Matematyka.pl

Zad 11.

Z tym 11. to jest tak, że gdy godzina spotkania może być za każdym razem różna, to mamy trzy odpowiedzi (9, 10 i 11).

Jeśli natomiast godzina spotkania i godziny odjazdów tramwajów są za każdym razem takie same, to odpowiedź 9 odpada i zostają tylko dwie odpowiedzi: 10 i 11.

Zadanie w wersji pierwszej jest bardzo proste, a w drugiej jest zdecydowanie trudne. Ja niestety przyjąłem drugą interpretację (ale nie tylko ja). Godzinę (z całych trzech godzin zawodów) straciłem na upewnianie się, że faktycznie 9 należy odrzucić. Zasugerowałem się tym, że w treści zadania podano, że za każdym razem jedna osoba przyszła punktualnie i za każdym razem podano która. Te dane były (dla pierwszej interpretacji) zupełnie nadmiarowe (nieistotne), bo wystarczająca byłaby informacja ile czasu po Mathiasie przybywała Mathilde. Ta nadmiarowość była bardzo myląca.

Zad.17
Zamiast włączeń-wyłączeń prościej jest tak:
\(\displaystyle{ \frac{{7\choose2}\cdot6! }{6^7}=\frac{35}{648}}\)

Dużo kontrowersji wg mnie było w zadaniu czwartym. Ilość klocków która jest ułożona nie jest dokładnie widoczna na rysunku. Może ich być od 5 do 9? 10?
Oczywiście większość od razu widzi 6 sztuk.

Skrzypu pisze:Dużo kontrowersji wg mnie było w zadaniu czwartym. Ilość klocków która jest ułożona nie jest dokładnie widoczna na rysunku. Może ich być od 5 do 9? 10?
Oczywiście większość od razu widzi 6 sztuk.

No ja "od razu" zobaczyłem 5 sztuk. Ale jak moje dziecko robiło to zadanie, to zobaczyło 6 i taką wpisało odpowiedź, a ja tylko dopisałem komentarz w polu komentarza.

JK

Dla mnie niejednoznaczne było zadanie 15.
Użycie słów "liczba" i "cyfra" wskazywało wg mnie na dopisanie liczby, która nie jest cyfrą.
Dla przykładu w zadaniu 9 użyto tylko stwierdzenia liczba, chociaż tak na prawdę mieliśmy wpisać cyfrę z zakresu 2-9. Dlatego uznałem, że rozwiązania 12018 i 22018 są oczywiste i niezgodne z treścią ponieważ chodzi o znalezienie liczby (co najmniej dwucyfrowej, stąd użycie obu terminów) i dałem 2 rozwiązania.

Co do tramwajów też dałem dwie odpowiedzi i również spędziłem nad tym zadaniem ok 1:15, bo trzy rozwiązania wydawały mi się za proste...

Karsen_K pisze:Użycie słów "liczba" i "cyfra" wskazywało wg mnie na dopisanie liczby, która nie jest cyfrą.

W kwestii formalnej: liczba i cyfra to zupełnie różne pojęcia i z matematycznego punktu widzenia stwierdzenie "liczba, która nie jest cyfrą" nie ma sensu.

JK

Zadanie 11 jest bardzo nieprecyzyjne. Przyjmijmy standardowe założenia dla tego typu zadań. Ustalmy możliwy odstęp czasu w jakim przejeżdżały tramwaje:
- \(\displaystyle{ 12}\) minut i \(\displaystyle{ 10}\) sekund to \(\displaystyle{ 730}\) sekund zatem możliwy odstęp to \(\displaystyle{ 182--121}\) sekund;
- \(\displaystyle{ 20}\) minut to \(\displaystyle{ 1 \ 200}\) sekund zatem możliwy odstęp to \(\displaystyle{ 240--171}\) sekund.
Część wspólna to \(\displaystyle{ 182--171}\) sekund, zatem tylko w takim przedziale czasowym mogły kursować tramwaje.

Odpowiedzi są już na ich stronie - mam wszystko dobrze!

Do zobaczenia we Wrocławiu za 2 miesiące

W zadaniu 14 skorzystałem wielokrotnie ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów (i w obie strony) oraz jednokrotnie ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego.

Gratulacje Sylwek i również do zobaczenia, mam nadzieję! A co sam myślisz o tym - w mojej opinii też niejednoznacznym - 11 zadaniu?

Zadanie 14 można było przy pomocy indukcji rozwiązać:
\(\displaystyle{ 2 \ 018 \cdot 2 \ 020 - (252 \cdot 40 + \frac{251(251+1)}{2} \cdot 64)}\)

pitgot pisze:W zadaniu 14 skorzystałem wielokrotnie ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów (i w obie strony) oraz jednokrotnie ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego.

Gratulacje Sylwek i również do zobaczenia, mam nadzieję! A co sam myślisz o tym - w mojej opinii też niejednoznacznym - 11 zadaniu?

Ja nie zauważyłem tego podczas rozwiązywania i wyszło mi zgodnie z intencją organizatorów, ale jak napisał andkom, można było to dwojako zrozumieć.

