Matematyka.pl

Czyli:
Pierwszy krok:
Sprawdzam prawdziwość stwierdzenia (nierówności) dla n = 1.
\(\displaystyle{ 1! \le e \left( \frac{1}{e} \right)}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ 1 = 1}\).
Stwierdzenie więc jest prawdziwe.

Drugi krok:

Sprawdzam czy jeżeli dla jakieś k, dla którego zachodzi:
\(\displaystyle{ k! \le ke \left( \frac{k}{e} \right)^k}\)
to zachodzi to dla \(\displaystyle{ k+1}\):
\(\displaystyle{ (k+1)! = k! \cdot (k+1) \le (k+1)e \left( \frac{k+1}{e} \right)^{k+1}}\)

\(\displaystyle{ k! \le e \left( \frac{(k+1)^{k+1}}{e^{k+1}} \right) = (k+1) \left( \frac{(k+1)^{k}}{e^{k}} \right) = (k+1) \left( \frac{k+1}{e} \right)^k}\)

\(\displaystyle{ ke \left( \frac{k}{e} \right)^k \le (k+1) \left( \frac{k+1}{e} \right)^k \\
kek^k \le (k+1)^{k+1} \\
ek^{k+1} \le (k+1)^{k+1} \\
\sqrt[k+1]{e} \le 1 + \frac{1}{k} \\
e \le \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^k+1}\)

Dalej mam problem, ale chyba użyłem założenia indukcyjnego.

ale chyba użyłem założenia indukcyjnego.

A to dobrze czy źle?

\(\displaystyle{ (k+1)! = k! \cdot (k+1) \le (k+1)e \left( \frac{k+1}{e} \right)^{k+1}}\)

Tego nie wiesz, możesz się tylko o to spytać ale nie wolno Ci tego zakładać.
Dlatego to co jest dalej jest chyba niepoprawne Ty to dopiero chcesz pokazać

\(\displaystyle{ ke \left( \frac{k}{e} \right)^k \le (k+1) \left( \frac{k+1}{e} \right)^k}\)

To jest oczywiste i nieprzydatne w dowodzie.
Zobacz co pisałem wcześniej (text ukryty) bo cały dowód jest już spisany w tym poście.
Nie bój używać się też języka polskiego w dowodach bo to pomoże i Tobie i sprawdzającemu.

Janusz Tracz pisze:Nie bój używać się też języka polskiego w dowodach bo to pomoże i Tobie i sprawdzającemu.

Dokładnie. Na razie jest ściana znaczków. Nie wiadomo, czy zakładasz tezę (fatalnie), czy przekształcasz tezę równoważnie (dozwolone), a jeśli przekształcasz, to jak to robisz. Pamiętaj, że dowód piszesz dla czytelnika i nie jest jego rolą domyślać się, co autor miał na myśli.

JK

Chciałbym sam do tego dojść, bo dowód Twój niby rozumiem,a wychodzi, że nie rozumiem.

Oczywiście spróbuję opisywać co robię.

Drugi krok:

Zakładam, że dla jakiegoś k zachodzi:
\(\displaystyle{ k! \le ke \left( \frac{k}{e} \right)^k}\)
I sprawdzam czy zachodzi:
\(\displaystyle{ (k+1)! = k! \cdot (k+1) \le (k+1)e \left( \frac{k+1}{e} \right)^{k+1}}\)
Pozwolę sobie uprościć:
\(\displaystyle{ k! \le e \left( \frac{k+1}{e} \right)^{k+1}}\)

Rozumiem, że skoro zakładam:
\(\displaystyle{ k! \le ke \left( \frac{k}{e} \right)^k}\), to mam prawo z tego korzystać jak mi się podoba?

Wyjdę więc z tej postaci i spróbuję dojść do postaci, którą mam udowodnić:
\(\displaystyle{ k! \le ke \left( \frac{k}{e} \right)^k = e \left( \frac{k+1}{e} \right)^k}\)
No i tutaj właściwie moje pomysły się kończą. Pewnie dlatego, że źle zacząłem, ale od czego mam zacząć, żeby nie korzystać z tezy? A może da się to jakoś dalej z założenia wyprowadzić, a ja po prostu nie widzę?

Rozbitek pisze:Rozumiem, że skoro zakładam:
\(\displaystyle{ k! \le ke \left( \frac{k}{e} \right)^k}\), to mam prawo z tego korzystać jak mi się podoba?

