Udowodnij dla dowolnych zbiorów

Post autor: **Jan Kraszewski** » 13 gru 2016, o 21:38

Dokładnie, funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie musi być odwracalna.

Istotnie, będą jakieś złożenia, ale dlatego warto wykorzystać wskazówkę Dasio11. Pod warunkiem, że ją rozumiesz (oraz rozumiesz moje do niej zastrzeżenie).

JK

max123321 · Post autor: **max123321** » 13 gru 2016, o 22:17

Znaczy szczerze to wolałbym od początku do końca robić to na iniekcjach..., ale jak nie no to dobra spróbujmy inaczej,najwyżej później się do tego wróci.

Znaczy wiem, że jeśli istnieje iniekcja \(\displaystyle{ A \rightarrow B}\) to istnieje suriekcja\(\displaystyle{ B \rightarrow A}\). To jest intuicyjnie oczywiste bo \(\displaystyle{ B}\) ma ogółem więcej elementów niż \(\displaystyle{ A}\) z istnienia iniekcji, a zatem można podzbiór \(\displaystyle{ B}\) równoliczny z \(\displaystyle{ A}\) potraktować funkcją różnowartościową \(\displaystyle{ B \rightarrow A}\), a pozostałym elementom z \(\displaystyle{ B}\) przyporządkować jakkolwiek elementy z \(\displaystyle{ A}\). I w ten sposób otrzymamy funkcję na \(\displaystyle{ A}\).

A no faktycznie jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest puste to sprawa się komplikuje, bo wtedy ta funkcja tak jakby nie będzie miała wartości. No dobra, ale na razie porzućmy ten przypadek.

W takim razie mamy funkcję \(\displaystyle{ f:C \rightarrow A}\). I teraz nie wiem. Trzeba by podziałać jakąś funkcją, żeby dostać \(\displaystyle{ B}\), ale nic nie wiemy, co zachodzi między zbiorami \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\)... hmm??

Post autor: **Jan Kraszewski** » 13 gru 2016, o 23:10

max123321 pisze:Znaczy szczerze to wolałbym od początku do końca robić to na iniekcjach...

Jak wolisz, to rób...

max123321 pisze:Znaczy wiem, że jeśli istnieje iniekcja \(\displaystyle{ A \rightarrow B}\) to istnieje suriekcja\(\displaystyle{ B \rightarrow A}\). To jest intuicyjnie oczywiste bo \(\displaystyle{ B}\) ma ogółem więcej elementów niż \(\displaystyle{ A}\) z istnienia iniekcji, a zatem można podzbiór \(\displaystyle{ B}\) równoliczny z \(\displaystyle{ A}\) potraktować funkcją różnowartościową \(\displaystyle{ B \rightarrow A}\), a pozostałym elementom z \(\displaystyle{ B}\) przyporządkować jakkolwiek elementy z \(\displaystyle{ A}\). I w ten sposób otrzymamy funkcję na \(\displaystyle{ A}\).

A nie miałeś tego na wykładzie? To dość podstawowy fakt.

max123321 pisze:A no faktycznie jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest puste to sprawa się komplikuje, bo wtedy ta funkcja tak jakby nie będzie miała wartości.

Wtedy nie będzie "tej funkcji". Nie istnieje funkcja ze zbioru niepustego w zbiór pusty.

max123321 pisze:W takim razie mamy funkcję \(\displaystyle{ f:C \rightarrow A}\). I teraz nie wiem. Trzeba by podziałać jakąś funkcją, żeby dostać \(\displaystyle{ B}\), ale nic nie wiemy, co zachodzi między zbiorami \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\)... hmm??

Chyba zapomniałeś, co masz zrobić. Przypomnę Ci:
- Masz surjekcję \(\displaystyle{ f:C \rightarrow A}\) i injekcję \(\displaystyle{ g:B \rightarrow D}\).
- Chcesz pokazać, że istnieje iniekcja: \(\displaystyle{ h:B^A \rightarrow D^C}\).

