Matematyka.pl

Można skorzystać z zasady indukcji matematycznej. Zauważmy, że dla \(\displaystyle{ n=2}\) żądana nierówność jest prawdziwa (zacząłem od dwójki, bo dla \(\displaystyle{ n=1}\) zapis \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{0}}\) wyglądałby dosyć dziwnie - chyba że przyjmiemy, że taka suma jest równa zeru; wtedy jest w porządku). Przypuśćmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}, n \geq 2}\) prawdą jest, że \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n a_kb_k=\sum_{k=1}^{n-1}(a_k-a_{k+1})B_k+a_nB_n}\). Pokażemy, że taka równość prawdziwa jest też dla \(\displaystyle{ n+1}\), tzn. \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} a_kb_k=\sum_{k=1}^{n}(a_k-a_{k+1})B_k+a_{n+1}B_{n+1}}\). Rozpisując na pałę lewą stronę i korzystając z założenia indukcyjnego otrzymamy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} a_kb_k=\\ =\sum_{k=1}^{n} a_kb_k+a_{n+1}b_{n+1}=\sum_{k=1}^{n-1}(a_k-a_{k+1})B_k+a_nB_n+a_{n+1}b_{n+1}=\\ =\sum_{k=1}^{n}(a_k-a_{k+1})B_k-(a_n-a_{n+1})B_n+a_nB_n+a_{n+1}b_{n+1}=\\=\sum_{k=1}^{n}(a_k-a_{k+1})B_k+a_{n+1}(B_n+b_{n+1})= \sum_{k=1}^{n}(a_k-a_{k+1})B_k+a_{n+1}B_{n+1}}\),
czyli wszystko wyszło tak jak chcieliśmy. Zatem na mocy zasady indukcji matematycznej teza dana równość zachodzi dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) większej od dwóch.

Dzięki za pomoc!
Niestety nie rozumiem fragmentu \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} a_{k}b_{k} +a_{n+1}b_{n+1}=\sum_{k=1}^{n} (a_{k}-a_{k+1})B_{k}+a_{n}B_{b}+a_{n+1}b_{n+1}}\)
Jeśli odejmiemy obustronnie \(\displaystyle{ a_{n+1}b_{n+1}}\) to zostaje nam \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} a_{k}b_{k} =\sum_{k=1}^{n} (a_{k}-a_{k+1})B_{k}+a_{n}B_{b}}\)
i dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{1}a_{1}b_{1} =\sum_{k=1}^{1} (a_{1}-a_{1+1})B_{1}+a_{1}B_{1}}\) czyli \(\displaystyle{ a_{1}b_{1}=(a_{1}-a_{2})b_{1}+a_{1}b_{1}}\) a \(\displaystyle{ (a_{1}-a_{2})b_{1}+a_{1}b_{1}=a_{1}b_{1}-a_{2}b{1}+a_{1}b_{1}}\) a to nie jest to samo co \(\displaystyle{ a_{1}b_{1}}\)

Hg34tY1 pisze: ↑29 lis 2019, o 20:52Niestety nie rozumiem fragmentu \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} a_{k}b_{k} +a_{n+1}b_{n+1}=\sum_{k=1}^{n} (a_{k}-a_{k+1})B_{k}+a_{n}B_{b}+a_{n+1}b_{n+1}}\)

A skąd go wziąłeś?

Właśnie miałem zedytować mój wpis(ostatnio jestem mocno rozkojarzony), ale dzięki za czujność.
Teraz wszystko rozumiem, dzięki wszystkim za pomoc!