Tak.

Rozbitek pisze:Wyjdę więc z tej postaci i spróbuję dojść do postaci, którą mam udowodnić:
\(\displaystyle{ k! \le ke \left( \frac{k}{e} \right)^k \red=\black e \left( \frac{k+1}{e} \right)^k}\)

A ta równość to skąd?

JK

Jan Kraszewski pisze:

Rozbitek pisze:Wyjdę więc z tej postaci i spróbuję dojść do postaci, którą mam udowodnić:
\(\displaystyle{ k! \le ke \left( \frac{k}{e} \right)^k \red=\black e \left( \frac{k+1}{e} \right)^k}\)

A ta równość to skąd?

Ojej, masakra. To błąd oczywiście.

I sprawdzam czy zachodzi:
\(\displaystyle{ (k+1)! = k! \cdot (k+1) \le (k+1)e \left( \frac{k+1}{e} \right)^{k+1}}\)
Pozwolę sobie uprościć:
\(\displaystyle{ k! \le e \left( \frac{k+1}{e} \right)^{k+1}}\)

No jesteś już bardzo blisko bo teraz problem pokazania
\(\displaystyle{ k! \le e \left( \frac{k+1}{e} \right)^{k+1}}\)
na mocy założenia indukcyjnego powinieneś sprowadzić do nierówności mocniejszej tj.
\(\displaystyle{ k! \le ke \left( \frac{k}{e} \right)^k \le e \left( \frac{k+1}{e} \right)^{k+1}}\)
I spróbować udowodnić
\(\displaystyle{ ke \left( \frac{k}{e} \right)^k \le e \left( \frac{k+1}{e} \right)^{k+1}}\)
jeśli okaże się to prawdą to z przechodniości nierówności prawdą okaże się również
\(\displaystyle{ k! \le e \left( \frac{k+1}{e} \right)^{k+1}}\)
czyli
\(\displaystyle{ (k+1)!\le (k+1)e \left( \frac{k+1}{e} \right)^{k+1}}\)
I dowód będzie można uznać za zakończony.

To działa tak że chcesz pokazać że
\(\displaystyle{ a<c}\) ale tego nie wiesz...
wiesz jednak że \(\displaystyle{ a<b}\)
to teraz zadajesz pytanie "A może \(\displaystyle{ b<c}\)? Warto to sprawić... "
Sprawdzasz czy \(\displaystyle{ b<c}\)
Hura! Udaje Ci się.
Teraz jasne jest że \(\displaystyle{ a<c}\)
CND

\(\displaystyle{ ke \left( \frac{k}{e} \right)^k \le e \left( \frac{k+1}{e} \right)^{k+1}}\)
Mnożę obie strony przez \(\displaystyle{ e^k}\)

\(\displaystyle{ kek^k \le (k+1)^{k+1}}\)
\(\displaystyle{ kek^k \le (k+1)^{k} (k+1)}\)

Dzielę przez \(\displaystyle{ k}\):
\(\displaystyle{ ek^k \le (k+1)^{k} (1 + \frac{1}{k})}\)
Teraz dzielę przez \(\displaystyle{ k^k}\) obie strony.

\(\displaystyle{ e \le \left(1 + \frac{1}{k} \right)^k (1 + \frac{1}{k})}\)

I tutaj wracam do tego samego problemu. Jedyne co mi przychodzi do głowy, to podstawienie pierwszych liczb i powołania się na to, że jest to ciąg rosnący. Druga sprawa, to oczywiście to, że granicą tego ciągu jest liczba \(\displaystyle{ e}\), tylko nie wiem jak mógłbym skorzystać z tego faktu?


Ponadto nie rozumiem jaką mamy pewność, że jest tak:
\(\displaystyle{ k! \le ke \left( \frac{k}{e} \right)^k \le e \left( \frac{k+1}{e} \right)^{k+1}}\),
a nie może być tak:
\(\displaystyle{ k! \le e \left( \frac{k+1}{e} \right)^{k+1} \le ke \left( \frac{k}{e} \right)^k}\) ?

I tutaj wracam do tego samego problemu. Jedyne co mi przychodzi do głowy, to podstawienie pierwszych liczb i powołania się na to, że jest to ciąg rosnący. Druga sprawa, to oczywiście to, że granicą tego ciągu jest liczba e, tylko nie wiem jak mógłbym skorzystać z tego faktu?