Mhm, dzięki

Wybaczcie śmiałość, ale pochyliłem się nad zadaniem 18. Wprawdzie to nie moja kategoria, ale pomyślałem, że można ugryźć temat od d...rugiej strony:
- aby otrzymać ostatecznie jedynkę, trzeba otrzymać którąś z liczb: 10, 100, 1000 jako sumę sześcianów cyfr (zakładam ten zakres bo dla liczby 9999 kolejna liczba to 2916, czyli 10000 odpada);
- do dyspozycji mamy liczby: 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729;
- i teraz sprawdzamy jakie mamy opcje:

A) jakie 2 cyfry podniesione do sześcianu dadzą:
10: brak rozw.
100: brak rozw.
1000: brak rozw.

B) jakie 3 cyfry podniesione do sześcianu dadzą:
10: 1,1,2 -> sprawdzamy zatem jakie 2,3 lub 4 cyfry podniesione do sześcianu dadzą liczby: 112,121,211. Nie ma z tym zbyt wiele roboty, wychodzi brak rozw. dla każdej z nich.
100: brak rozw.
1000: brak rozw.

C) jakie 4 cyfry podniesione do sześcianu dadzą:
10: 0,1,1,2 -> tworzą liczbę 2101
100: 1,2,3,4 -> tworzą liczbę 2134
1000: brak rozw.

I tyle, jeśli gdzieś znajdziecie błąd w moim rozumowaniu chętnie przyjmę krytykę

PS Tak sobie myślę, że należałoby też sprawdzić jakie 3 lub 4 cyfry podniesione do sześcianu dają liczby 1012, 1021, 1102, 1201, 1120, 1210, a także kombinacje cyfr 1,2,3,4... Zdecydowanie wydłuża to czas rozwiązania...

Ja to robiłem brute-forcem.
Brałem po kolei liczby od 2018 w górę.
Było tak, że suma sześcianów 4 cyfr daje ograniczoną liczbę wyników.
Przy wykonywaniu operacji wyniki się zapętlały (wracaliśmy do punktu wyjścia) - wtedy dana liczba odpadała jako potencjalny wynik. Jeżeli przy którymś z kolejnych lat miałem wynik z black listy (którą zapisywałem na boku) odrzucałem ją i brałem kolejną.
Przykładowo po sprawdzeniu liczby 2023 nie musimy sprawdzać później 2032 bo już w pierwszym kroku daje ten sam wynik.
O ile dobrze pamiętam sprawdzanie tą metodą po opanowaniu pewnych schematów dość sprawnie mi poszło.

Co do Twojego rozumowania, nie widzę w nim błędu i myślę, że można dojść do poprawnego rozwiązania (ale ile czasu zajmie sprawdzanie ostatniego punktu?)

W GMIL w wielu zadaniach trzeba iść brute-forcem, bo nie ma innej metody rozwiązania!
Kiedyś nawet w oficjalnych rozwiązaniach francuzi pisali, że trzeba skorzystać z programu lub csv i podawali jakich formuł użyć

Na tym etapie brute-forcem to można i w Excelu/Pythonie sobie coś stworzyć, wiadomo, ja próbowałem raczej metody jaką bym starał się wykorzystać na etapie zamknięcia w sali bez pomocy elektronicznych + ktoś wcześniej pisał, że nie ma ładnej metody na rozwiązanie tego zadania. Ale tak jak mówisz, GMiL rządzi się czasem swoimi prawami i szukanie zależności może zająć więcej czasu niż wyszukanie ręcznie po kolei wyniku.

Co do wspomnianego zadania, to da się trochę skrócić sprawdzanie przypadków.

Trzeba skojarzyć kilka fakcików matematycznych.

1) Jakakolwiek zależność między liczbą a sumą jej cyfr? Mi się rzuca w oczy to, że liczba i jej suma cyfr dają tą samą resztę z dzielenia przez 9.

2) Teraz, jakakolwiek zależność między sumą cyfr liczby a sumą sześcianów cyfr liczby? I tu, i tu mamy sumę rzeczy tego samego typu, więc pytamy o zależność między \(\displaystyle{ a}\) a \(\displaystyle{ a^3}\). Tu skojarzyłem, że \(\displaystyle{ a^3-a=a(a-1)(a+1)}\), czyli jest to iloczyn trzech kolejnych liczb, więc \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ a^3}\) dają tą samą resztę przy dzieleniu przez 6. To samo dla sum.

Łącząc te rzeczy i biorąc część wspólną, oryginalna liczba i suma sześcianów jej cyfr dają tą samą resztę z dzielenia przez 3.

Więc jak na końcu mamy otrzymać 1, to i na początku musiała być liczba dająca resztę 1 z dzielenia przez 3.

To z miejsca wyrzucało dwie trzecie przypadków . Resztę już "szturmem".

Choć, szczerze mówiąc, wpadłem na to dopiero, jak rozważyłem już pewną część przypadków. Czasem obserwacje przychodzą dopiero wraz z cierpliwym sprawdzaniem kolejnych opcji . Zauważyłem powtarzanie pewnych schematów "co 3" czy tam "co 9" i zacząłem się zastanawiać, czemu tak jest.

I w tym zadaniu dało się bardzo łatwo intuicyjnie domyślić wyniku. Kwestia taka, żeby sprawdzić, że nic mniejszego nie działa, aby podeprzeć naszą intuicję dowodem.