[Rozgrzewka przed maturą III] Zadania różne

[Chewbacca97]

Zgodnie z sugestią użytkownika maximum2000, główna trudność zadania:

wskazówka:    

\(\displaystyle{ x^4 +x^3 +x^2 + x +1 = \left( x^2 +3x +1\right)^2 -5x\left( x+1\right)^2}\)

[PoweredDragon]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ x^4 +x^3 +x^2 + x +1 = \left( x^2 +3x +1\right)^2 -5x\left( x+1\right)^2}\)
Stąd \(\displaystyle{ \frac{5^{125}-1}{5^{25}-1} = 5^{100}+5^{75}+5^{50}+5^{25}+1 = (5^{50}+3 \cdot 5^{25}+1)^2-(5^{38}+5^{13})^2 = (5^{50}+5^{38}+3 \cdot 5^{25}+5^{13}+1)(5^{50}-5^{38}+3 \cdot 5^{25}-5^{13}+1)}\) Oba czynniki są dużo większe od zera i są całkowite, więc liczba jest złożona

Zadanie istotnie maturalne nie bardzo :X

[xxDorianxx]

To ja dam prostsze.
Funkcja \(\displaystyle{ f}\)określona jest wzorem \(\displaystyle{ f (x)= \frac{x^2 +ax+a}{x^2 +5x+6}}\) gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą. Znajdź miejsca zerowe funkcji \(\displaystyle{ f}\) wiedząc że istnieje granica \(\displaystyle{ \lim_{x \to -3 } f (x)}\)

[Chewbacca97]

Ukryta treść:    

Oznaczmy \(\displaystyle{ p\left( x\right)}\) jako licznik, a \(\displaystyle{ g\left( x\right)}\) jako mianownik oraz zauważmy, że \(\displaystyle{ g\left( x\right) = \left( x+2\right)\left( x+3\right) = x^2 +5x+6}\). Ponieważ istnieje granica, kiedy \(\displaystyle{ x \rightarrow -3}\), to znaczy, że licznik zeruje się dla \(\displaystyle{ -3}\), czyli \(\displaystyle{ p\left( -3\right) = 0 \Rightarrow \left( -3\right)^2 + a \left( -3\right) + a = 0 \Rightarrow a= \frac{9}{2}}\).

Mając \(\displaystyle{ a=\frac{9}{2}}\), rozwiązujemy \(\displaystyle{ x^2 +\frac{9}{2}x+\frac{9}{2} =0 \Leftrightarrow \left( x+3\right) \left( x+ \frac{3}2{} \right) =0}\). Czyli miejscem zerowym funkcji \(\displaystyle{ f\left( x\right)}\) jest tylko \(\displaystyle{ x=-\frac{3}{2}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ -3}\) nie należy do dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f}\)...

edit. ale wtopa!

7. Niech \(\displaystyle{ n \in\ZZ}\) będzie liczbą nieparzystą. Wyznaczyć resztę z dzielenia liczby \(\displaystyle{ 3n^3 + 2n^2 + n -1}\) przez \(\displaystyle{ 8}\).

[PoweredDragon]

Ukryta treść:    

Dla funkcji wymiernej granica nie istnieje jedynie dla asymptoty pionowej, stąd
\(\displaystyle{ x=-3}\) nie może być asymptotą pionową

Stąd \(\displaystyle{ \lim_{x \to -3^{\pm} } f (x) \neq \pm \infty \wedge \lim_{x \to -3^{\pm} } f (x) \neq \mp \infty}\) (swoją drogą, czy ten zapis jest wgl poprawny? )

Stąd wprost wynika, że granica musi być postaci \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\) (dla \(\displaystyle{ -3}\) mianownik się zeruje)[/latex], więc jednym z argumentów, dla których zeruje się licznik jest \(\displaystyle{ -3}\)
Stąd \(\displaystyle{ 9-3a+a = 0}\)
\(\displaystyle{ a = \frac{9}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{9}{2} = -3x_2}\)
\(\displaystyle{ x_2 = -\frac{3}{2}}\)
I to \(\displaystyle{ -\frac{3}{2}}\) jest miejscem zerowym \(\displaystyle{ f}\)

Zostałem wyprzedzony...

next:    

Dla pewnego \(\displaystyle{ k}\) mamy \(\displaystyle{ n = 2k+1}\)
\(\displaystyle{ L = 3(2k+1)^3+2(2k+1)^2+2k+1-1 =3(8k^3+12k^2+6k+1)+2(4k^2+4k+1)+2k \equiv \\ \equiv 36k^2+18k+3+2+2k \equiv 4k^2+4k+5 \equiv 5 \pmod{8}}\)
Dla \(\displaystyle{ k}\) parzystego, ostatnie przystawanie jest oczywiste. Dla \(\displaystyle{ k}\) nieparzystego postaci \(\displaystyle{ k=2l+1}\) i \(\displaystyle{ l}\) całkowitego mamy
\(\displaystyle{ 4k^2+4k = 4(4l^2+4l+1)+4(2l+1) = 8l^2+8l+4+8l+4 \equiv 0 \pmod 8}\), więc przystawanie również zachodzi.