\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{k+1}\right)^{k+2}<\left( 1+ \frac{1}{k} \right)^{k+1} \Leftrightarrow\left( 1+\frac{1}{k+1}\right)^{k+1} \cdot \left( 1+\frac{1}{k+1}\right) <\left( 1+\frac 1 k\right)^{k+1} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 1+\frac{1}{k+1}<\left( \frac{1+\frac 1 k}{1+\frac 1{k+1}} \right)^{k+1} \Leftrightarrow 1+\frac 1 {k+1}<\left( 1+\frac{1}{(k+1)^2}\right)^{k+1}}\),
a ta ostatnia nierówność jest prawdziwa, ponieważ kładąc w nierówności Bernoulliego:
\(\displaystyle{ (1+x)^a\ge 1+ax, \ x\ge -1, a\ge 1}\) (dla \(\displaystyle{ x}\) dodatnich i \(\displaystyle{ a>1}\) - jak tutaj - nierówność jest ostra)
za \(\displaystyle{ x:=\frac{1}{k(k+1}, \ a:=k+1}\), mamy
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{(k+1)^2}\right)^{k+1} > 1+ \frac{k+1}{(k+1)^2} =1+\frac{1}{k+1}}\)

Pokazaliśmy w ten sposób z definicji, że ciąg \(\displaystyle{ a_k=\left( 1+\frac{1}{k}\right)^{k+1}}\) jest malejący. Ponadto jego granicą jest \(\displaystyle{ e}\).
Zatem dla każdego \(\displaystyle{ k \in \NN^+}\) jest
\(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{k} \right)^{k+1}\ge e}\), a to jest, jak wynika z Twoich przekształceń, równoważne nierówności
\(\displaystyle{ ek^k \le (k+1)^{k} (1 + \frac{1}{k})}\), zatem jest ona prawdziwa dla każdego \(\displaystyle{ k \in \NN^+}\).

Ponadto nie rozumiem jaką mamy pewność, że jest tak:
\(\displaystyle{ k! \le ke \left( \frac{k}{e} \right)^k \le e \left( \frac{k+1}{e} \right)^{k+1}}\),
a nie może być tak:
\(\displaystyle{ k! \le e \left( \frac{k+1}{e} \right)^{k+1} \le ke \left( \frac{k}{e} \right)^k}\)

Nie rozumiem pytania.
Pokazujesz, że \(\displaystyle{ \textbf{Jeśli}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \NN^+}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ k!\le ke\left( \frac k e\right)^k, \ \textbf{to}}\) prawdziwa jest też nierówność
\(\displaystyle{ (k+1)!\le (k+1)e\left( \frac{k+1}{e}\right)^{k+1}}\)
Nierówność
\(\displaystyle{ k! \le ke \left( \frac{k}{e} \right)^k}\) to nasze założenie indukcyjne.
Chcesz pokazać, że z tego wynika
\(\displaystyle{ (k+1)! \le (k+1)e\left( \frac{k+1}{e}\right)^{k+1}}\),
co jest istotnie równoważne nierówności
\(\displaystyle{ k!\le e\left( \frac{k+1}{e}\right)^{k+1}}\)
i oczywiście jeśli pokażemy, że istnieje takie \(\displaystyle{ A_k}\), iż
\(\displaystyle{ k!\le A_k \le e\left( \frac{k+1}{e}\right)^{k+1}}\),
to sprawa załatwiona, bo nierówności są przechodnie. No to próbujemy korzystać z założenia indukcyjnego, by podać takie \(\displaystyle{ A_k}\).
Gdyby się okazało, że jednak jest
\(\displaystyle{ e \left( \frac{k+1}{e} \right)^{k+1} \le ke \left( \frac{k}{e} \right)^k}\)
dla pewnego \(\displaystyle{ k}\), to by znaczyło, że teza zadania jest fałszywa lub mamy za słabe założenie indukcyjne, by udowodnić tezę (i trzeba je wzmocnić) lub nieumiejętnie szacowaliśmy.

Dziękuję za wyjaśnienie.

Moje pytanie dotyczyło - skąd wiemy, że faktycznie tak jest: \(\displaystyle{ ke \left( \frac{k}{e} \right)^k \le e \left( \frac{k+1}{e} \right)^{k+1}}\)?
I tego jeszcze nie kumam.