Wobec tego ustalasz \(\displaystyle{ \varphi:A\to B}\) i definiujesz \(\displaystyle{ h(\varphi):C\to D}\).

JK

max123321 · Post autor: **max123321** » 13 gru 2016, o 23:47

Nie no pamiętam, co mam zrobić, ale myślałem, że muszę coś wiedzieć o funkcji \(\displaystyle{ A\to B}\).

Aha to trzeba wziąć funkcję \(\displaystyle{ g\circ\varphi\circ f}\). Zgadza się? No dobra, ale ta funkcja ma być iniekcją, a czy jest? Skąd mam to wiedzieć?

Post autor: **Jan Kraszewski** » 13 gru 2016, o 23:57

max123321 pisze:Aha to trzeba wziąć funkcję \(\displaystyle{ g\circ\varphi\circ f}\). Zgadza się?

Tak.

max123321 pisze:No dobra, ale ta funkcja ma być iniekcją, a czy jest? Skąd mam to wiedzieć?

Masz to dowieść. I to nie "ta" funkcja ma być injekcją, tylko \(\displaystyle{ h}\).

JK

max123321 · Post autor: **max123321** » 14 gru 2016, o 00:08

Hmm czyli co funkcja \(\displaystyle{ h}\) będzie wyglądać tak?
\(\displaystyle{ h(\varphi)(c)=g(\varphi (f(c)))}\)??

Post autor: **Jan Kraszewski** » 14 gru 2016, o 00:09

Tak.

JK

max123321 · Post autor: **max123321** » 14 gru 2016, o 01:03

No dobra to bierzemy \(\displaystyle{ \varphi_1 \neq \varphi_2}\) i wtedy mamy:
\(\displaystyle{ h(\varphi_1)(c)=g\left( \varphi_1(f(c))\right)}\) i \(\displaystyle{ h(\varphi_2)(c)=g\left( \varphi_2(f(c))\right)}\). Zatem istnieje takie \(\displaystyle{ c}\), że \(\displaystyle{ \varphi_1(f(c)) \neq \varphi_2(f(c))}\), bo \(\displaystyle{ f}\) jest suriekcją zatem możemy dostać z niej każdy element z \(\displaystyle{ A}\) zatem skoro \(\displaystyle{ g}\) jest różnowartościowa to także \(\displaystyle{ g\left( \varphi_1(f(c))\right) \neq g\left( \varphi_2(f(c))\right)}\), więc \(\displaystyle{ h}\) jest różnowartośćiowa.

Zgadza się?

Post autor: **Jan Kraszewski** » 14 gru 2016, o 01:25

Myśl dobra, prezentacja mniej.

JK

max123321 · Post autor: **max123321** » 14 gru 2016, o 01:40

A co jest nie tak?

Post autor: **Jan Kraszewski** » 14 gru 2016, o 01:44

Robisz skróty myślowe. Co to znaczy, że \(\displaystyle{ \varphi_1 \neq \varphi_2}\) ?

JK

max123321 · Post autor: **max123321** » 14 gru 2016, o 01:49

To znaczy, że w zbiorze tych funkcji istnieją co najmniej dwie pary o tym samym poprzedniku i różnych następnikach.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 14 gru 2016, o 01:56

O matko... Mówiłem Ci kiedyś, że funkcja to nie jest zbiór par, tylko przekształcenie. Ten zbiór par to tylko formalizacja. Pomijając to, że sformułowanie "w zbiorze tych funkcji" brzmi mocno podejrzanie.

Nie mógłbyś tak normalnie napisać co to znaczy, że dwie funkcje są różne?

JK

max123321 · Post autor: **max123321** » 14 gru 2016, o 02:03

Że mają inne wzory? Że ten sam zbiór przekształcają na dwa różne zbiory?

Post autor: **Jan Kraszewski** » 14 gru 2016, o 02:05

Że istnieje argument, na którym się różnią. Przecież z tego właśnie korzystasz.

JK

PS. Obie twoje powyższe propozycje są niepoprawne.