaystyle{ w(2019)}\) było nieparzyste, liczba \(\displaystyle{ a\cdot 2019^{3}+b\cdot 2019^{2}+c\cdot 2019}\) musi być parzysta. Wiadomo, że dowolna potęga liczby nieparzystej o wykładniku naturalnym jest nieparzysta. Czyli nasza liczba \(\displaystyle{ a\cdot 2019^{3}+b\cdot 2019^{2}+c\cdot 2019}\) jest sumą trzech iloczynów liczb nieparzystych przez liczby... No właśnie jakie?
Dwie z liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\) muszą być nieparzyste a trzecia parzysta lub wszystkie trzy parzyste, żeby suma iloczynów przez liczby nieparzyste była liczbą parzystą.
Jeżeli wszystkie liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) są parzyste to mamy sumę trzech iloczynów liczb parzystych mnożonych przez liczby nieparzyste. Czyli liczbę parzystą, czyli dla a,b,c podzielnych przez dwa mamy parzystą liczbę \(\displaystyle{ a\cdot 2019^{3}+ b\cdot 2019^{2}+ c\cdot 2019}\).

Jeżeli dwie z liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\) są nieparzyste a trzecia parzysta to mamy sumę dwóch iloczynów dwóch liczb nieparzystych i iloczynu liczby parzystej pomnożonej przez nieparzystą. Iloczyn liczby nieparzystej pomnożonej przez nieparzystą jest liczbą nieparzystą. Suma dwóch liczb nieparzystych jest liczbą parzystą. Czyli ostatecznie nasza liczba \(\displaystyle{ ax^{3}+bx^{2}+cx}\) jest sumą dwóch liczb parzystych czyli liczbą parzystą.

Nasz wielomian \(\displaystyle{ w(x)}\) jest więc sumą liczby parzystej i nieparzystej. Suma liczby nieparzystej i parzystej nie może być równa zero, bo nie są to liczby przeciwne, a więc nasz wielomian \(\displaystyle{ w(x)}\) nie ma pierwiastków wśród liczb całkowitych. Co należało udowodnić.

Tak, wiem, powinnam już coś zauważać. Zawsze kończymy z sumą liczby parzystej i nieparzystej.
Myślę, że jeżeli \(\displaystyle{ a+b+c}\) jest parzysta a \(\displaystyle{ d}\) nieparzysta to wielomian nie będzie miał pierwiastków wśród liczb całkowitych. Ale mogę się mylić.

Czytałam, że matematycy piszą dowody tak, żeby były piękne. A ja się nie znam na koncepcji piękna, co jest piękne a co nie jest, więc moje dowody mogą być brzydkie.

Dodano po 4 minutach 5 sekundach:
Ok, Panie doktorze napisałam to nie najlepiej, ale dowód działa. Nie chciało mi się wprowadzać wielomianu \(\displaystyle{ q(x)}\) to zamiast tego nazwałam go liczbą.

Ano fakt zdanie jest pomyłką, powinno być iloczyn liczby parzystej przez nieparzystą jest liczbą parzystą.

Jeżeli dwie z liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\) są nieparzyste to mamy sumę dwóch iloczynów liczb nieparzystych i jednego iloczynu liczby parzystej przez nieparzystą.

OK. Doszłas do sedna.

A teraz powiedz, czy konkretne liczby \(2019\) i \(-1234\) były istotne, czy raczej jakies ich włąsności?

No ja myślę, że raczej ich własności, konkretniej ich podzielność przez dwa lub jej brak.

Ok. To spróbuj sformułować ogólniejsze twierdzenie.

Jest to dobry zbiór zadań z algebry dla szkół średnich. Drugim zbiorem równie dobrym jest zbiór zadań z geometrii płaszczyzny dla szkół średnich tych samych autorów.

Z treści zadania wynika, że liczbami całkowitymi nieparzystymi są liczby \(\displaystyle{ w(0) = d, \ \ w(1) = a+b+c+d. }\) Gdyby pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ w(x)}\) była liczba całkowita parzysta \(\displaystyle{ l_{1} = 2k, \ \ k\in \ZZ, }\) to musi zachodzić równość

\(\displaystyle{ w(2k) = 8ak^3 +4bk^2 +2ck +d = 0 \ \ (1) }\)

co jest niemożliwe, bo trzy pierwsze składniki sumy są parzyste, a \(\displaystyle{ d }\) jest liczbą nieparzystą więc ich suma nie jest zerem (bo suma trzech liczb parzystych jest liczbą parzystą, a \(\displaystyle{ d}\) jest liczbą nieparzystą)

Podobnie rozumując, jeśli pierwiastkiem wielomianu jest liczba nieparzysta \(\displaystyle{ l_{2} = 2k +1, \ \ k\in \ZZ, }\) to muszą zachodzić równości

\(\displaystyle{ w(2k+1)= a( 2k+1)^3 + b( 2k+1)^2 + c(2k+1) +d = a(8k^3 +12k +6k +1) + b(4k^2 +4k + 1) +c(2k) + d = \\ = a(8k^3 +12k +6k) + b(4k^2 +4k) +2ck + (a +b +c +d) =0 \ \ (2)}\)

Wykorzystując fakt, że liczba \(\displaystyle{ (a +b + c + d) }\) jest liczbą całkowitą nieparzystą, stwierdzamy że równość \(\displaystyle{ (2)}\) jest także niemożliwa do spełnienia. Pierwiastkiem wielomianu nie może więc być liczba całkowita nieparzysta.
co kończy dowód

Na całym świecie we wszystkich szkołach zbiór liczb całkowitych jest oznaczany literą \(\displaystyle{ \ZZ }\) od pierwszej litery słowa niemieckiego "Zahlen" - liczby.

Tylko w szkołach polskich na oznaczenie tego zbioru używa się litery \(\displaystyle{ \CC. }\) Litera ta na całym świecie wykorzystywana jest na oznaczenie zbioru liczb zespolonych (jak stwierdził Pan Kraszewski) od pierwszej litery słowa angielskiego "Complex" - zespolony.