Przecież powyżej to udowodniłem. Przeoczyłeś ten fragment?
W poście poprzedzającym mój samodzielnie przekształciłeś równoważnie nierówność, którą chcemy pokazać w celu realizacji drugiego kroku indukcyjnego:
\(\displaystyle{ \left( * \right) \ ke \left( \frac{k}{e} \right)^k \le e \left( \frac{k+1}{e} \right)^{k+1}}\),
do postaci
\(\displaystyle{ e \le \left(1 + \frac{1}{k} \right)^k \left( 1 + \frac{1}{k} \right)}\)
Ciąg \(\displaystyle{ a_k= \left(1 + \frac{1}{k} \right)^k \left( 1 + \frac{1}{k} \right)}\) jest malejący (nie rosnący, wbrew temu, co wyżej pisałeś) i jego granicą jest \(\displaystyle{ e}\).
To, że jest malejący udowodniłem w poście wyżej. Skoro \(\displaystyle{ \left( a_k \right)}\) jest malejący i jego granicą jest \(\displaystyle{ e}\), to wiemy, że dla każdego \(\displaystyle{ k\in \NN}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ a_k \ge e}\), a to jest właśnie równoważne naszej nierówności \(\displaystyle{ \left( * \right)}\).
Jeżeli nie wiesz, jak wywnioskować to pogrubione, to jest bardzo źle (jeszcze zrozumiałbym, gdybyś był licealistą bądź uczniem technikum/studentem pierwszego semestru). Gdyby dla pewnego \(\displaystyle{ k_0 \in \NN^+}\) było \(\displaystyle{ a_{k_0}<e}\), to oznaczałoby, że istnieje takie \(\displaystyle{ r>0}\), iż \(\displaystyle{ a_{k_0} \le e-r}\). Ponieważ ciąg \(\displaystyle{ \left( a_k \right)}\) jest malejący, więc wówczas dla każdego \(\displaystyle{ k\in \NN}\) większego od \(\displaystyle{ k_0}\) mielibyśmy \(\displaystyle{ a_k \le e-r}\).
Zatem granicą \(\displaystyle{ \left( a_k \right)}\) nie mogłoby być \(\displaystyle{ e}\), ponieważ w zbiorze
\(\displaystyle{ \left( e-r, e+r\right)}\) byłoby co najwyżej skończenie wiele (nie więcej niż \(\displaystyle{ k_0-1}\)) wyrazów ciągu \(\displaystyle{ \left( a_k \right)}\).

Premislav pisze:Przecież powyżej to udowodniłem.

Ahh, to by wiele wyjaśniało...
Chciałbym jakieś zadanie zrobić, może prostsze. Mam nadzieję, że tworzenie nowego tematu do tego jest zbędne?

Należy wykazać, że dla \(\displaystyle{ n \in \NN, n \ge 1}\)
\(\displaystyle{ 1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}}\)

Sprawdzam najpierw, czy dla \(\displaystyle{ n = 1}\) wzór jest prawdziwy:

\(\displaystyle{ 1 = \frac{1(1+1)}{2} = 1}\)

Zgadza się, jest!

Krok drugi:
Zakładam, że: \(\displaystyle{ 1+2+3+...+k = \frac{k(k+1)}{2}}\).
I chcę sprawdzić, czy prawdą jest:

\(\displaystyle{ 1+2+3+...+k+(k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2} = \frac{k^2 + 3k + 2}{2}}\)
Na mocy założenia indukcyjnego:
\(\displaystyle{ 1+2+3+...+k+ (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1)}\)(dodałem obustronnie \(\displaystyle{ (k+1)}\))
Pozostaje więc wykazać, że:
\(\displaystyle{ \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}}\)

Sprowadzam lewą stronę do wspólnego mianownika:
\(\displaystyle{ \frac{k(k+1)}{2} + \frac{2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}}\)

Dalej robię przekształcenia:
\(\displaystyle{ \frac{k(k+1)+2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{k^2+k+2k+2}{2} = \frac{k^2 + 3k + 2}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{k^2+3k+2}{2} = \frac{k^2 + 3k + 2}{2}}\)

Więc dla każdego \(\displaystyle{ n=k}\), wzór jest prawdziwy.
Jest OK?