Zadajcie nexty :V

Dziękuję kerajs, sprostowane

[Premislav]

Proszę rozwiązać następujące równanie w liczbach rzeczywistych:
\(\displaystyle{ x^{8}-x^{7}+2x^{6}-2x^{5}+3x^{4}-3x^{3}+4x^{2}-4x+\frac{5}{2}= 0}\)

[MrCommando]

Mam strasznie na pałę, może ma ktoś jakieś fajne zwinięcie do sum kwadratów.

Ukryta treść:    

Po prostych przekształceniach elementarnych zauważamy, że wyjściowe równanie równoważne jest równości \(\displaystyle{ x(x-1)(x^6+2x^4+3x^2+4)+\frac{5}{2}=0}\). Oczywiście liczby \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\) nie spełniają tego równania, zatem załóżmy, że \(\displaystyle{ x \neq 0 \wedge x\neq 1}\) i zapiszmy \(\displaystyle{ x^6+2x^4+3x^2+4=\frac{5}{2x(1-x)}}\). Widać zatem, że lewa strona jest dodatnia (jako suma liczb nieujemnych i jednej dodatniej). Zatem rozwiązań szukać będziemy w przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\) (tylko w tym przedziale prawa strona jest dodatnia). Zauważmy, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x^6+2x^4+3x^2+4}\) jest ściśle rosnąca w przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\) (można to pokazać za pomocą pochodnej). Z tego wynika, że lewa strona przyjmuje wartości mniejsze niż \(\displaystyle{ \lim_{x\to 1^{-}} f(x)=10}\). Z drugiej strony równie łatwo pokazać jest, że najmniejszą wartością funkcji \(\displaystyle{ g(x)=\frac{5}{2x(1-x)}}\) w przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\) jest \(\displaystyle{ 10}\) i przyjmowana jest ona wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}}\). Widzimy więc, że na danym przedziale \(\displaystyle{ f(x)<10}\) oraz \(\displaystyle{ g(x)\geq 10}\). Zatem równość \(\displaystyle{ f(x)=g(x)}\) nie zachodzi dla żadnego \(\displaystyle{ x}\), co oznacza, że równanie jest sprzeczne.

Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ |x-6|+|2x-14|+|x+7|+|3x-6|+|x-4|=12}\).

[PoweredDragon]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ x^7(x-1)+2x^5(x-1)+3x^3(x-1)+4x(x-1)+\frac{5}{2} = 0}\)
\(\displaystyle{ (x-1)(x^7+2x^5+3x^3+4x)=-\frac{5}{2}}\)
\(\displaystyle{ x(x-1)(x^6+2x^4+3x^2+4)= - \frac{5}{2}}\)
Dla liczb ujemnych lewa strona jest dodatnia, a prawa ujemna - sprzeczność
Dla liczb dodatnich większych od 1 sytuacja jest taka sama.
Dla zera i jedynki nie zachodzi
Dla liczb dodatnich mniejszych od 1 mamy:
\(\displaystyle{ L(x)=x^6+2x^4+3x^2+4 = -\frac{5}{2x(x-1)} = \frac{5}{2x(1-x)}=P(x)}\)
\(\displaystyle{ L}\) rośnie (pochodna jest dodatnia dla liczb dodatnich, jest to raczej dość oczywiste), oraz \(\displaystyle{ L(1) = 10}\), zaś dla prawej strony mamy \(\displaystyle{ \min(P(x)) = \frac{5}{2 \max(2x(1-x))} = \frac{5}{2 \cdot \frac{1}{4}} = 10}\), skąd prawa strona jest mniejsza niż zero, zaś lewa mniejsza od 1, stąd równość zachodzić nie może

Huh.
Znowu uprzedzony. Za długo siedziałem nad przypadkiem \(\displaystyle{ x \in (0; 1)}\)

A ma ktoś może inne rozwiązanie; czy ja wiem - bardziej eleganckie? Firmówka, Premislav?

[Premislav]

co do „mojego" zadania:    

to zadanie pojawiło się już kiedyś na forum, przynajmniej skądś je kojarzę z kółka matematycznego. Oto wzorcówka:
zauważmy, że
\(\displaystyle{ x^{8}-x^{7}+2x^{6}-2x^{5}+3x^{4}-3x^{3}+4x^{2}-4x+\frac{5}{2}=\\=x^6\left( x-\frac 1 2\right)^2+\frac 3 4 x^6+x^4(x-1)^2+2x^2\left( x-\frac 3 4\right)^2+2(x-1)^2+\frac 7 8 x^2+\frac 1 2>0}\)
ewentualnie jakoś podobnie, nie umiem liczyć. W każdym razie idea jest dość jasna, pozwijać jak się da do kwadratów i jakoś to będzie (choć nie ma żadnej gwarancji, że to się skończy sukcesem).
Jest to na pewno trochę bardziej elementarne, ale trochę w tym jest zgadywania.

-- 26 kwi 2018, o 23:41 --

Co do zadania MrCommando:

Ukryta treść:    

Z nierówności Euzebiusza Trójkąta:
\(\displaystyle{ |x-6|+|2x-14|+|x+7|+|3x-6|+|x-4|=\\=|x-6|+|2x-14|+|-x-7|+|6-3x|+|x-4| \ge \\ \ge \left| x-6+2x-14-x-7+6-3x+x-4\right|=25>12}\)
więc rozwiązania w \(\displaystyle{ \RR}\) nie istnieją.
Uwaga dla mniej doświadczonych Czytelników: skoro mamy dla dowolnych \(\displaystyle{ a_1, \ a_2\in \RR}\) nierówność \(\displaystyle{ |a_1|+|a_2|\ge |a_1+a_2|}\), to za pomocą zasady indukcji matematycznej nietrudno wykazać, że dla dowolnych \(\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots a_n \in \RR}\) zachodzi
\(\displaystyle{ |a_1|+|a_2|+\ldots+|a_n|\ge |a_1+a_2+\ldots+a_n|}\)

Tutaj tak naprawdę to tylko dla efektu, ponieważ można np. zastosować rozbicie \(\displaystyle{ |2x-14|=2|x-7|=|x-7|+|x-7|}\), oszacować \(\displaystyle{ |x-7|+|x+7|=|7-x|+|x+7|\ge 14>12}\) ze zwykłej nierówności trójkąta, stwierdzić nieujemność pozostałych wyrażeń i do widzenia.

Nowe:
proszę udowodnić, że
\(\displaystyle{ \left(\sin{\frac{9\pi}{70}}+\sin{\frac{29\pi}{70}}-\sin{\frac{31\pi}{70}}\right)\left(\sin{\frac{\pi}{70}}-\sin{\frac{11\pi}{70}}-\sin{\frac{19\pi}{70}}\right)=\frac{\sqrt{5}-4}{4}}\)
-- 26 kwi 2018, o 23:46 --Jak nie chcecie tego robić (jedyne rozwiązanie, które znam, jest dość przykre i siłowe, w dodatku sam go nie wymyśliłem, tylko skądś wziąłem), to możecie też wrzucić coś innego, ale pomyślałem, że może patrząc na świeżo ktoś z Was zobaczy ładny sposób na rozjechanie tego.

[VirtualUser]

Mógłby ktoś wytłumaczyć te rozwiązanie? Skąd się nagle zmieniają liczby? Wiem, że to znak tożsamości ale nie do końca wiem jak to się krok po kroku podmienia.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ L = 3(2k+1)^3+2(2k+1)^2+2k+1-1 =3(8k^3+12k^2+6k+1)+2(4k^2+4k+1)+2k \equiv \\ \equiv 36k^2+18k+3+2+2k \equiv 4k^2+4k+5 \equiv 5 \pmod{8}}\)

[xxDorianxx]

Chodziło o liczbę nieparzystą a ona ma postać \(\displaystyle{ 2k+1}\) potem podstawienie.

[VirtualUser]

Chodziło o liczbę nieparzystą a ona ma postać \(\displaystyle{ 2k+1}\) potem podstawienie.

To rozumiem, po prostu nie wiem dlaczego potem znikają potęgi po tożsamościach.

[PoweredDragon]

Ukryta treść:    

Usunąłem wielokrotności ósemki, bo one są podzielne przez osiem
\(\displaystyle{ 24k^3 \equiv 0 \pmod 8}\)
\(\displaystyle{ 36k^2 = 32k^2+4k^2 \equiv 4k^2 \pmod 8}\)
\(\displaystyle{ 20k = 16k+4k \equiv 4k \pmod 8}\)

Znak \(\displaystyle{ \equiv}\) to przystawanie modulo. To taka równość reszt z dzielenia przez jakąś liczbę.

[VirtualUser]

i wszystko jasne, dzięki

[Chewbacca97]

VirtualUser, można również to rozpisać w ten sposób:

7.:    

\(\displaystyle{ 3(2k+1)^3+2(2k+1)^2+2k+1-1 = 24k^3 + 40k^2 + 24k + 4k(k+1) + 5}\)

i potem argument, że jedna z liczb, \(\displaystyle{ k}\) lub \(\displaystyle{ k+1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\)

11. Wyznaczyć wszystkie takie liczby wymierne \(\displaystyle{ c}\), dla których trójmian kwadratowy \(\displaystyle{ cX^2 + (2c+1)X +2c - 1}\) ma oba pierwiastki będące liczbami całkowitymi.-- 28 kwi 2018, o 22:35 --Z racji, że łańcuszek ponownie przystopował. Zadanie znowu niezbyt maturalne i w dodatku pojawiło się już we wcześniejszej edycji maturalno-przygotowawczej, przepraszam. Wrzućcie coś nowego najwyżej.